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1、 20112011 年六月年六月开篇开篇在人类历史上，天花和黑死病、痢疾、霍乱等瘟疫都留在人类历史上，天花和黑死病、痢疾、霍乱等瘟疫都留下了惊人的死亡数字。下了惊人的死亡数字。公元前公元前 11001100 多年前，印度或埃及出现急性传染病天花。多年前，印度或埃及出现急性传染病天花。公元前公元前 3 3前前 2 2 世纪，印度和中国流行天花。公元世纪，印度和中国流行天花。公元 165165180180 年，年，罗马帝国天花大流行，罗马帝国天花大流行，1 14 4 的人口死亡。的人口死亡。6 6 世纪，欧洲天花流世纪，欧洲天花流行，造成行，造成 1010的人口死亡。的人口死亡。1717、1818
2、 世纪，天花是欧洲最严重的世纪，天花是欧洲最严重的传染病，死亡人数高达传染病，死亡人数高达 1.51.5 亿。亿。1919 世纪中叶，中国福建等地天世纪中叶，中国福建等地天花流行，病死率超过花流行，病死率超过 1 12 2。1900190019091909 年，俄国因天花死亡年，俄国因天花死亡 5050万人。万人。据史书记载，霍乱于据史书记载，霍乱于 18171817 年首次在印度流行，年首次在印度流行，18231823 年传入年传入俄国，俄国，18311831 年传入英国。年传入英国。1919 世纪初至世纪初至 2020 世纪末，大规模流行世纪末，大规模流行的世界性的世界性 霍乱共发生霍乱共
3、发生 8 8 次。次。1817181718231823 年，霍乱第一次大规模年，霍乱第一次大规模流行，从流行，从“人类霍乱的故乡人类霍乱的故乡”印度恒河三角洲蔓延到欧洲，仅印度恒河三角洲蔓延到欧洲，仅18181818 年前后便使英国年前后便使英国 6 6 万余人丧生。万余人丧生。 19611961 年出现第七次霍乱年出现第七次霍乱数学建模数学建模作业作业大流行，始于印度尼西亚，波及五大洲大流行，始于印度尼西亚，波及五大洲 140140 多个国家和地区，多个国家和地区，报告患者逾报告患者逾 350350 万。万。19921992 年年 1010 月，第八次霍月，第八次霍 乱大流行，席卷乱大流行，
4、席卷印度和孟加拉国部分地区，短短印度和孟加拉国部分地区，短短 2 23 3 个月就报告病例个月就报告病例 1010 余万，余万，死亡人数达几千人，随后波及许多国家和地区。死亡人数达几千人，随后波及许多国家和地区。 疟疾每年在全球有五亿宗病例，导致超过疟疾每年在全球有五亿宗病例，导致超过 100100 万人死亡，万人死亡，大部份在非洲发生。大部份在非洲发生。世界卫生组织指出疟疾平均每世界卫生组织指出疟疾平均每 3030 秒杀死秒杀死一个一个 5 5 岁以下的儿童；疟疾也是导致非洲经济一直陷于困境的岁以下的儿童；疟疾也是导致非洲经济一直陷于困境的主要原因之一。主要原因之一。 公元前公元前 4304
5、30前前 427427 年，雅典发生鼠疫，近年，雅典发生鼠疫，近 1 12 2 人口死亡，人口死亡，整个雅典几乎被摧毁，第三次世界性鼠疫大流行：整个雅典几乎被摧毁，第三次世界性鼠疫大流行：18941894 年，香年，香港地区爆发鼠疫，波及亚洲、欧洲、美洲、非洲和澳洲的港地区爆发鼠疫，波及亚洲、欧洲、美洲、非洲和澳洲的 6060 多多个国家，死亡逾千万人。其中印度最严重，个国家，死亡逾千万人。其中印度最严重，2020 年内死亡年内死亡 102102 多多万人。万人。流行性感冒简称流感，是由流感病毒引起的急性呼吸道传流行性感冒简称流感，是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病，能引起心肌炎、肺炎、支气管
6、炎等多种并发症染病，能引起心肌炎、肺炎、支气管炎等多种并发症, ,极易发生极易发生流行，甚至达到世界范围的大流行。流行，甚至达到世界范围的大流行。1918-19191918-1919 年，爆发了席卷全球的流感疫病，导致年，爆发了席卷全球的流感疫病，导致 2,000-2,000-5,0005,000 万人死亡，是历史上最严重的流感疫症。万人死亡，是历史上最严重的流感疫症。自自 20032003 年来全世界已有年来全世界已有 1414 个国家个国家 357357 人感染了禽流感病人感染了禽流感病毒，其中毒，其中 219219 人因感染了该病毒而死亡。人因感染了该病毒而死亡。 目前的目前的 H5N1
7、H5N1 型病毒株仅能通过禽类传染给人体，必须防型病毒株仅能通过禽类传染给人体，必须防范它与人类的流行性感冒病毒株接触进行基因重组，突变出范它与人类的流行性感冒病毒株接触进行基因重组，突变出“人传人人传人”的禽流感病毒。禽流感一旦在人际传播，数亿人生的禽流感病毒。禽流感一旦在人际传播，数亿人生命将受到威胁。命将受到威胁。HIVHIV 是艾滋病的病原体，主要通过体液、血液传播。艾滋是艾滋病的病原体，主要通过体液、血液传播。艾滋病联合规划署和世界卫生组织在病联合规划署和世界卫生组织在“2006“2006 艾滋病流行最新情况艾滋病流行最新情况”报告中说，世界上每隔报告中说，世界上每隔 8 8 秒钟就
8、有一人感染秒钟就有一人感染 HIVHIV，全球每天有，全球每天有1.11.1 万人感染万人感染 HIVHIV，与此同时，每天有，与此同时，每天有 80008000 名感染者丧命。名感染者丧命。SARS（SevereSevere AcuteAcute RespiratoryRespiratory SyndromeSyndrome，严重急性呼吸道综合，严重急性呼吸道综合症症, , 俗称：非典型肺炎）是俗称：非典型肺炎）是 2121 世纪第一个在世纪第一个在 2323 个国家和地区范个国家和地区范围内传播的传染病。围内传播的传染病。20022002 年年 1111 月月 1616 日中国广东佛山发现
9、第一日中国广东佛山发现第一个非典型肺炎的病例。截至个非典型肺炎的病例。截至 20032003 年年 7 7 月月 1111 日，全球共日，全球共 80698069 名名患者，死亡人数达患者，死亡人数达 775775，死亡率约为，死亡率约为 12%12%。 目前已经找到治疗目前已经找到治疗方法，中国和欧盟科学家联手，成功找到了方法，中国和欧盟科学家联手，成功找到了 1515 种能有效杀灭种能有效杀灭SARSSARS 病毒的化合物。香港大学的新近研究表明，蝙蝠可能是病毒的化合物。香港大学的新近研究表明，蝙蝠可能是SARSSARS 病毒野生宿主。病毒野生宿主。问题的提出：尽管诸如霍乱、天花等曾经肆虐
10、全球的疾病尽管诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的疾病已经得到有效的控制，但是一些新的、不断变异已经得到有效的控制，但是一些新的、不断变异的传染病却悄悄向人类袭来，给人们的生命财产的传染病却悄悄向人类袭来，给人们的生命财产带来极大的危害。给我们敲响了一次次警钟，因带来极大的危害。给我们敲响了一次次警钟，因此，建立传染病模型，描述传染病的传播过程，此，建立传染病模型，描述传染病的传播过程，分析被感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓分析被感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国专家和官员关注的课题延的手段等，一直是各国专家和官员关注的课题 。 模型分析：模型分析：传染病是人类的大敌，通
11、过疾病传播过程中传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，若干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。法显然是一件十分有意义的工作。 模型的建立：模型的建立：模型模型 1 1 记：已感染人数记：已感染人数 ( (病人病人) )( )i t只假设每个病人每天有效接触只假设每个病人每天有效接触( (足以使人致病足以使人致病) )人人数为数为则：则：diidt, , 0(0)ii，0( )ti ti e（ti ）模型分析与解释模型分析与解释：这个结
12、果与传染病初期比较吻合，但它表明这个结果与传染病初期比较吻合，但它表明 病人人数将按指数规律无限增加，显然与实际不病人人数将按指数规律无限增加，显然与实际不 符。事实上，一个地区的总人数大致可视为常数符。事实上，一个地区的总人数大致可视为常数 （不考虑传染病传播时期出生和迁移的人数），（不考虑传染病传播时期出生和迁移的人数）， 在传染病传播期间，一个病人单位时间内能传染在传染病传播期间，一个病人单位时间内能传染ttititti)()()(的人数的人数 则是在改变的。在初期，则是在改变的。在初期， 较大，随着病较大，随着病 人的增多，健康者减少，被传染机会也将减少，人的增多，健康者减少，被传染机
13、会也将减少， 于是于是 就会变小。若有效接触的是病人，则不能使就会变小。若有效接触的是病人，则不能使 病人数增加。必须区分已感染者病人数增加。必须区分已感染者( (病人病人) )和未感染和未感染 者者( (健康人健康人) )模型模型 2 2：（SISI 模型）模型） 区分易感染者（病人）和为感染者（健康人）区分易感染者（病人）和为感染者（健康人）假设假设 1 1）总人数）总人数 N N 不变，病人和健康人的比例分不变，病人和健康人的比例分别为别为( )i t，( )s t。2 2）每个病人每天有效接触人数为）每个病人每天有效接触人数为，且使，且使接触的健康接触的健康 人致病。（人致病。（日接触
14、率）日接触率） 建模建模 ()( )( )( )N i tti ts t Ni tt ( )( )1diisdt s ti t0(1)(0)diiidt ii 0(1)(0)diiidt ii， 01( )111ti t ei，101ln1mti时，时，最大。（最大。（传染高峰期来临时传染高峰期来临时mttdi dtmt刻）。刻）。（日接触率）降低，则（日接触率）降低，则增大。增大。mt，意味着最终人人被传染，与实，意味着最终人人被传染，与实,1ti 际不符。际不符。带宣传效应的带宣传效应的 SISI 模型模型假设假设 1.1.单位时间内正常人被传染的比率为常单位时间内正常人被传染的比率为常
15、数数。2.2.一人得病后，经久不愈，人在传染期一人得病后，经久不愈，人在传染期 内不会死亡。内不会死亡。我们假设，宣传运动的开展将使得传染上疾我们假设，宣传运动的开展将使得传染上疾 病的人数减少，减少的速度与总人数成正比，这病的人数减少，减少的速度与总人数成正比，这个比例常数取决于宣传强度。个比例常数取决于宣传强度。若从若从00tt开始，开始， 开展一场持续的宣传运动，宣传强度为开展一场持续的宣传运动，宣传强度为a，则所得，则所得的数学模型为：的数学模型为：，其中，其中00(1)()(0)dii attdt ii 为为 HeavisideHeaviside 函数。函数。0 0 01,()0,tttttt得：得：0()1 00( )1(1)()1t tai ti ette 求得：求得：，这表明持续的，这表明持续的lim ( )(1)1 tai t宣传是起作用的，最终会
