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1、1导数导数考纲：掌握常见函数的求导公式，和、差、积、商函数以及复合函数的求导法则 掌握导数的几何意义，并能应用于曲线切线方程的求解 利用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质 知识点： 定义：函数从到的平均变化率)(xfy 1x2x函数从到的平均变化率为，令，)(xfy 1x2x1212)()( xxxfxf 1212,yyyxxx则平均变化率又可表示为.xy 函数在处的导数)(xfy oxx 定义称函数在处的瞬时变化率为函数)(xfy oxx xy xxxfxfxx012120lim)()(lim在处的导数，记作或，即=)(xfy oxx )(/ oxfoxxy|/)(/ oxf.xy xx
2、xfxfxx012120lim)()(lim几何意义函数函数在点在点处的导数处的导数的几何意义是曲线的几何意义是曲线在点在点处处)(xfy oxx )(/ oxf)(xfy )(,(ooxfx的切线的斜率相应地，切线方程为的切线的斜率相应地，切线方程为).)()(/ oooxxxfxfy函数的导函数)(xf称函数为的导函数，导函数有时也记作)(/xfxxfxxfx)()(lim 0)(xf./y说明：导数又称函数的变化率，如：在运动方程中，速度是位移的导数，加速)(tss 度又是速度的导数；科学领域内，化学反应速率，生物繁殖率，电流强度，人口增长率等等均属导数的范畴！曲线 “在点P(x0，y0
3、)处的切线”与“过点P(x0，y0)的)(xfy 切线”的区别与联系：曲线在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为)(xfy 的切线，是唯一的一条切线；而曲线过点P(x0，y0)的切线，是指切)(/ oxfk )(xfy 线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条例：（2010 全国 2 卷）曲线在点（-1，-1）处的切线方程为 2xxy（2010 全国 1 卷文）已知，则过原点，曲线的切线方程为 63)(24xxxf)(xfy 2常见函数的求导公式及求导法则：公式：axxeeaaanxxcaxxxxnn ln1)(log)(ln)()(0)(/1/xxx
4、xxxsin)(coscos)(sin1)(ln/法则：)()()()()()()()()()()()(/xgxfxgxfxgxfxcfxcfxgxfxgxf)()()()()()()()()()(/ 2/ /xgxgfxgfxgxgxfxgxf xgxf思考：；_)ln(/x_)2(ln/x_)(/31 xe; ;_)(tan/x_)(sin/2x._)(sin/2x应用： 利用导数的几何意义求曲线的切线方程； 求函数的单调区间或分析函数在特定区间内的单调性； 求函数的极值； 求函数的最值； 运用导数证明不等式；运用导数研究不等式恒成立问题；运用导数分析函数的性质，进一步得函数的零点或者超越
5、方程的根 重要题型分析： 题型一：对导数的概念、求导公式、求导法则的考查题型一：对导数的概念、求导公式、求导法则的考查例：函数极限=（ ）oooxxxxxxlnlnlimA. B. C. D.2oxox2ox21ox21变式：若函数在处可导，且，则（ ）)(xfox1)()3(lim 0txftxftoo)(/ oxfA.1 B.2 C.3 D.31某质点的运动方程为，则经过 2 秒后该质点运动的加速度为 24223tts变式：（09 湖北）设球的半径为时间 的函数，若球的体积以均匀速度增长，则t)(tRc球的表面积的增长速度与球半径（ ）A.成正比，比例系数为 B.成正比，比例系数为cc23
6、C.成反比，比例系数为 D.成反比，比例系数为 cc2设函数，则 xxfxfsincos)4()(/)4(f变式：已知函数满足，求函数的解析式)(xf21/ 21)0() 1 ()(xxfefxfx)(xf等比数列中，函数，则 na, 4, 281aa)()()(821axaxaxxxfL=（ ）)0(/fA. B. C. D.6292122152 题型二：对导数几何意义的考查题型二：对导数几何意义的考查例：（2013 广东）若曲线在点处的切线平行于轴，则 xkxyln), 1 ( kxk点在曲线上移动，则曲线在点处的切线的倾斜角的取值P7cos2sin212xxyP范围为（ ）A. B. C
7、. D.以上全不对，0 ，43 40U），（），【43 220U设是曲线的一条切线，则 bxy21xylnb（2012 全国卷）设点在曲线上，点在曲线上，则的Pxey21Q)2ln( xy PQ最小值为（A）1-ln2 （B） （C）1+ln2 （D）)2ln1 (2)2ln1 (2设.)(3xxxf求曲线在点处的切线方程；)(xfy )(,(tftM设，若过点可作曲线的三条切线，证明：0a),(ba)(xfy ).(afba题型三：运用导数分析函数的单调性题型三：运用导数分析函数的单调性在区间上为单调递增函数（且不恒为零）在上恒成)(xf),(ba0)(/xf)(/xf),(ba立；在区间上
8、为单调递减函数（且不恒为零）在上)(xf),(ba0)(/xf)(/xf),(ba恒成立.例 1.函数的单调增区间为 xxxfln)(4例若函数在上是单调递减函数，则的取值范围为)2ln(21)(2xbxxf), 1(bA. B. C. D.), 1), 1( 1,() 1,(变式：设函数.4) 13(23)(24xxaaxxf当时，求的极值；61a)(xf若在区间上是增函数，求的取值范围)(xf) 1 , 1(a例 3.已知函数为定义在上的可导函数，且对任意满足则对)(xfRx. 0)()(/xfxxf任意的实数有（ ）ba,A. B.)()(abfbafba)()(abfbafbaC. D
9、.)()(bbfaafba)()(abfbafba变式：（2009 天津）设在上的导函数为，且下面)(xfR)(/xf.)()(22/xxxfxf的不等式在上恒成立的是（ ）RA. B. C. D.0)(xf0)(xfxxf)(xxf)(（2011 辽宁）函数的定义域为，且对任意，)(xfR2) 1(f2)(,/xfRx则的解集为（ ）42)(xxfA. B. C. D.) 1 , 1(), 1() 1,(R例 4.设函数).0(3)(3abaxxxf若曲线在点处于直线相切，求的值；)(xfy )2(, 2(f8yba,求的单调区间与极值点)(xf5变式：设函数).0()(kxexfkx求曲线
10、在点处的切线方程；)(xfy )0(, 0(f求函数的单调区间；)(xf若函数在上单调递增，求的取值范围)(xf) 1 , 1(k例 5.已知函数，讨论的单调性)0)(ln2(2)(axaxxxf)(xf变式：（2010 辽宁）已知函数. 1ln) 1()(2axxaxf讨论的单调性；)(xf设如果对任意，求的取, 1a2121214)()(), 0(,xxxfxfxxa值范围已知函数).( 11ln)(Raxaaxxxf当时，讨论的单调性；21a)(xf设当时，若对任意，存在. 42)(2bxxxg41a)2 , 0(1x 2 , 12x使，求实数的取值范围)()(21xgxfb题型四：利用
11、导数求函数的极值题型四：利用导数求函数的极值 极值不同于最值！极值是一个局部概念，而最值属整体概念，所以极值的表示为或，而不能借用最值的标示符)(极小值极大值yy）（极小值极大值)()(xfxf).(minmaxyy6极值点处导数为零，但导数为零的点未必是极值点！求函数极值的步骤：求的根；列表；定论0/y例 1.：已知函数.212)(2xxxf求函数的极值；)(xf若对一切，求的最大值3)(3,bxafRxba 变式：（2013 全国卷 2）已知函数).ln()(mxexfx设是的极值点，求，并讨论的单调性；0x)(xfm)(xf当时，证明2m. 0)(xf例已知函数.)32()(22Raea
12、aaxxxfx当时，求曲线在点处切线的斜率；0a)(xfy )1 (, 1 (f当时，求函数的极值32a)(xf变式：（2013 重庆）设，曲线在点处Raxxaxf,ln6)5()(2)(xfy )1 (, 1 (f的切线与轴相交于点y).6 , 0(确定的值；a求函数的单调区间与极值)(xf7题型五：利用导数求函数的最值题型五：利用导数求函数的最值闭区间内连续函数的最值的求解：求的根；将落在上的根对应的函数值0/yba,与端点处的函数值大小比较；得出结论)(),(bfaf例 1.：已知函数在和处取得极值.cbxaxxxf23)(32x1x求的值及的单调区间；ba,)(xf若对，不等式恒成立，
13、求的取值范围2 , 1x2)(cxfc变式：).)()(Raaxxxf求的单调区间；)(xf设为在区间上的最小值)(ag)(xf 2 , 0写出的表达式；)(ag求的取值范围，使得a. 2)(6ag题型六：利用导数证明不等式题型六：利用导数证明不等式 通过原函数或构造的一个新的函数，并用导数作为工具研究函数的单调性，极值或最值， 来达到证明不等式的目的。例：（2013 北京）设为曲线在点处的切线LxxyCln:)0 , 1 (求的方程；L证明：除切点之外，曲线在直线的下方)0 , 1 (CL例已知函数. 1ln) 1()(xxxxf若，求的取值范围；1)(2/axxxxfa证明. 0)() 1
14、(xfx8变式（2011 大纲版全国卷）设，证明：当时，22)1ln()(xxxxf0x；从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这0)(xf种方式连续抽取 20 次，设抽得的 20 个号码互不相同的概率为，证明：p.1)109(219 ep变式（10安徽）设 a 为实数，函数.22)(axexfx求的单调区间与极值；)(xf求证：当且时，12lna0x. 122axxex题型七：运用导数解决不等式恒成立问题题型七：运用导数解决不等式恒成立问题例（2010 新课标全国卷）设函数.) 1()(2axexxfx若，求的单调区间；21a)(xf若当时，求的取值范围0x0)(xfa变式（2010 大纲版全国卷）设函数.1)(xexf证明当时，；1x1)(xxxf设当时，求的取值范围0x1)(axxxfa变式（2011 新课
