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1、1第第 5 5 讲讲 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质【2013 年高考会这样考】1以选择题、填空题的形式考查垂直关系的判定，经常与命题或充要条件相结合2以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定考查空间想象能力、逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力3能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题【复习指导】1垂直是立体几何的必考题目，且几乎每年都有一个解答题出现，所以是高考的热点，是复习的重点纵观历年来的高考题，立体几何中没有难度过大的题，所以复习要抓好三基：基础知识，基本方法，基本能力
2、2要重视和研究数学思想、数学方法在本讲中“化归”思想尤为重要，不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直” ，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口基础梳理1直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法定义法利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面(2)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一直线的两平面平行2斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角3平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方
3、法定义法利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直2(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面一个关系垂直问题的转化关系线线垂直面面垂直判定性质线面垂直判定性质三类证法(1)证明线线垂直的方法定义：两条直线所成的角为 90；平面几何中证明线线垂直的方法；线面垂直的性质：a，bab；线面垂直的性质：a，bab.(2)证明线面垂直的方法线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；判定定理 1：Error!l；判定定理 2：ab，ab；面面平行的性质：，aa；面面垂直的性质：，l，a，ala.(3)证明面面垂直的方法利用
4、定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a，a.双基自测1(人教 A 版教材习题改编)下列条件中，能判定直线l平面的是( )Al与平面内的两条直线垂直Bl与平面内无数条直线垂直Cl与平面内的某一条直线垂直Dl与平面内任意一条直线垂直解析 由直线与平面垂直的定义，可知 D 正确答案 D2(2012安庆月考)在空间中，下列命题正确的是( )A平行直线的平行投影重合B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行3D垂直于同一平面的两条直线平行解析 选项 A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项 B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；
5、选项 C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项 D 正确答案 D3(2012兰州模拟)用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a，b，则ab；若a，b，则ab. 其中真命题的序号是( )A B C D解析 由公理 4 知是真命题在空间内ab，bc，直线a、c的关系不确定，故是假命题由a，b，不能判定a、b的关系，故是假命题是直线与平面垂直的性质定理答案 C4(2011聊城模拟)设a、b、c表示三条不同的直线，、表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )A.Error!cB.Error!bcC.Error!cD.Error
6、!b解析 由a，b可得b与的位置关系有：b，b，b与相交，所以 D不正确答案 D5如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_解析 由线面垂直知，图中直角三角形为 4 个答案 4 4考向一 直线与平面垂直的判定与性质【例 1】(2011天津改编)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45，ADAC1，O为AC的中点，PO平面ABCD.证明：AD平面PAC.审题视点 只需证ADAC，再利用线面垂直的判定定理即可证明 ADC45，且ADAC1.DAC90，即ADAC，又PO平面ABCD，AD平面ABCD，POAD，而ACPOO，AD平面PAC.(1)证明直线
7、和平面垂直的常用方法有：判定定理；ab，ab；，aa；面面垂直的性质(2)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直【训练 1】 如图，已知BD平面ABC，MC綉BD，ACBC，N是棱AB的中点1 2求证：CNAD.证明 BD平面ABC，CN平面ABC，BDCN.又ACBC，N是AB的中点CNAB.又BDABB，CN平面ABD.5而AD平面ABD，CNAD.考向二 平面与平面垂直的判定与性质【例 2】如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC4.M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD.5审题视点 证明BD平面PAD，根据已知
8、平面PAD平面ABCD，只要证明BDAD即可证明 在ABD中，由于AD4，BD8，AB4，5所以AD2BD2AB2.故ADBD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD.又BD平面MBD，故平面MBD平面PAD.面面垂直的关键是线面垂直，线面垂直的证明方法主要有：判定定理法、平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法，本题就是用的面面垂直性质定理法，这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法【训练 2】 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的
9、中点证明：平面ABM平面A1B1M.证明 A1B1平面B1C1CB，BM平面B1C1CB，A1B1BM，由已知易得B1M，2又BM，B1B2，BC2CM22B1M2BM2B1B2，B1MBM.又A1B1B1MB1，BM平面A1B1M.而BM平面ABM，平面ABM平面A1B1M.6考向三 平行与垂直关系的综合应用【例 3】如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，点E、F分别是AB、BD的中点求证：(1)直线EF平面ACD；(2)平面EFC平面BCD.审题视点 第(1)问需证明EFAD；第(2)问需证明BD平面EFC.证明 (1)在ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，所以EFAD.又
10、AD平面ACD，EF平面ACD，所以直线EF平面ACD. (2)在ABD中，因为ADBD，EFAD，所以EFBD.在BCD中，因为CDCB，F为BD的中点，所以CFBD.因为EF平面EFC，CF平面EFC，EF与CF交于点F，所以BD平面EFC.又因为BD平面BCD，所以平面EFC平面BCD.解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图图在解题中起着非常重要的作用，空间平行、垂直关系的证明，都与几何体的结构特征相结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键【训练 3】 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EFAC，AB，CEEF1
11、.2(1)求证：AF平面BDE；(2)求证：CF平面BDE. 证明 (1)设AC与BD交于点G.7因为EFAG，且EF1，AGAC1.1 2所以四边形AGEF为平行四边形，所以AFEG.因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)如图，连接FG.因为EFCG，EFCG1，且CE1，所以四边形CEFG为菱形所以CFEG.因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC.又因为平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCDAC，所以BD平面ACEF. 所以CFBD.又BDEGG.所以CF平面BDE.考向四 线面角【例 4】(2012无锡模拟)如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，P
12、D底面ABCD，点E在棱PB上(1)求证：平面AEC平面PDB；(2)当PDAB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小2审题视点 (1)转化为证明AC平面PDB；(2)AE与平面PDB所成的角即为AE与它在平面PDB上的射影所成的角(1)证明 8四边形ABCD是正方形，ACBD.PD底面ABCD，PDAC.又PDBDD，AC平面PDB.又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.(2)解 设ACBDO，连接OE.由(1)知，AC平面PDB于点O，AEO为AE与平面PDB所成的角点O、E分别为DB、PB的中点，OEPD，且OEPD.1 2又PD底面ABCD，OE底面ABCD，OEAO
13、.在 RtAOE中，OEPDABAO，AEO45.1 222即AE与平面PDB所成的角为 45.求直线与平面所成的角，一般分为两大步：(1)找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；(2)计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解【训练 4】 (2012丽水质检)如图，已知DC平面ABC，EBDC，ACBCEB2DC2，ACB120，P，Q分别为AE，AB的中点(1)证明：PQ平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值(1)证明 因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQEB.又DCEB，因此PQDC，PQ平面ACD，DC平面ACD，从而PQ平面ACD.(2)解
14、如图，连接CQ，DP.9因为Q为AB的中点，且ACBC，所以CQAB.因为DC平面ABC，EBDC，所以EB平面ABC.因此CQEB，又ABEBB，故CQ平面ABE.由(1)有PQDC，又PQEBDC，1 2所以四边形CQPD为平行四边形，故DPCQ，因此DP平面ABE，DAP为AD和平面ABE所成的角，在 RtDPA中，AD，DP1，sinDAP.555因此AD和平面ABE所成角的正弦值为. 55阅卷报告 11证明过程推理不严密而丢分【问题诊断】 高考对空间线面关系的考查每年必有一道解答题，难度为中低档题，大多数考生会做而得不到全分，往往因为推理不严密，跳步作答所致.【防范措施】 解题过程要表达准确、格式要符合要求.每步推理要有根有据.计算题要有明确的计算过程，不可跨度太大，以免漏掉得分点.引入数据要明确、要写明已知、设等字样.要养成良好的书写习惯.【示例】(2011江苏)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.10错因 在运用判定定理时漏掉关键条件致使推理不严谨致误实录 (1)在PAD中，因为E，F分别为AP、AD的中点，所以EFPD，所以EF平面PCD.(2)A
