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1、1第第 2 2 讲讲 直接证明与间接证明直接证明与间接证明【2013 年高考会这样考】1在历年的高考中，证明方法是常考内容，考查的主要方式是对它们原理的理解和用法难度多为中档题，也有高档题2从考查形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析法、反证法等方法【复习指导】在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的 基础梳理1直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等
2、，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法框图表示：PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)(2)分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫做分析法框图表示：QP1P1P2P2P3.得到一个明显成立的条件2间接证明一般地，由证明pq转向证明：綈qrt.t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法一个关系综合法与分析法的关系分析法与综合法相辅相成，对较复杂的
3、问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方2法交叉使用两个防范(1)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的(2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)” “即要证” “就要证”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立双基自测1(人教 A 版教材习题改编)p，q(m、n、a、b、c、d均为正abcdmancb md n数)，则p、q的大小为( )Apq Bpq Cpq D不确定解析 q abm
4、adnnbcmcdab2abcdcdp，当且仅当时取等号abcdmad nabc m答案 B2设alg 2lg 5，bex(x0)，则a与b大小关系为( )Aab BabCab Dab解析 alg 2lg 51，bex，当x0 时，0b1.ab.答案 A3否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为( )Aa，b，c都是奇数Ba，b，c都是偶数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中至少有两个偶数或都是奇数解析 a，b，c恰有一个偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有 D 正确答案 D4(2012广州调研)设a、bR R，若
5、a|b|0，则下列不等式中正确的是( )Aba0 Ba3b30 Ca2b20 Dba0解析 a|b|0，|b|a，a0，aba，ba0.答案 D5在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定事项不止一个时，必须将结论的否定情3况逐一驳倒，才能肯定原命题的正确例如：在ABC中，若ABAC，P是ABC内一点，APBAPC，求证：BAPCAP，用反证法证明时应分：假设_和_两类答案 BAPCAP BAPCAP 考向一 综合法的应用【例 1】设a，b，c0，证明：abc.a2 bb2 cc2 a审题视点 用综合法证明，可考虑运用基本不等式证明 a，b，c0，根据均值不等式，有b2a，c2b，a2c.a2
6、 bb2 cc2 a三式相加：abc2(abc)a2 bb2 cc2 a当且仅当abc时取等号即abc.a2 bb2 cc2 a综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性【训练 1】 设a，b为互不相等的正数，且ab1，证明： 4.1 a1 b证明 (ab)2 224.1 a1 b(1 a1 b)b aa b又a与b不相等故 4.1 a1 b考向二 分析法的应用【例 2】已知m0，a，bR R，求证：2.(amb 1m)a2mb
7、2 1m审题视点 先去分母，合并同类项，化成积式证明 m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证明(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20 显然成立，故原不等式得证4逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键【训练 2】 已知a，b，m都是正数，且ab.求证： .am bma b证明 要证明 ，由于a，b，m都是正数，am bma b只需证a(bm)b(am)，只需证ambm，由于m0，所以，只需证ab.已知ab，所以原不等式成立(说明：本题还可用作差比较法、综合法、反
8、证法)考向三 反证法的应用【例 3】已知函数f(x)ax(a1)x2 x1(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数(2)用反证法证明f(x)0 没有负根审题视点 第(1)问用单调增函数的定义证明；第(2)问假设存在x00 后，应推导出x0的范围与x00 矛盾即可证明 (1)法一 任取x1，x2(1，)，不妨设x1x2，则x2x10，ax2x11，且ax10.所以ax2ax1ax1(ax2x11)0.又因为x110，x210，所以x22 x21x12 x110，x22x11x12x21 x21x113x2x1 x21x11于是f(x2)f(x1)ax2ax10，x22 x21x12 x11故
9、函数f(x)在(1，)上为增函数法二 f(x)axln a0，3 x12f(x)在(1，)上为增函数(2)假设存在x00(x01)满足f(x0)0，则ax0，又 0ax01，所以 0x02 x011，即 x02，与x00(x01)假设矛盾故f(x0)0 没有负根x02 x011 2当一个命题的结论是以“至多” ， “至少” 、 “唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：与已知条件矛盾；5与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器【训练 3】 已知a a，b b为
10、非零向量，且a a，b b不平行，求证：向量a ab b与a ab b不平行证明 假设向量a ab b与a ab b平行，即存在实数使a ab b(a ab b)成立，则(1)a a(1)b b0，a a，b b不平行，Error!得Error!所以方程组无解，故假设不成立，故原命题成立 规范解答 24怎样用反证法证明问题【问题研究】 反证法是主要的间接证明方法，其基本特点是反设结论，导出矛盾，当问题从正面证明无法入手时，就可以考虑使用反证法进行证明.在高考中，对反证法的考查往往是在试题中某个重要的步骤进行.【解决方案】 首先反设，且反设必须恰当，然后再推理、得出矛盾，最后肯定.【示例】(本题
11、满分 12 分)(2011安徽)设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆 2x2y21 上第(1)问采用反证法，第(2)问解l1与l2的交点坐标，代入椭圆方程验证解答示范 证明 (1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行或重合，有k1k2，(2 分)代入k1k220，得k20.(4 分)2 1这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1k2，即l1与l2相交(6 分)(2)由方程组Error!解得交点P的坐标(x，y)为Error!(9 分)从而 2x2y2222(2 k2k1)(k2k1 k2k1)1，
12、8k2 2k2 12k1k2 k2 2k2 12k1k2k2 1k2 24 k2 1k2 24此即表明交点P(x，y)在椭圆 2x2y21 上(12 分)用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须6是明显的【试一试】 已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列尝试解答 (1)当n1 时，a1S12a12，则a11.又anSn2，所以an1Sn12，两式相减得an1an，1 2所以an是首项为 1，公比为 的等比数列，所以an.1 21 2n1(2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN N*)，则 2，所以 22rq2rp1.1 2q1 2p1 2r又因为pqr，所以rq，rpN N*.所以式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证
