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1、一次函数问题一次函数问题梅里斯区达斡尔族中学梅里斯区达斡尔族中学 陈建森陈建森尊敬的各位领导各位老师大家好：尊敬的各位领导各位老师大家好：我是梅里斯达斡尔族中学教师陈建森，今天我带来的原创试题我是梅里斯达斡尔族中学教师陈建森，今天我带来的原创试题是中考是中考 25 题这一题型的一次函数问题。题这一题型的一次函数问题。一、下面请看这道题：一、下面请看这道题：钓鱼岛是我国的固有领土，某天我国海事局派遣一艘海监船到钓鱼岛是我国的固有领土，某天我国海事局派遣一艘海监船到钓鱼岛南部海域执行一次海监任务，钓鱼岛南部海域执行一次海监任务，A A 港位于钓鱼岛正东方向，此港位于钓鱼岛正东方向，此次海监船的航行
2、路线是：从次海监船的航行路线是：从 A A 港出发，以南偏西港出发，以南偏西 6060方向航至钓鱼方向航至钓鱼岛正南方向海域，执行一小时海监任务后，按原路线返回岛正南方向海域，执行一小时海监任务后，按原路线返回 A A 港，返港，返回时比去时少用小时；在海监船出发后，有一艘渔船以回时比去时少用小时；在海监船出发后，有一艘渔船以（海（海35里里/ /小时）的速度从钓鱼岛出发驶向小时）的速度从钓鱼岛出发驶向 A A 港，并停留在港，并停留在 A A 港，下图是海港，下图是海监船和渔船各自航行的路程海里与海监船出发的时间小时之间监船和渔船各自航行的路程海里与海监船出发的时间小时之间的函数图象，根据图
3、像回答下列问题。的函数图象，根据图像回答下列问题。（）在坐标轴的（）在坐标轴的（ ）内填上相应的数值；）内填上相应的数值；（）求海监船返回（）求海监船返回 A A 港时与之间的函数解析式；港时与之间的函数解析式；（）求渔船出发多长时间时海监船恰好位于它的正南方向？（）求渔船出发多长时间时海监船恰好位于它的正南方向？O8（ ）2（ ）(小时)(海里)为了更好的研究这一问题，我们先构造一个与题意相符的平面为了更好的研究这一问题，我们先构造一个与题意相符的平面示意图，示意图， 大家看这是钓鱼岛，这是钓鱼岛东部大家看这是钓鱼岛，这是钓鱼岛东部 A A 港，这是海监船要港，这是海监船要抵达的钓鱼岛南部执
4、勤海域，由正东、正南方向可知这个角为直角，抵达的钓鱼岛南部执勤海域，由正东、正南方向可知这个角为直角，这是南偏西的这是南偏西的 6060角，那么这个角就为角，那么这个角就为 3030角，海监船的航行路角，海监船的航行路线就是从线就是从 A A 港抵达执勤海域，这是与之对应的函数图像，这是执行港抵达执勤海域，这是与之对应的函数图像，这是执行一小时海监任务的函数图像，这是海监船返回一小时海监任务的函数图像，这是海监船返回 A A 港，这是对应的函港，这是对应的函数图像，由函数图像可知总航程为数图像，由函数图像可知总航程为 160160 海里，那么从海里，那么从 A A 港到执勤海港到执勤海域的路程
5、就是域的路程就是 8080 海里，根据海里，根据 3030角所对的直角边等于斜边的一半，角所对的直角边等于斜边的一半，可求出钓鱼岛到执勤海域的路程为可求出钓鱼岛到执勤海域的路程为 4040 海里，由勾股定理可求钓鱼岛海里，由勾股定理可求钓鱼岛到到 A A 港的路程为港的路程为海里，这也就是渔船的航行路线，这是渔船对海里，这也就是渔船的航行路线，这是渔船对340应的函数图像。由此可知这个括号内填写应的函数图像。由此可知这个括号内填写，由返回时比去时少，由返回时比去时少340用用 1 1 小时和执行小时和执行 1 1 小时海监任务，可以求出这两段用的时间是相同小时海监任务，可以求出这两段用的时间是
6、相同的，那么这个括号内应填的，那么这个括号内应填 4.4.我们来看一下三个问题，那么第我们来看一下三个问题，那么第问题括号里面应填的数值就问题括号里面应填的数值就是是和和 4.4.第第问题求海监船返回问题求海监船返回 A A 港时港时 y y 与与 x x 之间的函数解析式。之间的函数解析式。340从图像上看就是从图像上看就是 BCBC 这段函数解析式，观察图像可知这段函数解析式，观察图像可知 C C 点坐标为点坐标为，由于执行，由于执行 1 1 小时海监任务，所以小时海监任务，所以 B B 点的横坐标为点的横坐标为 5 5 小时，纵小时，纵160, 8坐标应是总路程的一半为坐标应是总路程的一
7、半为 8080 海里，即海里，即 B B 点坐标为点坐标为，利用两点，利用两点80, 5法求出函数解析式为法求出函数解析式为 。3160 380xy85 x我们再来看第我们再来看第问题求渔船出发多长时间时海监船恰好位于它问题求渔船出发多长时间时海监船恰好位于它的正南方向的正南方向? ?请看方法一请看方法一: :这是海监船的分段函数解析式，这是海监船的分段函数解析式，OAOA 段为段为，ABAB 段为段为 y=80y=80 ，BCBC 段为段为，后面是对应的取值范，后面是对应的取值范xy203160 380xy围。由围。由 A A 港到钓鱼岛的路程为港到钓鱼岛的路程为海里，渔船的航速为海里，渔船
8、的航速为海里海里/ /小小34035时，可求出航行时间为时，可求出航行时间为 8 8 小时，再加上渔船比海监船晚出发小时，再加上渔船比海监船晚出发 2 2 小时，小时，可求出渔船到达时为可求出渔船到达时为 1010 小时，则这点坐标就为小时，则这点坐标就为，这个点的，这个点的340,10坐标就为坐标就为，利用两点法求出渔船的函数解析式为，利用两点法求出渔船的函数解析式为0, 2。我用红色三角形代表海监船，蓝色三角形。我用红色三角形代表海监船，蓝色三角形10231035xxy代表渔船，下面是情景再现，首先海监船先开始航行，代表渔船，下面是情景再现，首先海监船先开始航行，2 2 小时后渔小时后渔船
9、才开始航行，这是第一次海监船位于渔船正南方向上，船才开始航行，这是第一次海监船位于渔船正南方向上，AMAM 的路程的路程就为就为，因为，因为 N N 点所在的位置对应的函数图像应是点所在的位置对应的函数图像应是 OAOA 段，段，渔船y340所以所以 ANAN 的路程就用的路程就用的函数解析式来表示，的函数解析式来表示，ANAN 乘以乘以就等于就等于OAyo30cosAMAM，解得，解得，渔船出发又晚了，渔船出发又晚了 2 2 小时所以为小时所以为小时，海监船和渔小时，海监船和渔310x34船都继续航行，海监船到达执勤海域，执行船都继续航行，海监船到达执勤海域，执行 1 1 小时的海监任务后，
10、小时的海监任务后，按原路线返回，第二次又位于渔船的正南方向上，按原路线返回，第二次又位于渔船的正南方向上，AHAH 代数式依然为代数式依然为, ,此时此时 K K 点所在的位置对应的函数图像应是点所在的位置对应的函数图像应是 BCBC 段，段，AKAK 的的渔船y340路程可用代数式路程可用代数式, ,再乘以再乘以与与 AHAH 路程相等，可求出路程相等，可求出BCy160o30cos，再减去晚出发的，再减去晚出发的 2 2 小时，可以求出渔船出发时间为小时，可以求出渔船出发时间为小时，小时，534x524这是航行结束。这是航行结束。方法二是代数法，设渔船出发方法二是代数法，设渔船出发 x x
11、 小时后海监船恰好位于它的正小时后海监船恰好位于它的正南方向。南方向。ODOD 段的速度就为段的速度就为 804=20804=20 海里海里/ /小时，情况一可以这样列小时，情况一可以这样列式渔船从钓鱼岛到式渔船从钓鱼岛到 M M 点路程为点路程为，AMAM 段应为段应为，海监船，海监船x35x35340比渔船早出发比渔船早出发 2 2 小时，所以海监船的时间小时，所以海监船的时间 x+2x+2 小时，速度为小时，速度为 2020 海里海里/ /小时，小时，ANAN 段路程就为段路程就为 20(x+2)20(x+2)海里，它们之比为海里，它们之比为，解得，解得，o30cos34x情况二情况二
12、BCBC 段速度为段速度为海里海里/ /小时，小时，AHAH 的代数式不变依然为的代数式不变依然为380，由于海监船去时从，由于海监船去时从 A A 港到执勤海域总时间为港到执勤海域总时间为 4 4 小时，小时，x35340渔船晚出发渔船晚出发 2 2 小时，海监船执行任务小时，海监船执行任务 1 1 小时，由此可求出海监船从小时，由此可求出海监船从执勤海域返回执勤海域返回 A A 港时比渔船从钓鱼岛出发晚港时比渔船从钓鱼岛出发晚 3 3 小时，返回时间就为小时，返回时间就为x-3x-3 小时，再乘以小时，再乘以就表示从执勤海域到就表示从执勤海域到 K K 点的路程，点的路程，AKAK 就为就
13、为380，它们的比值为，它们的比值为，解得，解得。这就是第三问的两。这就是第三问的两338080xo30cos524x种解法。这就是这道题的完整分析与解答的过程。种解法。这就是这道题的完整分析与解答的过程。二、命题的依据：二、命题的依据：全日制义务教育数学科课程标准全日制义务教育数学科课程标准为依据为依据三、自编试题的特点：三、自编试题的特点：1、选材背景紧跟时代热点。、选材背景紧跟时代热点。2、一次函数与三角函数有机组合。、一次函数与三角函数有机组合。3、函数图像简捷、原理适中。、函数图像简捷、原理适中。四、所能考察学生的那些方面：四、所能考察学生的那些方面：1、综合运用函数思想；、综合运用
14、函数思想；2、数形结合思想；、数形结合思想；3、依据题意进行绘图的能力；、依据题意进行绘图的能力；4、动点问题的准确判断能力、动点问题的准确判断能力五、试题的难度和区分度的预测：五、试题的难度和区分度的预测：难度：难度：0.65. 区分度：区分度：0.53六、在实际教学中的使用效果等方面：六、在实际教学中的使用效果等方面： 学生很感兴趣，在一次函数学生很感兴趣，在一次函数行程问题中，首次由关注路程、行程问题中，首次由关注路程、速度、时间到关注方向的变化，通过方位角的出现，引入三角函数，速度、时间到关注方向的变化，通过方位角的出现，引入三角函数，这样一次函数就与三角函数进行有机组合，加强了数学知识之间的这样一次函数就与三角函数进行有机组合，加强了数学知识之间的综合训练。同时也是一次爱国主义教育，选择的背景紧跟时代步伐，综合训练。同时也是一次爱国主义教育，选择的背景紧跟时代步伐，钓鱼岛是我国固有领土，让学生在做题过程中，唤起爱国之志钓鱼岛是我国固有领土，让学生在做题过程中，唤起爱国之志。 一次函数问题一次函数问题梅里斯区达斡尔族中学梅里斯区达斡尔族中学陈陈 建建 森森
