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1、高一数学期末复习高一数学期末复习-立体几何立体几何编编 制：制： 王王 平平 李宗军李宗军 2013-01-222013-01-22一、一、 【基础梳理基础梳理】基本图形基本图形1 1棱柱棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平 行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 L底面是正多形 棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体2.2. 棱锥棱锥 棱锥棱锥有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何
2、体叫 做棱锥。正棱锥如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的 棱锥叫做正棱锥。3 3球球 球的性质：球的性质： 球心与截面圆心的连线垂直于截面；（其中，球心到截面的距离为22rRdd、球的半径为 R、截面的半径为 r） 球与多面体的组合体：球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方 体，球与正方体等的内接与外切.注：球的有关问题转化为圆的问题解决.球面积、体积公式：球面积、体积公式：（其中 R 为球的半径）2344,3SR VR球球侧 侧 侧 侧侧 侧 侧 侧侧 侧 侧 侧侧 侧侧 侧 侧 侧侧 侧 侧 侧OCDABHSl侧 侧 侧 侧侧 侧 侧 侧侧 侧 侧
3、侧EBDC AFBDEAFCr rd dR R侧 侧 侧 侧 侧 侧侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧AOO1BACDBCDOABOC AAc平行垂直基础知识网络平行垂直基础知识网络平行关系平行关系平面几何知识平面几何知识线线平行线线平行线面平行线面平行面面平行面面平行垂直关系垂直关系平面几何知识平面几何知识线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直判定性质判定推论性质 判定判定性质 判定面面垂直定义1.,/abab 2., /aabb 3.,/aa 4./,aa 5./, L L平行与垂直关系可互相转化二、二、 【方法总结方法总结】判定两线平行的方法判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的
4、两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和 交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 判定线面平行的方法判定线面平行的方法 6、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 7、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 8、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 9、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 10、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面
5、平行，则也平行于另一个平面 判定面面平行的方法判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 面面平行的性质面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 判定线面垂直的方法判定线面垂直的方法 1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3、如
6、果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 判定两线垂直的方法判定两线垂直的方法 1、定义：成角90 2、 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它
7、也和另一条垂直 判定面面垂直的方法判定面面垂直的方法 1、 定义：两面成直二面角,则两面垂直 2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 面面垂直的性质面面垂直的性质 1、 二面角的平面角为90 2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 各种角的范围各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是： 900 90,02、直线与平面所成的角的取值范围是： 900 90,03、斜线与平面所成的角的取值范围是： 900 90,04、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是： 1800180,0三角形的心三角形
8、的心 1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点，重心把线段分成 2 比 1 的两段。 4、垂心：高的交点异面直线所成的角，线面角，二面角的求法异面直线所成的角，线面角，二面角的求法1 1求异面直线所成的角求异面直线所成的角：0 ,90解题步骤：一找（作）一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：二证： 证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角） 。常需要证明线线平行； 三计算：三计算：通过解三角形，求出异面直线所
9、成的角；2 2 求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角：关键找：关键找“两足两足”：垂足与斜足：垂足与斜足0 ,90解题步骤：一找：解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用） ； 二证：二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角） （常需证明线面垂直） ；三计算：三计算： 常通过解直角三角形，求出线面角。3 3 求二面角的平面角求二面角的平面角180,0解题步骤：一找：解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证：二证： 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法） ； 三计算：三计算
10、：通 过解三角形，求出二面角的平面角。几点感受：平行的亮点就是做辅助线；垂直的亮点就是线线垂直和线面垂直来回的转化（倒着推几点感受：平行的亮点就是做辅助线；垂直的亮点就是线线垂直和线面垂直来回的转化（倒着推找思路正着写步骤）找思路正着写步骤） ，并且在转化的过程中整道题其实就是要证一条线线垂直就联系上了！，并且在转化的过程中整道题其实就是要证一条线线垂直就联系上了！一、关于平行一、关于平行1 1、 平行无难题，做好辅助线就行！注意定理的完整（线面平行是三推一）平行无难题，做好辅助线就行！注意定理的完整（线面平行是三推一） ，并在卷面上突出重点，并在卷面上突出重点步骤，让阅卷老师看到。线面平行问
11、题尽量不要用面面平行的性质证，步骤，让阅卷老师看到。线面平行问题尽量不要用面面平行的性质证， （步骤太繁琐）要耐心找辅（步骤太繁琐）要耐心找辅助线，实在找不到再用。如学案助线，实在找不到再用。如学案 118118 页页 9 9 题。题。2 2、 如果题干中出现如果题干中出现“中点中点” ，一定要用三角形中位线或平行四边形对边去证（这种最简单），一定要用三角形中位线或平行四边形对边去证（这种最简单） ；如；如学学案案 124124 页左上页左上 2 2 题（题（1 1） ；右上；右上 7 7 题。题。3 3、 如果题干中出现线段相等或是比例相等，那么一定要用到三角形相似。具体来说就是用两对如果题
12、干中出现线段相等或是比例相等，那么一定要用到三角形相似。具体来说就是用两对三三角形相似，再加上两条边相等，传递出来一对比例相等，进而得到线线平行。这种题目往往还是角形相似，再加上两条边相等，传递出来一对比例相等，进而得到线线平行。这种题目往往还是要先做一条辅助线进而得到两个三角形。如学案要先做一条辅助线进而得到两个三角形。如学案 120120 页页 1515 题，题，136136 页页 1818 题，题，113113 页左下尝试页左下尝试 1 1。4 4、像用定义证明平行（共面且无公共点）问题；几个定理本身的推导证明；平行平面与两线相交、像用定义证明平行（共面且无公共点）问题；几个定理本身的推
13、导证明；平行平面与两线相交（如学案（如学案 120120 页页 1616 题；题；118118 页页 1010 题）问题，估计考不到（那么多空间几何体不用，去弄两个破题）问题，估计考不到（那么多空间几何体不用，去弄两个破平面考你）？平面考你）？5 5、关于辅助线。同学们普遍反映想不到做哪条辅助线，我分析原因是你们的题量不够，没有练出、关于辅助线。同学们普遍反映想不到做哪条辅助线，我分析原因是你们的题量不够，没有练出题感，再加上做题时缺乏明确的目标，胡乱划着找，当然不好做！题感，再加上做题时缺乏明确的目标，胡乱划着找，当然不好做！这个问题，同学们可以尝试一下这个问题，同学们可以尝试一下“补形补形
14、”的思想，在给出的几何体图中，由于还没有做出辅的思想，在给出的几何体图中，由于还没有做出辅助线，三角形及里面的中位线，或者平行四边形往往是残缺不全的，如果我们能由残缺的图形入助线，三角形及里面的中位线，或者平行四边形往往是残缺不全的，如果我们能由残缺的图形入手思索，去尝试补形，补上的那一笔就是辅助线！具体来说，要补形，方法有两个，一个是补点，手思索，去尝试补形，补上的那一笔就是辅助线！具体来说，要补形，方法有两个，一个是补点，一个是补边。要我们证明的那一条线是明确的，而且往往牵连着其他的线，好了，比如说三角形一个是补边。要我们证明的那一条线是明确的，而且往往牵连着其他的线，好了，比如说三角形中
15、位线模型，有四条边，五个点，已知了一条线，两个点，那么只要找到剩余的点或边，形就补中位线模型，有四条边，五个点，已知了一条线，两个点，那么只要找到剩余的点或边，形就补上了，辅助线也就做出来了。上了，辅助线也就做出来了。如果还是不好补，比如说平行四边形模型，有四条边，四个点，由于本身对边就平行，所以如果还是不好补，比如说平行四边形模型，有四条边，四个点，由于本身对边就平行，所以已知边往往没有牵扯到其它信息；特别要再不是中点，就难补了。如学案已知边往往没有牵扯到其它信息；特别要再不是中点，就难补了。如学案 114114 页页 6 6 题；学案题；学案 113113页右上页右上 2 2；120120 页页 1515 题。这种情况下，我们就硬来，联想题。这种情况下，我们就硬来，联想 “射击思想射击思想” ，比如，比如 120120 页页 1515 题，已知题，已知边的两个端点边的两个端点 P P 和和 Q Q 是枪口，你就分别瞄着那个平面（是枪口，你就分别瞄着那个平面（CBECBE）打两枪，
