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1、 四川大学硕二学位论文一类二维自治系统的定态解分歧专业：应用数学研究生：黄常春摘要：对于方程指导教师：马天（，）缸一（，）（）在（，厶）附近的分歧问题，我们已经知道，（，）是（）的分歧点的必要条件是：厶是的特征值；而且，当是的奇代数重特征值时，（，九）必是方程（）的分歧点。然而，我们可以找到这样的例子：当是的偶代数重特征值时，（，）则可能不是（）的分歧点。这就使得在算子的偶重特征值点的分歧问题呈现出复杂性与多样性，因而，对相应分岔问题的研究也就具有了必要性与显著意义。本文利用拓扑度的有关理论，并结合约化方法，对一类二维自治系统（）在偶代数重特征值点的静态分歧问题作了初步的研究，得到了一个关于该
2、系统是否存在定态解分歧的判别结果。虽然我们研究的只是一个二维系统，然而，它的意义并不仅只于此。它实际上解决了一类可通过方法约化为方程（）的高维系统的类似问题。关键词：二维自治系统；定态解；分岔；拓扑度与指数；隐函数定理。婴型大兰堡生兰垡望壅一一 ： ： ： ： （，）瓜一（，丑）， ， （，丑） 厶 。， ， （，厶）， 。 ， 西 ， （） ， 。 ， ， （） 。 ： ； ； ； 。，；四川大学硕士学位论文第一章综述分岔是一类常见而重要的非线性现象，它具有丰富的物理和技术背景，并与其他非线性现象（如混沌、突变、分形以及拟序结构等）密切相关。比如：流体力学的对流问题；弹性力学中棒的弯曲问题；
3、核反应堆的临界尺度问题等等。在对由这些问题抽象出来的数学方程的研究过程中我们发现：某个因素对系统的平衡态的影响，一般地是以参数的形式出现。为了了解平衡态随因素的变化，我们需要研究方程解集的结构随参数的变化情况，这种变化情况往往就牵涉到分歧。又如：在物理、化学、生物等系统中存在着多样化形态的变化，这些形态的变化不仅取决于非线性方程（如代数方程、常微分方程、偏微分方程）的控制，而且还靠输入到系统中的外界能量来维持，通常把这种多样化的形态统称为耗散结构。这种耗散结构不仅导致系统形态的多样性变化，而且增加了系统的复杂性。也就是说，当系统的控制参数变化时，新的定态解、周期解、拟周期解或者混沌解就会分岔出
4、来。关于分禽问题的研究最早可以追溯到对一族平衡解出现分岔的描述以及、等人对流体力学中一些问题的研究。本世纪年代，范德坡（），安德罗诺夫（皿）等在非线性振动中即已发现大量分岔现象。然而，在相当长时间里，分岔主要是在应用领域进行的。直到世纪年代，微分动力系统、奇异性、突变、非线性分析等方面逐渐形成了现代数学理论，加上电子计算机和有效计算手段相继出现，尤其是不同领域中混沌现象的发现，促使分岔理论迅速发展，并且在力学、物理学、化学、生物学、生态学、医学、控制、工程技术以及社会科学中得到了广泛的应用。分岔原为微分方程理论中的一个名词，最初它的含义一分为二，后来，人们将它加以推广，泛指在一个含参数动力系统
5、中，当控制参数变动并经过某些临界值时，系统相图的拓扑结构或定性性态（例如平衡状态或周期运动的数目或稳定性）会发生突然变化，这种现象称为分岔。而分岔理论则是研究非线性方程（代数方程、微分方程、积分方程等）解的定性行为的数学理论。它包括分岔点的位簧：分岔解的数目与方向；分岔解的稳定性：分岔的类型；分岔的四川大学硕十学位论文过程与终态（奇怪吸引子）等等。可见，分岔理论除了涉及到非线性稳定性理论外，还含有突变和混沌等新内容。另外，从分岔过程来看，系统结构失稳是发生分岔的物理前提，分岔以后，系统不同状态间便产生了不连续的过渡，这就是突变，然后经过不断地分岔，最后系统所达到的终态就是混沌理论的研究对象。由
6、此可见，分岔在许多非线性现象中还起着桥梁和纽带的作用（比如，我们知道，由著名的映射产生的倍周期分岔可导致混沌便是一个典型的例子。），从而使分岔理论为研究自然界各种复杂现象提供了有效的方法与途径，它与混沌理论一起构成了非线性科学近代理论的基本内容。因此，分岔研究在非线性科学中占有重要的地位。如今，它已成为非线性分析以及计算数学的中心内容之一。分岔理论的研究包括两个方面：一方面是与动力系统 （，五）（）的稳定性密切相关的动态研究，如解的性质（或拓扑结构）随参数的微小变化而发生突然变化（结构不稳定），我们称这样的分岔为动态分岔；另一方面是只对动力系统（）的稳态解的数目和稳定性发生变化的静态研究，即研
7、究静态方程（，）（）的解的数目和稳定性随参数五交化而出现的突然改变，我们称这样的分岔为静态分岔。一般来说，完整的分岔分析需要了解动力系统的全局拓扑结构，这是十分复杂甚至是难以做到的。实际应用中，有时只需要考虑在某个平衡点（不动点）附近系统结构的变化，即只研究在它们的邻域局部向量场（或微分同胚）的分岔，这类问题称为局部分岔。如果分岔分析涉及到向量场的大范围拓扑结构，则称为全局分岔。当然，一个系统的“局部”和“非局部”性质是密切相关的，局部分岔本身也是全局分岔分析的基础和重要内容。四川大学硕士学位论文第二章预备知识动力系统广义的动力学研究的是系统随时间的演变规律。所谓系统，就是指由一些相互联系（或
8、相互作用）的客体组成的集合。而动力系统理论所研究的是随时间演化的系统的全局（大范围）定性行为（例如平衡态、周期运动、回归运动、长时间的渐进运动等）。按照时间以连续或离散方式变化，可将动力系统分为两大类：连续动力系统（或连续流）和离散动力系统（或离散流）。前者通常简称为动力系统（或流）。考虑在开集”上的自治常微分方程组，（），（）其中：。”是（意）映射。对任何，根据解的存在唯一性定理，此方程组有唯一的满足。：。的解烈，），这个解也称为过点的轨线。假定每个解的存在区间都是（，），记仍）卯，），于是，对可得映射仍：。集合锄）有以下的性质（）仇（），：（）纯（仍（）纪。（），、，易见仍是【，到自身的同
9、胚，其逆为盯于是仍。是上的单参数变换群。把上述结果推广到微分流形，便得到流形上的动力系统的定义。设肘是一个微分流形，仍：专（）是从到自身的（七）同胚。如果集合仍）。满足：（群性质）川大学硕士学位论文（）纯；（）识。妒，织，、，则称它是“材上的连续动力系统”（或流）。类似的，对于任何从肘到自身的（七）同胚，即厂秽（），双边序列，”。显然满足（）：（），”。，”厂”，、，我们称该序列为“上的离散动力系统”（或离散流）。平衡点及其稳定性如前所述，在对一个动力系统的分岔分析中，无论从现实需要还是从实现的可能性来看，局部分岔的研究都具有基础性意义，此时往往要考虑系统的平衡点。考虑连续系统，（）（）其中（
10、，：，扎）”，），五），（）为向量场。对于上述向量场，（），若存庄使得（），贝称为系统（）的平衡点。平衡点也称为奇点、零点或不动点。设系统（）在矗处的线性化系统为（）其右端称为向量场（功关于的线性化向量场。（）四川大学硕士学位论文如果线性算子（）的特征值的实部不为，则称点为双曲平衡点。其中，当（）的特征值的实部都为负值（或正值）时，点而称为汇（或源）：否则称为鞍点。而当（）的特征值的实部为零时，称点为中心。平衡点有稳定的，也有不稳定的。设是平衡点，对于任给，存在占，使得对系统（）的满足忙（）一艿的任何解（），有肛（一矗成立，（）则称而为（在李雅普诺夫意义下）稳定的：否则，便是不稳定的。如果平衡
11、点是稳定的，且在它的某邻域内的一切解当时都趋于，则称是渐进稳定的。根据定理，在流的双曲点平衡点附近，其轨线的拓扑 结构与其对应线性系统在平衡点附近的轨线相同，因此，对于流的平衡点的稳定性判定，我们有下述结果引理（线性稳定性定理）设是系统（）的平衡点，如果（）的特征值的实部都为负，则是渐进稳定的。如果囝（）有正实部的特征值，贝，是不稳定的。结构稳定性与分岔由于理论研究与生产实践的需要，我们常常会关心这样的问题：对一个动力系统附加一个小扰动后，该系统是否仍旧会保持轨道的拓扑结构不变？哪些系统才具有这种不变性质？而哪些系统不具有这种不变性？如变又将怎样变呢？这就是我们要讨论的结构稳定性和分岔的问题。定义（结构稳定性）所谓结构稳定性，指的是当动力系统受到小扰动后其轨道的拓扑结构保持不变的性
