《2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.8曲线与方程学案理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.8曲线与方程学案理（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、18 88 8 曲线与方程曲线与方程知识梳理求曲线方程的基本步骤诊断自测1概念思辨(1)f(x0，y0)0 是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0 上的充要条件( )(2)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线( )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2.( )2(4)方程y与xy2表示同一曲线( )x答案 (1) (2) (3) (4)2教材衍化(1)(选修 A21P36例 3)到点F(0,4)的距离比到直线y5 的距离小 1 的动点M的轨迹方程为( )Ay16x2 By16x2Cx216y Dx216y答案 C解析 由题意可知动点M到点F(0,4)的距离与到直线y4
2、的距离相等，则点M的轨迹为抛物线，故选 C.(2)(选修 A21P35例 1)到两坐标轴距离之积等于 2 的点的轨迹方程为_答案 y2 x解析 根据题意，设动点为M，其坐标为(x，y)，而动点M到两坐标轴距离之积等于2，即|x|y|2，变形可得y ，故到两坐标轴距离之积等于 2 的点的轨迹方程为2 xy .2 x3小题热身(1)(2018银川模拟)设点A为圆(x1)2y21 上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则P点的轨迹方程为( )Ay22x B(x1)2y24Cy22x D(x1)2y22答案 D解析 如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连接MA，则MAPA，且|MA|1.又|P
3、A|1，|PM|3，|MA|2|PA|22即|PM|22，(x1)2y22.故选 D.(2)(2017聊城一模)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足t()，其中tR R，则点C的轨迹方程是_OCOAOBOA答案 y2x2解析 设C(x，y)，则(x，y)，t()(1t,2t)，所以Error!消去参数OCOAOBOAt得点C的轨迹方程为y2x2.题型 1 定义法求轨迹方程(2017大庆模拟)已知圆C1：(x3)2y21 和圆C2：(x3)2y29，动典例圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_用定义法答案 x21(x1)y2 8解析 如图所
4、示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，则有|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.又|MA|MB|，所以|MC2|MC1|BC2|AC1|312，即动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数 2，且 2|MC1|，故动圆圆心M的轨迹为以定点C2，C1为焦点的双曲线的左支，则 2a2，所以a1.4又c3，则b2c2a28.设动圆圆心M的坐标为(x，y)，则动圆圆心M的轨迹方程为x21(x1)y2 8条件探究 将本例条件变为：“圆C1：(x1)2y21，圆C2：(x1)2y29，动圆P与圆C1外切且与圆C2内切” ，求圆心P的轨迹方程解 因为圆P与圆C1外切且与圆C2内切，所
5、以|PC1|PC2|(R1)(3R)4，由椭圆的定义可知，曲线是以C1，C2为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为的椭圆3(左顶点除外)，其方程为1(x2)x2 4y2 3方法技巧定义法求轨迹方程的适用条件及关键点1求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程见典例2理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键3利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制见典例冲关针对训练已知圆C与两圆x2(y4)21，x2(y2)21 外切，圆C的圆心
6、轨迹方程为L，设L上的点与点M(x，y)的距离的最小值为m，点F(0,1)与点M(x，y)的距离为n.(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；(2)求满足条件mn的点M的轨迹Q的方程解 (1)两圆半径都为 1，两圆圆心分别为C1(0，4)，C2(0,2)，由题意得|CC1|CC2|，可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为(0，1)，直线C1C2的斜率不存在，故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，其方程为y1，即圆C的圆心轨迹L的方程为y1.(2)因为mn，所以M(x，y)到直线y1 的距离与到点F(0,1)的距离相等，故点M的轨迹Q是以y1 为准线，点F(0,1)为焦点，顶点
7、在原点的抛物线，而 1，即p 2p2，所以轨迹Q的方程是x24y.题型 2 直接法求轨迹方程(2014广东高考)已知椭圆C：1(ab0)的一个焦点为(，0)，离典例x2 a2y2 b25心率为.53(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程解 (1)由题意知c， ，所以a3，b2a2c24，故椭圆C的标准方程为5c a531.x2 9y2 45(2)设两切线为l1，l2，当l1x轴或l1x轴时，对应l2x轴或l2x轴，可知P(3，2)当l1与x轴不垂直且不平行时，x03.设l1的斜率为k，则k0，l2的斜率为 ，1
8、k故l1的方程为yy0k(xx0)，联立1，得(9k24)x218(y0kx0)x2 9y2 4kx9(y0kx0)2360.因为直线l1与椭圆C相切，所以0，得 9(y0kx0)2k2(9k24)(y0kx0)240，所以36k24(y0kx0)240，所以(x9)k22x0y0ky40，2 02 0所以k是方程(x9)x22x0y0xy40(x03)的一个根，同理 是方程2 02 01 k(x9)x22x0y0xy40(x03)的另一个根，2 02 0所以k，得xy13，其中x03，(1 k)y2 04 x2 092 02 0所以此时点P的轨迹方程为xy13(x03)2 02 0因为P(3
9、，2)满足xy13，2 02 0综上可知，点P的轨迹方程为x2y213.方法技巧直接法求曲线方程的关键点和注意点1关键点：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤，但最后的证明可以省略2注意点：求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性提醒：对方程化简时，只要前后方程解集相同，证明一步可以省略，必要时可说明x，y的取值范围冲关针对训练已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动
10、点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，求点|OP| |OM|M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得Error!解得Error!所以b，76所以椭圆C的标准方程为1.x2 16y2 7(2)设M(x，y)，其中x4,4由已知2及点P在椭圆C上，可得2，整理得(1629)|OP|2 |OM|29x211216x2y2x2162y2112，其中x4，4当 时，化简得 9y2112，所以点M的轨迹方程为y(4x4)，轨3 44 73迹是两条平行于x轴的线段当 时，方程变形为1，其中x4,43 4x2 112 1629y2 112 162当 00 得，
11、k22|AF|，所以动点P的轨迹是以A，F为焦点，23为长轴长的椭圆，则 2a2，2c2，所以b.故动点P的轨迹方程为1.332x2 3y2 2故选 D.167(2018宜城期末)已知过定点C(2，0)的直线l与抛物线y22x相交于A，B两点，作OEAB于E.则点E的轨迹方程是( )Ax2y22x0(x0)Bx2y22x0(y0)Cx2y24x0Dx2y24x0(y0)答案 A解析 直线l过定点C(2,0)，O(0,0)，C(2,0)，OECE，OEC为直角三角形，点E的轨迹是以线段OC为直径的圆除去点O，故点E的轨迹方程为(x1)2y21(x0)，即x2y22x0(x0)故选 A.8(201
12、7津南模拟)平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(1,3)，若点C满足12(O为原点)，其中1，2R R，且121，则点C的轨迹是( )OCOAOBA直线 B椭圆 C圆 D双曲线答案 A解析 设C(x，y)，因为12，所以(x，y)1(3,1)2(1，3)，OCOAOB即Error!解得Error!又121，所以1，即x2y5，所以点C的轨迹为直线，故选y3x 103yx 1017A.9(2017湖北期中)已知方程1 表示的曲线为C，给出以下四个判断：x2 4ty2 t1当 14 或t4.其中判断正确的个数是( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 由 4tt1，可得t ，方程1 表示圆
13、，故不正确；5 2x2 4ty2 t1由双曲线的定义可知：当(4t)(t1)4 时，方程1x2 4ty2 t1表示双曲线，故正确；由椭圆定义可知：当椭圆在x轴上时，满足 4tt10，即 1，A1(，0)，A2(，0)，则有222直线A1P的方程为y(x)，y1x1 22直线A2Q的方程为y(x)，y1x1 22联立，解得Error!Error!x0，且|x|e2)，则e12e2的最小值为_答案 32 24解析 设动圆M的半径为R.动圆M与圆O1和圆O2都相切有两种情况，一是与圆O1内切、与圆O2外切，二是与圆O1和圆O2都内切相切都可以转化为圆心距问题第一种情况，dMO14R，dMO2rR，d
14、MO1dMO24r，为定值，且O1O22.故由椭圆的定义可知，M的轨迹为一个椭圆，a，c1.4r 2同理，第二种情况，M的轨迹为一个椭圆，a，c1.4r 2两个椭圆的离心率分别为e1和e2(e1e2)，e1，e2.2 4r2 4re12e22 4r4 4r24r44r4r4r242r 16r2212r12r22412r128212r128 12r2422 12r128 12r24，216 2242 234当且仅当 12r，即r128时，取“” 128 12r220所以e12e2的最小值为.32 24三、解答题15(2018安徽合肥模拟)如图，抛物线E：y22px(p0)与圆O：x2y28 相交于A，B两点，且点A的横坐标为 2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.(1)求p的值；(2)求动点M的轨迹方程解 (1)由点A的横坐标为 2，可得点A的坐标为(2,2)，代入y22px，解得p1.(2)设C，D，y10，y2
