线性代数期末考试题答案

06线性代数线性代数 B B 试题解答试题解答 0606一、 ×；×；×；√；√ ---------------------------------------1010二、 B ；B ；B ；C；D -----------------------------------------1515三、 (1)．21,； (2)．5t； (3)．24； (4)．3--------------------------------2020四、 (1)(1)．．1 BAX---------------------------------------------------1-12A，AAA11------------------------------------------3 3 200111111A-------------------------------------------8 8 200111111211A------------------------------------------9 9    3021011BAX -----------------------------------------1010用1AEEA求出1A或      1BAEBA直接求出1BA得相应的分。

2)(2)．．是线性方程组44332211xxxx的求解问题增广矩阵10514246210321121121301),,,,(4321abaA 01000101001011021301aba所以，1a时有唯一的线性表示；1a且1b时有多个线性表示6解方程得：1a时，唯一的线性表示为32111)111 ()1132(ab ab ab -------------------------81a且1b时，线性表示为（Rkk21,）423121121)1 ()32(kkkkk--------------------12或线性表示的系数满足 001210010113214321kkxxxx-------------------------------------------12(3)(3)．．二次型的矩阵为 320230002A---------------------------------------------------2矩阵A的特征值为：11，22，53---------------------------------6特征向量： 001111，110222， 110533------------11单位化 0011p，110212p，  110213p，11011000221P----------------------------------------------------13正交变换Pyx ，二次型的标准形为2 32 22 152yyyf----------------14因为矩阵A的特征值均为正数，所以此二次型是正定的。

15五、五、(1)(1)．．,,,,,,,,,321321321--------------------------------2321321,,,,,,--------------------------------5ba ------------------------------------------------------------6(2)(2)．．有非零的公共解10Ax与0Bx的非零公共解等于联立方程组  00 BxAx的非零解即齐次线性方程组0   xBA的非零解4由于nBRARBAR   )()( ，所以方程组0   xBA的非零解故0Ax与0Bx有非零的公共解---------------------------------------------6(3)(3)．．线性方程组Axb的增广矩阵 32165423121aaA 01000703121aa线性方程组Axb有无穷多解，所以1a或0a----------------------------1三阶矩阵C有三个不同的特征值1，1，0，因而特征向量321ppp,,线性无关，由此得 0a（1a时321ppp,,线性相关）-------------------3所以矩阵C的三个线性无关特征向量为1011p，  2302p，  1123p。

令121130201P， 011，则3231116451P8673336451PPC-----------------------------------------------6线性代数线性代数 B 期末试题解答期末试题解答 0505一、判断题一、判断题( (正确填正确填√√，错误填，错误填××每小题 2 2 分，共分，共 1010 分分) ) 1．A 是 n 阶方阵，且｜A｜≠0，则 n 元方程组 AX＝b 有唯一解 （√ ）2．A，B 是同阶相似方阵，则 A 与 B 有相同的特征值 （√ ）3．如果 X1 与 X2 皆是 AX =b 的解，则 X1 ＋X2 也是 AX =b 的解 ( × )4．若 A 为 n 阶方阵，其秩 r < n,那么 A 任意 r 个行向量线性无关 ( × )5．从 A 中划去一行得到矩阵 B，则 A 的秩≥B 的秩 （√ ）二、单项选择题（每小题二、单项选择题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1．设 A 是n阶矩阵，其伴随矩阵为 A＊，E 为单位矩阵。

则 A A*为 ( A )（A）|A|E (B) E (C) A* (D) 不能乘2．设 A、B、C 同为n阶方阵，且满足 ABC＝E，则必有（ C ）A）ACB =E （B）CBA =E （C）BCA = E （D）BAC =E3．设 A 为 n 阶方阵，且｜A｜＝5，则｜（3A－1）T｜＝（ C ）(A)n53(B) n35(C)3n·51(D) 3·5n4．设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r

4．已知123,,  是四元方程组 AX＝b 的三个解，其中A的秩( )R A=3，41311，034232，则方程组 AX＝b 的通解为 85204131c5．设 285421122A，则｜A｜＝ -54 ，A 的秩 R(A)是 3 四、计算下列各题（每小题四、计算下列各题（每小题 8 8 分，共分，共 2424 分）1. 设 340012132A且知 AX－A=3X，求矩阵 X解：25 233431043 2313E-A X1 -A2. 已知向量组13703031111043214321A求向量组 A 的秩；判断向量组的相关性；求其一个极大无关组；将其余向 量用极大无关组线性表示解： 00002100101000011370303111104321~AR(A) = 3； 321,,是一最大无关组；32423. 设P－1AP＝Λ，        10024712P求 A11 。

解：                              1434457372409816391 4712 1002048 47124712 1002 47121111111111PPA,PPA五、解方程组（本题五、解方程组（本题 8 8 分）分）已知方程组babxxxxxxxxxaxxxxxxxxxx,3345362232315432154325432154321当  取什么值时方程组有解？ 在有解的情况下，求方程组的通解解：200000000003622101111111334536221031123111111ba~baB当 a=0, b=2 时方程组有解，这时:000000000000362210251101~B方程组的通解为： X = (-2 3 0 0 0)T+C1(1 –2 1 0 0)T+C2(1 –2 0 1 0)T+C3(5 –6 0 0 1)T C1,C2,C3位任意常数。

六、（本题六、（本题 8 8 分）分）已知二次型3231212 32 22 13214844xxxxxxxxxx ,x ,xf求一个正交变换将二次型化成标准形，并确定其是否正定解：  3503253252 3153451 32500050004124242421T,,A非正定七．证明题（每小题七．证明题（每小题 5 5 分，共分，共 1010 分）1. 若 A，B 都是n阶方阵，如果 AB＝0。