分解因式解题思维探究

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1、分解因式解题思维探究究分解因式解题思维探究究一、基一、基础思维探究础思维探究题型一：多项式的因式分解题型一：多项式的因式分解典例典例 1 1 下列因式分解中，结果正确的是 （ ）A B)2)(2(42xxx)3)(1()2(12xxxC D )4(2822232nmnnnm)4111 (41222 xxxxx【研析研析】A 项正确运用平方差公式分解；B 项将看成一个整体用平方2x差公式分解为；C 项分解不彻底，还能继续分解；D 项分)3)(1(xx224nm 解结果不是几个整式积的形式,所以选择 A.【技巧点拔技巧点拔】注意到因式分解的概念，并且因式分解要分解到不能再分解 为止.典例典例 2

2、2 填空:分解因式:._2223abbaa【研析研析】按照因式分解的步骤,本题首先要提取公因式,然后考虑用完全a 平方公式分解.解解: :222223)()2(2baababaaabbaa【归纳总结归纳总结】一般来说,多项式如果含有公因式,那么首先提公因式,然后再 考虑运用公式或其他方法.题型二：生产中的实际应用题型二：生产中的实际应用典例典例 3 3 在半径为 R 的圆形钢板上，冲去 4 个半径为 r 小圆，如图所示，利用因式分解计算，当 R=85cm，r=15cm 时剩余部分的面积（结果用表示） . 【研析研析】剩余部分的面积可以看成是大圆的面积减去 4 个小圆的面积，在 运算过程中，利用

3、因式分解有时可以使运算简化.解：解：剩余部分的面积为:R -4r =22)2)(2()4(22rRrRrR= =(.)5 . 7285)(5 . 7285(700070100)2cm【观察思考观察思考】本题巧妙的运用因式分解，避免了半径的平方运算，减小了运算量，使计算变得简便,迅速.题型三：化简求值题型三：化简求值典例典例 4 4 已知 a=+20，b=+19，c=+21，那么代数式x201x201x201的值是 （ ）acbcabcba222A.4 B.3 C.2 D.1【研析研析】因本题所求代数式中含有 a、b、c 的平方项与二次乘积项与完全平方展开式所含的项基本相同，所以应想办法，如何造

4、型利用公式法分解因式 进行化简.解：解：原式=222 21cacbba当 a=+20，b=+19，c=+21 时，有：x201x201x201ab=1，bc=2，ac=1，原式=.故应选 B. 31412112121222【品思感悟品思感悟】本题通过配成完全平方式，将条件代入，整体消元，方便简 洁.题型四：证明不等式题型四：证明不等式典例典例 5 5 设是三角形的三边长,求证:.cba、02222bccba【研析研析】本题是证明一个不等问题,想办法利用三角形三边的关系以及因式 分解来证明.证明证明: :=,22222)(2cbabccba)(cbacba又是三角形的三边长,cba、,，0cba

5、cba即，0)(cbacba.02222bccba【方法指导方法指导】本题借助因式分解，将左边的多项式分解成一次因式的积， 再根据三角形的三边的关系进行判断因式的符号.二、综合思维探究二、综合思维探究题型一：学科内综合题题型一：学科内综合题典例典例 6 6 已知的值.32, 01232xxxx、【研析研析】本题要充分利用“”这个条件,经过变式来求值.这里012 xx可将拆成两项,变为,再添加(.22x)(22xx )xx 解解: :，012 xx=4.)3()(3222323xxxxxxx)41() 1(22xxxxx【品思感悟品思感悟】将多项式变形或拆项，整体运用已知条件，体现“整体”与 “

6、分解”思想的有机统一.典例典例 7 7 已知可以被在 60 到 70 之间的两个数整除,则它们是 1248 （ ）A61、63 B61、65 C63、65 D63、67【研析研析】由联想到运用平方差公式进行因式分解，从而做出判断.1248因为= = =1248) 12)(12)(12() 12)(12(1212242424) 12)(12)(12)(12(661224= =, 而 ) 12)(12)(12)(12)(12(3361224,= =97=63,所以选择 C.65) 12(6) 12)(12(33【品思感悟品思感悟】利用因式分解判断数的整除性，大大的简化运算量.从而体现 公式方便快捷

7、.题型二：学科间渗透题题型二：学科间渗透题典例典例 8 8 如图所示,把三个电阻串联起来,线路 AB 上的电流为 I,电321,RRR压为 V,则当=34.9,=20.8,=32.3,I=2.5 时,求 V 的值.,321IRIRIRV1R2R3R【研析研析】将因式分解的知识运用到物理学的运算当中,可减少运算量,使运 算简化.解：解：当=34.9,=20.8,=32.3,I=2.5 时,1R2R3R=2.5(34.9+20.8+32.3)=220.321IRIRIRV)(321RRRI【梳理总结梳理总结】根据物理学的知识，串联线路电压等于各部分电压之和，构 造数学模型， 运用因式分解中的提取公

8、因式，使运算得以简化.题型三：实际应用题题型三：实际应用题典例典例 9 9 校园内有一个环形花坛，它的外圆半径 R=7.5 米,内圆半径 r=2.5 米,请问:该花坛的占地面积是多少?(取 3.14)【研析研析】由于花坛是环形的,所以花坛的占地面积是外圆的面积减去内 圆的面积.解解: := =22rRSSS、)(22rR )(rRrR= =(7.5+2.5)(7.5-2.5)= 50155(米 ).2答:该花坛的占地面积约是 155 米 .2【迁移应用迁移应用】此处所用的环形面积计算公式：，它不仅适应于同心圆，对于内含的22rRSSS、)(22rR 两圆的环形面积同样适应.如下图所示的阴影面积

9、等于两圆面积之差.题型四：阅读理解题题型四：阅读理解题典例典例 1010 阅读下面的解题过程，然后回答问题：（1）分解因式：.8)4)(3)(2)(1(xxxx解：原式=8)3)(2)(4)(1(xxxx=.8)65)(45(22xxxx设，则原式=.mxx)45(2)4)(2(828)2(2mmmmmm（2）计算：1234567123456812345662解：设 1234567=x，则原式=.1) 1() 1)(1(222xxxxx利用（1） 、 （2）的解法计算：.2200412006200520042003【研析研析】本题是属于阅读理解的题目，可仿照（1） 、 （2）用换元法，使问 题

10、变得简单些.解解: :设 2004=,amaa2则=220041200620052004200321)2)(1() 1(aaaaa=2221)2)(aaaaa22221)(2)(aaaaa=2212amm22) 1(am21am=.2003120041122aaaa【联想类比联想类比】解决阅读理解这类题目的要点：要认真仔细阅读题目中的语 言文字信息、观察式子的特点，找出内在联系，写出求解过程.本题运用字母代 数的特点，将被开方数转化为完全平方数，体现特殊与一般的思想方法.三、创新思维探究三、创新思维探究题型一：奇思妙解题题型一：奇思妙解题典例典例 1111 计算.)1011)(911 ()41

11、1)(311)(211 (22222LL【研析研析】若按常规思路从左到右逐个运算，比较麻烦；设法进行简便运算.观察整个算式,不难看出每一个因式都是两数的平方差,于是可以将每个因式分 解,得以求解.解解: : )1011)(911 ()411)(311)(211 (22222LL= )1011)(1011)(911)(911 ()411)(411)(311)(311)(211)(211 (LL=109 1011 98 910 43 45 32 34 21 23LL=)109 98 43 32 21)(1011 910 45 34 23(LLLL=.2011 101 211【品思感悟品思感悟】本题

12、如果按照常规思路来解,比较困难,通过分析认真分析式 子的结构、发散思维，运用所学知识，利用因式分解，使问题得以简捷解决.题型三：奥赛欣赏题题型三：奥赛欣赏题典例典例 1212 计算 .【研析研析】仔细观察算式发现：最后两项可分解因式，提公因式 210922 后得，再依次和前一项进行类似计算.92解：解：=)22(222222229108765432=) 12(22222222298765432=98765432222222222=6.【技巧点拨】本题逆向思考，从最高的两项进行因式分解，逐次提取公因 式，达到消项的目的.典例典例 1313 选择题：如果，则一定成立的是 （ ）22()()4aba

13、b（A）是的相反数 （B）是的相反数abab（C）是的倒数 （D）是的倒数abab【研析研析】由平方差公式将的左边因式分解化简整理即22()()4abab可.解：解： ，22()()4abab4)(babababa即:2，.42 ba1ba故选择 C.【方法探究方法探究】本题由已知条件联想平方差公式，化简代数式，从而使 a，b 之间的关系得以显现.四、中考思维探究四、中考思维探究典例典例 1414 分解因式:=_.22962yyxx【研析研析】=22962yyxx)62()9(22yxyx)3(2)3)(3(yxyxyx=.)23)(3(2)3)(3(yxyxyxyx方法点拔方法点拔整体上来看

14、此题的各项没有公因式,也不能运用公式,但把第一、四两项作为一组可运用平方差公式，其中有一个因式是；把第二、)3(yx 三项作为一组提公因式后，也有一个因式，于是再一次提公因式就能将)3(yx 原式进行因式分解.典例典例 1515 把多项式分解因式,结果是 （ ）1222babaA B) 1)(1(baba) 1)(1(babaC D) 1)(1(baba) 1)(1(baba【研析研析】整体看各项没有公因式,也不能运用公式,但把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解成；把第四项-1 作为另一组，那么2)(ba -1 是符合平方差形式得多项式，可继续分解因式.2)(ba 解：解：=-1=,故1222baba1)2(22baba2)(ba ) 1)(1(baba选择 A.【中考导向中考导向】多项式因式分解作为中考的重要的内容，一是以客观形势出 现，占分值在 6 分左右，二是因式分解常常作为基础性工具，运用于整式或分 式的化简.所以熟练地的掌握因式分解的常用方法，十分必要.五、小试牛刀五、小试牛刀1.将下列各式分解因式：（1）；（2）.azayax864)()(2xyyx2将下列各式分解因式：（1）；（2）.164x3.