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1、2004 年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题奎屯王新敞新疆 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的. 奎屯王新敞新疆1复数10)11(ii 的值是（ ）A1 B1 C32 D32 2tan15+cot15的值是（ ）A2 B2+3 C4 D3343命题 p：若 a、bR，则|a|+|b|1 是|a+b|1 的充分而不必要条件；命题 q：函数 y=2|1|x的定义域是（，13，+).则（ ）A “p 或 q”为假 B “p 且 q”为真 Cp 真
2、q 假 Dp 假 q 真 4已知 F1、F2是椭圆的两个焦点，过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，若ABF2是真正三角 形，则这个椭圆的离心率是（ ）A33 32B32C22D235已知 m、n 是不重合的直线，、 是不重合的平面，有下列命题：若 m，n，则 mn；若 m，m，则 ；若 =n，mn，则 m 且 m；若 m，m，则 .其 中真命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 6某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同 的安排方案种数为（ ）A2 42 6CA B2 42 621CA C2 42 6AA D2
3、 62A7已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f1(x)，则函数 y= f1(1x)的图象是（ ）11(A)xOy11(B)xOy11(C)xOy11(D)xOy8已知、是非零向量且满足(2) ，(2) ，则与的夹角是 （ ）arbrarbrarbrarbrarbrA6B3C32D659若(1-2x)9展开式的第 3 项为 288，则的值是（ ）)111(lim2nnxxx LA2 B1 C21D5210如图，A、B、C 是表面积为 48 的球面上三点，AB=2，BC=4，ABC=60， O 为球心，则直线 OA 与截面 ABC 所成的角是（ ） Aarcsin 63Barccos 63
4、Carcsin 33Darccos 3311定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，当 x3，5时，f(x)=2|x4|，则（ ）Af(sin6)f(cos1) Cf(cos32)f(sin2)12如图，B 地在 A 地的正东方向 4 km 处，C 地在 B 地的北偏东 30方向 2 km 处，河流 的没岸 PQ（曲线）上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2 km.现要在曲线 PQ 上 选一处 M 建一座码头，向 B、C 两地转运货物.经测算，从 M 到 B、M 到 C 修建公路的费用分别是 a 万元/km、2a 万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）
5、A(272)a 万元B5a 万元C(27+1) a 万元D(23+3) a 万元 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置. 13直线 x+2y=0 被曲线 x2+y26x2y15=0 所截得的弦长等于 .14设函数 在 x=0 处连续，则实数 a 的值为 . axx xf11 )()0()0( xx15某射手射击 1 次，击中目标的概率是 0.9.他连续射击 4 次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有 下列结论：他第 3 次击中目标的概率是 0.9；他恰好击中目标 3 次的概率是 0.930.1； 他至少
6、击中目标 1 次的概率是 1-0.14.其中正确结论的序号是 （写出所有正 确结论的序号）. 16如图 1，将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起， 做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 12 分）设函数 f(x)=，其中向量=(2cosx，1)，=(cosx， 3sin2x)，xR.arbrarbr（）若 f(x)=13且 x3，3，求 x；（）若函数 y=2sin2x 的图象按向量=(m，n)(|m|0.仅当
7、n4 时，BnAn. 答：至少经过 4 年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润. 21.本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用 数学知识分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.解：（）f(x)=222)2(224 xxax= 222)2()2(2 xaxx，f(x)在1，1上是增函数， f(x)0 对 x1，1恒成立， 即 x2ax20 对 x1，1恒成立. 设(x)=x2ax2， 方法一： 1a1， 021) 1(021) 1 ( aa 对 x1，1，f(x)是连续函数，且只有当 a=1 时，f(-1)=0
8、 以及当 a=1 时，f(1)=0A=a|1a1. 方法二：或 021) 1(02 aa021) 1 (02 aa 0a1 或 1a0 1a1. 对 x1，1，f(x)是连续函数，且只有当 a=1 时，f(1)=0 以及当 a=-1 时，f(1)=0 A=a|1a1.（）由222 xax=x1，得 x2ax2=0， =a2+80x1，x2是方程 x2ax2=0 的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=2，从而|x1x2|=212 214)(xxxx=82a.1a1，|x1-x2|=82a3. 要使不等式 m2+tm+1|x1x2|对任意 aA 及 t1，1恒成立， 当且仅当 m2+tm+13
9、对任意 t1，1恒成立， 即 m2+tm20 对任意 t1，1恒成立. 设 g(t)=m2+tm2=mt+(m22)， 方法一： g(1)=m2m20，g(1)=m2+m20， m2 或 m2. 所以，存在实数 m，使不等式 m2+tm+1|x1x2|对任意 aA 及 t1，1恒成立，其取值范围是 m|m2，或 m2. 方法二： 当 m=0 时，显然不成立； 当 m0 时， m0，g(1)=m2m20 或 m0，y20.由 y=21x2， 得 y=x. 过点 P 的切线的斜率 k切= x1，直线 l 的斜率 kl=切k1=-11 x，直线 l 的方程为 y21x12=11 x(xx1)，方法一
10、：联立消去 y，得 x2+12 xxx122=0.M 是 PQ 的中点 x0=221xx =-11 x，y0=21x1211 x(x0x1)消去 x1，得 y0=x02+2 021x+1(x00)，PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+2 021x+1(x0).方法二：由 y1=21x12，y2=21x22，x0=221xx ，得 y1y2=21x1221x22=21(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2)，则 x0=2121 xxyy =kl=-11 x，x1=01 x，将上式代入并整理，得y0=x02+2 021x+1(x00)，PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+2 021x+
11、1(x0).（）设直线 l:y=kx+b，依题意 k0，b0，则 T(0，b). 分别过 P、Q 作 PPx 轴，QQy 轴，垂足分别为 P、Q，则.| | SQST SPST | | | |21yb yb QQOT PPOT由 y=x2 ， y=kx+b 消去 x，得 y22(k2+b)y+b2=0. 21则 y1+y2=2(k2+b)，y1y2=b2. 方法一：|b|()2|b|=2|b|=2.| | SQST SPST2111 yy211 yy21 by1、y2可取一切不相等的正数，的取值范围是（2，+）.| | SQST SPST方法二：=|b|=|b|.| | SQST SPST21
12、21 yyyy 22)(2 bbk 当 b0 时，=b=+22；| | SQST SPST22)(2 bbk bbk)(22 bk22当 b0， 于是 k2+2b0，即 k22b.所以=2.| | SQST SPSTbbb )2(2当 b0 时，可取一切正数，bk22的取值范围是（2，+）.| | SQST SPST方法三： 由 P、Q、T 三点共线得 kTQ=KTP，即=.22 xby 11 xby 则 x1y2bx1=x2y1bx2，即 b(x2x1)=(x2y1x1y2).于是 b=x1x2.122 212 1221 21xxxxxx21=+=+2.| | SQST SPST| |21yb yb1|21|21xx1|21|21xx |12 xx|21 xx可取一切不等于 1 的正数，|12 xx的取值范围是（2，+）.| | SQST SPST22
