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1、 20092009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准第一试第一试一、填空题（本题满分一、填空题（本题满分 5656 分，每小题分，每小题 8 8 分）分）1. 已知数列的前项和，则 nan234nSnn*nN N13521aaaaL2682. 若集合为空集，则实数的取值范围是31,AxxaxxR Ra11(,)( ,)36 U3. 设、为实数，则二元函数的最小值是xy21xy2242uxxyy9 54. 设、分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆交双曲线左支于、两1F2F22221xy ab12FFAB点，且. 双曲线的离心率的值
2、介于整数与之间，则1120AFBk1k k 25. 已知长方体的体积为，则四面体与四面体的重叠部分1111ABCDABC D21611ABCD11ABC D的体积等于366. 设表示不大于的最大整数，则 xx3333log 1 log 2 log 3log 258L9327. 设方程的根都是正数，且，则21221 221100nnn nnxa xaxa xa L1a 21n的最大值是0a18. 的方格棋盘的一条对角线穿过个棋盘格2009 19113871二、二、 解答题（本题满分解答题（本题满分 1414 分）分）求函数的值域 44sintancoscotf xxxxx解解 因为. 266 4
3、432sin 2sincossincos2sincoscossinsin cossin2xxxxxf xxxxxxxx8 分令，则，. 易知函数sin2tx 1,00,1t U 232232 2t f xttt 23 2g ttt在区间与上都是减函数，所以的值域为，故的值域1,00,1 g t11(, ,)22 U f x为. 14 分11(, ,)22 U三、解答题（本题满分三、解答题（本题满分 1515 分）分）如图，抛物线及点，过点的不重合的直线、与此抛物线分别交于点，22yx 1,1PP1l2lA，证明：，四点共圆的充要条件是直线与的倾斜角互补BCDABCD1l2l解解 设、的倾斜角分
4、别为、，由题设知1l2l、. 易知直线的参数方程为0,1l，1cos 1sinxt yt 代入抛物线方程可化得 .22sin2 sincos10tt 设上述方程的两根为、，则 . 由参数 的几何意义，得 1t2t1 221 sint tt. 5 分21 sinAP BP同理. 7 分21 sinCP DP若、四点共圆，则 ，即 .ABCDAP BPCP DP22sinsin因为、，所以 .0,sinsin又由、不重合，则. 所以. 11 分1l2l反过来，若，则因、，故，且，. 0,sinsin00所以 ，即.2211 sinsinAP BPCP DP故、四点共圆. 15 分ABCD四、解答题
5、（本题满分四、解答题（本题满分 1515 分）分）xyOPACBD设，是正数，且，求证：ab1a 1b 55441125111164ababab解解 因为 ， 且543243211 11aaaaa aaaa 4323281511aaaaaaaa43232223aaaa424322121aaaaa（） ，222212110aaaa1a 所以 ，即. 10 分4323215118aaaaaaaa5415118aaa同理可证 . 5415(1)18bbb于是，. 15 分55441125(1)11164ababab20092009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准年全国高中数学联赛江
6、苏赛区复赛参考答案与评分标准加加 试试一、一、 （本题满分（本题满分 50 分）分）如图，在中，的内切圆与切于点，的边上的旁切ABCDEBCADEDEMABCBC圆切于点，点是与的交点，求证、三点共线. BCNPBECDMNP证证 设与交于点.BEMNP因为，所以，.DEBCBPBC PEDE BPBN P EEM故只需证明，或. 10 分BCBN DEEMBNEM BCDE如图, 设、分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心，1O2O、为切点，则 FGHI， ， 1 2EMAEDEADAHABBHABBN， .1 2AHAIABBCAC1 2BNAHABACBCAB30 分又 ，ADEABC故可设
7、，ABBCACkADDEAE则 1()2ACBCABBN BCBC () 2 () 2k AEk DEk AD k DE AEDEADEM DEDE 故结论成立 50 分二、二、 （本题满分（本题满分 50 分）分）设，为给定的整数，. 对任意元的数集，作的所有元子集的元素和，记kn2nknPPk这些和组成的集合为，集合中元素个数是，求的最大值. QQQCQC解解 的最大值为. 10 分QCk nC因共有个元子集，故显然有. 20 分Pk nCkk QnCCABCDPENMABCDPENMO1O2FGIH下面我们指出，对集合，相应的等于，即的任意两个不同的22, 2 , , 2 nP LQCk
8、 nCPk元子集的元素之和不相等. 从而的最大值为.QCk nC事实上，若上述的集合有两个不同的元子集Pk， ，122 ,2 ,2 krrrA L122 ,2 ,2 ksssB L使得与的元素之和相等，则AB（设）. 1212222222kkrsrrssMLL因可视为正整数的二进制表示，由于互不相同，互不相同，故由正整数的二进制表示的唯Miris一性，我们由推出，集合必须与相同，从而子集，矛盾.12 , kr rrL12 ,ks ssLAB这就证明了我们的断言. 50 分三、三、 （本题满分（本题满分 50 分）分）设，是互不相同的正整数，求证：12222snnnM L12,sn nnL.12
9、 22222212snnn MML证证 对 s 归纳.（1） 当时，结论显然成立. 10 分1s （2） 假设时结论成立，当时，不妨设.sk1sk121kknnnnL由归纳假设可知，则1212222(12)2knn nM L.11211222222222(12)22kknnnnn nM L所以只要证明：，112(12)22(12)n nMM此即. 30 分112(12)21 2nnMM 因为正整数，所以 121kknnnnL. 122231211222221222.knnnnnnn LL故，112122222 2kknnnnnML.11212222knnnnML所以 ，1111122(12)2
10、(12)21 22 22nnnnnMM 即时，命题成立.1sk因此，由数学归纳法可知，命题对所有正整数成立. 50 分s四、四、 （本题满分（本题满分 50 分）分）求满足下列条件的所有正整数，： （1）与互素； （2）. xyx1y231xxy 解解 显然 ，满足要求. 10 分1x 1y 对于， 方程可化为 . 1x 1y 2111yyyx x显然. 因为，故一定是的一个因子. 设xy,11x yx21yy21yykx （为正整数） ，从而. 由可知. 20 分k11xk y xy2k 消去，得， 即 .x2211yykyk 221113yykyk由此推得 . 40 分13yk若，则，即，从而3k 13yk 2ky，2221121kykyykk 故必有，矛盾.10y 所以 ，从而，. 验证知，.3k 2k 37y 19x 综上，. 50 分 ,1,1x y 19,7
