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1、学科分类号（二级）学科分类号（二级）本科学生毕业论文（设计）本科学生毕业论文（设计）题题 目目 微分中值定理在解题中的应用微分中值定理在解题中的应用 姓姓 名名 徐徐 波波 学学 号号 院、院、 系系 数学学院数学学院 专专 业业 数学与应用数学数学与应用数学 指导教师指导教师 刘刘 薇薇 职称（学历）职称（学历） 副教授副教授 微分中值定理在解题中的应用微分中值定理在解题中的应用摘要摘要:本文讨论了微分中值定理的联系及在解题中的应用,如:利用几何性质思考解题,讨论导函数 0 点的存在性,研究函数性态,证明不等式和求极限等.关键字关键字:微分中值定理;联系;应用The Applications
2、 of Differential intermediate value Theorems Abstract: In this paper ,we mainly investigate internal relations of the differential intermediate value theorems and their applications in solving mathematical problems, such as: geometric meaning to solve problem; discussing the existence of the zero po
3、int in derivative functions ; testifying inequalities and seeking limits etc Key words : differential Theorem of Mean; relations;application目录目录1 引言12 准备知识13 微分中值定理之间的相互联系23.1 3 个中值定理的联系23.2 几何意义的相互联系34.微分中值定理的应用44.1 利用几何意义思考解题44.2 讨论导函数 0 点的存在性及个数估计64.3 证明函数或其导函数存在某种特征点74.4 证明函数恒为常数84.5 研究函数的性态104.
4、6 证明不等式和求极限11结语15参考文献16致谢.1.引言引言高等数学是每个理工科学生的必修课程，是数学专业基础课中最为重要的一门基础课， 也是现代科学技术应用最广泛的一科。在高等数学的学习过程中，解题是一项用所学知识 去解决问题和分析问题的重要技能，也是一种能力的训练过程。美籍匈牙利在数学的发 现一书中指出， “任何一门学问都是由知识和技能所组成” ， “在数学中，技能比仅仅掌握 知识更重要” 。本论文的目的是对微分中值定理在解题中的应用，一方面给出这种类型习题 的常见解法，另一方面阐述解法在适用题目所具有的特征。对于计算题，着重于计算方法 的归纳、总结；对证明题，则在侧重于问题的分析方法
5、和证明思路。 我们知道数学分析是数学专业基础课中最为重要的一门基础课之一，微分学是数学分 析的重要组成部分，微分中值定理是微分学的核心。不论是在数学分析还是高等数 学中，都有专门的章节对其进行讲述。Rolle 定理，Cauchy 中值定理，Lagrange 中值定 理是其基本内容。 数学分析【2】 在介绍中值定理前叙述了费马定理，说明了函数在定义 域上存在极值点处的函数的导数值为零。接着讲述Lagrange中值定理，在证明Lagrange中值定理中，取特殊形式进行证明，实际上即为Rolle 定理的证明，也就是说，)()(bfafLagrange中值定理的证明是在Rolle 定理的基础上实现的；
6、最后介绍了Cauchy 中值定理， 并通过构造辅助函数的方法证明了Cauchy中值定理。 吉米多维奇数学分析习题精选精解【3】主要在于对有关微分中值定理习题的解析，对学习和应用微分中值定理有一定的指导意义。王锐利关于微分中值定理的进一步研究【5】通过用两种方法证明了Lagrange中值定理和Cauchy中值定理，并给出了它们之间的相互关系和几何关系，对微分中值定理的进行了比较深入的探讨，通过分析、证明的过程，不 仅把微分中值定理的证明问题问题解决了，而且使得微分中值定理之间的结构和关系理清 了，把握了知识的内在联系本质特征和属性外延；杜争光微积分中值定理的统一及推广【6】从Taylor 公式的
7、展开，通过构造辅助函数，将微分中值定理和积分中值定理的统一进行了论证，并进行推广；罗荣在辅助函数在高等数学中的应用【9】中运用详尽的实例， 讲述了辅助函数在中值问题、不等式、恒等式、函数求极限等问题中的应用，具体地讲述 辅助函数在数学中的应用和注意技巧。通过文献比较，不论在数学分析【2】， 关于微分 中值定理的进一步研究【5】，微积分中值定理的统一及推广【6】都采用了构造辅助函 数的思想对所求问题进行转化和简化，使得证明过程思路清晰明了，然而如何构造辅助函 数就成了解决问题的关键。微积分中值定理的统一及推广【6】中利用Taylor多项式【7】， 通过构造辅助函数，将微分中值定理和积分中值定理进行统并对积分中值定理进行进一步 的推广，对微分中值定理的探索和研究具有着指导意义。 本论文的目的就是以微分中值定理为载体，探求其中的思想和方法，内容和结构，并 结合文献的基础上，对微分中值定理在解题过程中的应用进行归纳和总结，通过对微分中 值定理的学习和掌握，映射出数学定理及数学思想在数学理论和应用中的特殊作用。2.准备知识定理 1（拉格朗日中值定理 ）若函数满足下列条件：)(xf（1）在闭区间上连续；ba,（2）在开区间上可导；ba,则在开区间上至少存在一点使得ba,abafbff)()()(
