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1、- 1 -2000 年全国高中数学联合竞赛试卷年全国高中数学联合竞赛试卷（10 月 15 日上午 8:009:40）一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）1设全集是实数，若 A=x|0，B=x|10=10x，则 ARB 是( )x2x22(A)2 (B)1 (C)x|x2 (D) 2设 sin0，cos0，且 sin cos，则 的取值范围是( )333(A)(2k+，2k+ )， kZ (B)( + ，+ )，k Z632k362k33(C)(2k+，2k+)，k Z (D)(2k+，2k+ )(2k+，2k+)，k Z564356 3已知点 A 为双曲线 x2y2=1 的左顶点，
2、点 B 和点 C 在双曲线的右分支上，ABC 是等边三角形， 则ABC 的面积是( )(A) (B) (C)3 (D)6333 3233 4给定正数 p，q，a，b，c，其中 pq，若 p，a，q 是等比数列，p，b，c，q 是等差数列，则一元 二次方程 bx22ax+c=0( )(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根5平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线 y= x+ 的距离中的最小值是( )5345(A) (B) (C) (D) 3417034851201306设 =cos +isin ，则以，3，7，9为根的方程是( )55 (A)x4+x
3、3+x2+x+1=0 (B) x4x3+x2x+1=0 (C) x4x3x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2x1=0二填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 1arcsin(sin2000)=_2设 an是(3)n的展开式中 x 项的系数(n=2，3，4，)，则(+)=_.xlimn32a233a33nan 3等比数列 a+log23，a+log43，a+log83 的公比是_.4在椭圆+=1 (ab0)中，记左焦点为 F，右顶点为 A，短轴上方的端点为 B.若该椭圆的离心x2a2y2b2率是，则ABF=_.512 5一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为 a，则这个球
4、的体积是_. 6如果：(1)a，b，c，d 都属于1，2，3，4； (2)ab，bc，cd，da； (3)a 是 a，b，c，d 中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是_abcd三、解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分)1设 Sn=1+2+3+n，nN*，求 f(n)=的最大值Sn(n + 32)Sn + 1- 2 - 3 -2若函数 f(x)= x2+在区间a，b上的最小值为 2a，最大值为 2b，求a，b121323已知 C0：x2+y2=1 和 C1：+=1 (ab0)试问：当且仅当 a，b 满足什么条件时，对 C1上任x2a2y2a2 意一点 P，均存在以 P 为顶点
5、，与 C0外切，与 C1内接的平行四边形？并证明你的结论- 4 -2000 年全国高中数学联赛二试题 （10 月 15 日上午 1000-1200） 一 （本题满分 50 分） 如图，在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F，满足BAE=CAF，作 FMAB，FNAC（M、N 是垂足） ，延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D证明：四边形 AMDN 与三角 形 ABC 的面积相等二 （本题满分 50 分） 设数列a n和b n 满足 a0=1，a1=4，a2=49，且n=0，1，2，an + 1=7an + 6bn3， bn + 1=8an + 7bn4) 证明 a n（n=0
6、，1，2，）是完全平方数三 （本题满分 50 分） 有 n 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意 n2 个人之间通电话的次数相等， 都是 3 k次，其中 k 是自然数，求 n 的所有可能值ABCDEFMN- 5 -2000 年全国高中数学联合竞赛试题解答 第一试一选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）1设全集是实数，若 A=x|0，B=x|10=10x，则 ARB 是( )x2x22(A)2 (B)1 (C)x|x2 (D) 解：A=2，B=2，1，故选 D2设 sin0，cos0，且 sin cos，则 的取值范围是( )333(A)(2k+，2k+ )， kZ (B
7、)( + ，+ )，kZ632k362k33(C)(2k+，2k+)，k Z (D)(2k+，2k+ )(2k+，2k+)，kZ564356解：满足 sin0，cos0 的 的范围是(2k+ ，2k+)，于是 的取值范围是(+，+ )，232k362k33满足 sin cos 的 的取值范围为(2k+，2k+)故所求范围是(2k+，2k+ )(2k+，2k+)，3334544356 kZ选 D3已知点 A 为双曲线 x2y2=1 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右分支上，ABC 是等边三角形， 则ABC 的面积是( )(A) (B) (C)3 (D)6333 3233解：A(1，0)，A
8、B 方程：y=(x+1)，代入双曲线方程，解得 B(2，)，333 S=3选 C34给定正数 p，q，a，b，c，其中 pq，若 p，a，q 是等比数列，p，b，c，q 是等差数列，则一元二次方程 bx22ax+c=0( )(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根解：a2=pq，b+c=p+qb=，c=；2p + q3p + 2q3=a2bc=pq (2p+q)(p+2q)= (pq)2|b|，从而 f(a)是最小值f(b)= b2+=2a0与 a0 矛盾故舍17121323932 0ab此时，最大值为 f(a)=2b，最小值为 f(b)=2a b2+
9、=2a a2+=2b相减得 a+b=4解得 a=1，b=31213212132 a，b=1，3或2，171343已知 C0：x2+y2=1 和 C1：+=1 (ab0)试问：当且仅当 a，b 满足什么条件时，对 C1上任x2a2y2a2 意一点 P，均存在以 P 为顶点，与 C0外切，与 C1内接的平行四边形？并证明你的结论 解：设 PQRS 是与 C0外切且与 C1内接的平行四边形易知圆 的外切平行四边形是菱形即 PQRS 是菱形于是 OPOQ 设 P(r1cos，r1sin)，Q(r2cos(+90)，r2sin(+90)，则在直角三角形 POQ 中有 r12+r22=r12r22(利用P
10、OQ 的面积)即 + =11r211r22但+=1，即 =+，r21cos2a2r22sin2b21r21cos2a2sin2b2同理， =+，相加得+=11r22sin2a2cos2b21a21b2反之，若+=1 成立，则对于椭圆上任一点 P(r1cos，r1sin)，取椭圆上点 Q(r2cos(+90)，1a21b2r2sin(+90)，则 =+， ， =+， ，于是 + =+=1，此时 PQ 与 C0相切即存在满1r21cos2a2sin2b21r22sin2a2cos2b21r211r221a21b2 足条件的平行四边形 故证第二试 一 （本题满分 50 分） 如图，在锐角三角形 AB
11、C 的 BC 边上有两点 E、F，满足BAE=CAF，作 FMAB，FNAC（M、N 是垂足） ，延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D证明：四边形 AMDN 与三角 形 ABC 的面积相等 证明：连 MN，则由 FMAM，FNAN 知 A、M、F、N 四点共圆，且 该圆的直径为 AF又AMN=AFN，但FAN=MAD，故 MAD+AMN=FAN+AFN=90MNAD，且由正弦定理知， MN=AFsinASAMDN= ADMN= ADAFsinA1212 连 BD，由ADB=ACF，DAB=CAF，得ABDAFC ADAB=ACAF，即 ADAF=ABACRPQSyxOABCDEMNF-
12、 8 - SAMDN= ADAFsinA= ABACsinA=SABC1212 二 （本题满分 50 分） 设数列a n和b n 满足 a0=1，a1=4，a2=49，且n=0，1，2，an + 1=7an + 6bn3， bn + 1=8an + 7bn4) 证明 a n（n=0，1，2，）是完全平方数 证明 7：7an+1=49an+42bn21， 6：6bn+1=48an+42bn24 两式相减得，6bn+17an+1=an3，即 6bn=7anan13代入：an+1=14anan16故 an+1 =14(an )(an1 )121212 其特征方程为 x214x+1=0，特征方程的解为
13、 x=743故 an=(7+4)n+(74)n+ ,现 a0=1，a1=4，a2=49解得 = 331214 an= (7+4)n+ (74)n+ = (2+)2n+ (2)2n+1431431214314312= (2+)n+ (2)n2123123由于 (2+)n+ (2)n是整数，故知 an是整数的平方即为完全平方数123123三 （本题满分 50 分） 有 n 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意 n2 个人之间通电话的次数相等， 都是 3 k次，其中 k 是自然数，求 n 的所有可能值解：由条件知，统计各 n2 人组的通话次数都是 3k次，共有C=C个 n2 人组，若某两人通n2 n2 n话 1 次，而此二人共参加了C= C个 n2 人组，即每次通话都被重复计算了C次即总通话次n4 n22 n22 n2数应为3k次n(n1)(n2)(n3) 由于(n1，n2)=1，故 n2|n3k 若 n2|n，故 n2|2，易得 n=4，(n=3 舍去)此时 k=0 由 n2|3k，n=3m+2，(m 为自然数，且 mk)，此时3k =3k=3m+4+3km，即 3m1|6n(n1)(n2
