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1、19991999 年全国初中数学联合竞赛试卷及答案年全国初中数学联合竞赛试卷及答案第一试第一试 （4 4 月月 4 4 日上午日上午 8:30-9:308:30-9:30）考生注意：本试两大题共考生注意：本试两大题共 1010 道小题，每题道小题，每题 7 7 分。全卷满分分。全卷满分 7070 分。分。一、选择题一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 本题共有 6 个小题，每小题都给出了（A） 、 （B） 、 （C） 、 （D）四个结论，其中只有一个 是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得 7 分； 不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆
2、括号内） ，一律得 0 分1计算的值是（ ） 31231131144 （A）1 （B）1 （C）2 （D）2 2ABC 的周长是 24，M 是 AB 的中点，MCMA5，则ABC 的面积是（ ） （A）12 （B）16 （C）24 （D）303设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有ab abxybaxy一组，的取值，使得下列 4 个图中的一个为正确的是（ ）ab4若函数，则当自变量取 1、2、3、100)196100196100(2122xxxxyx这 100 个自然数时，函数值的和是（ ） （A）540 （B） 390 （C）194 （D）97 5如图，在等腰梯形 ABCD 中
3、，ABDC，AB=998，DC=1001，AD=1999，点 P 在线 段 AD 上，则满足条件BPC=90 的点 P 的个数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）不小于 3 的整数 6有下列三个命题：若，是不相等的无理数，则是无理数；若，是不相等的无理数，则是无理数； 若，是不相等的无理数，则是无理数3其中正确命题的个数是（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 28 分，每小题分，每小题 7 分）分） 本题共有 4 道小题，要求直接把答案写在横线上1已知且，则=_)()(412acbacb0aacb2如图，在ABC 中，B36，ACB1
4、28，CAB 的平分线交 BC 于 M， ABC 的外接圆的切线 AN 交 BC 的延长线于 N，则ANM 的最小角等于 3已知，为整数，且满足，则=_ab32 111)11)(111111(22 baba babbaaba4、在正方形 ABCD 中，N 是 DC 的中点，M 是 AD 上异于 D 的点，且NMB=MBC，则 tanABM= 第二试第二试 （4 月月 4 日上午日上午 10:00-11:30） 考生注意：本试三大题，第一题考生注意：本试三大题，第一题 20 分，第二、三题各分，第二、三题各 25 分，全卷满分分，全卷满分 70 分。分。 一、一、 （本题满分（本题满分 20 分
5、）分）某班参加一次智力竞赛，共， 三题，每题或者得满分或者得 0 分其中题abc 满分 20 分，题、题 满分分别为 25 分竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三abc 题全答对的有 1 人，答对其中两道题的有 15 人，答对题的人数与答对题的人数之和ab 为 29，答对题的人数与答对题 的人数之和为 25，答对题的人数与答对题 的人数acbc 之和为 20，问这个班的平均成绩是多少分？二、二、 （本题满分（本题满分 25 分）分）如图，设ABC 是直角三角形，点 D 在斜边 BC 上，BD=4DC已知圆过点 C 且与 AC 相交于 F，与 AN 相切于 AB 的中点 G求证：ADBF三、三、
6、 （本题满分（本题满分 25 分）分）已知， 为整数，方程的两根都大于1 且小于 0，求和 的值bc052cbxxbc第一试参考答案第一试参考答案一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 本题共有 6 个小题，每小题都给出了（A） 、 （B） 、 （C） 、 （D）四个结论，其中只有一个 是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得 7 分； 不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内） ，一律得 0 分1、计算的值是（ D ）（A）1 （B）1 （C）2 （D）2解：原式 2、ABC 的周长是 24，M 是 AB 的中点，MCMA5，则ABC
7、的面积是（ C ） （A）12 （B）16 （C）24 （D）30 解：MA=MB=MC=5，ACB=90，已知周长是 24，则 ACBC=14，AC2BC2=1022ACBC=（ACBC）2（AC2BC2） =142102=4243、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列 4 个图中的一个为正确的是（ B ）解：由方程组的解知两直线的交点为，而图 A 中交点横坐标是负数，故图 A 不对；图 C 中交点横坐标是 21，故图 C 不对；图 D 中交点纵坐标是大于 ，小于的数，不等于，故图 D 不对；故选 Babba4、若函数，则当自变量取 1、2、3、100)1
8、96100196100(2122xxxxyx这 100 个自然数时，函数值的和是（ B ） （A）540；（B）390；（C）194；（D）97。解：当时，。当自变量取 2、3、98 时，函数值都为 0。而当取 1、99、100 时，故所求的和为： 5、如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，AB998，DC1001，AD1999，点 P 在 线段 AD 上，则满足条件BPC90的点 P 的个数为（ C ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）不小于 3 的整数 解：AD 的中点 M 对 BC 张成 90角，又在 AD 上取点 N 使 AN998，则 ND1001由ABN 和DCN 都为等腰三
9、角形推知BNC=90，注意到以 BC 为直径的圆与 AD 至多有两个交点，可知 所求点的个数为 26、有下列三个命题：（甲）若，是不相等的无理数，则是无理数；（乙）若，是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若，是不相等的无理数， 则是无理数其中正确命题的个数是（ A ）3解：，只要令，则为有理数，故（甲）不对；又若令，则为有理数，故（乙）不对；又若令，则=0 为有理数， 3故（丙）不对；故正确命题个数是 0，应选（A） 二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） 本题共有 4 道小题，要求直接把答案写在横线上。1、已知且，则=_2_)()(412acbacb0aacb解：，即， 2、如图，
10、在ABC 中，B36，ACB128，CAB 的平分线交 BC 于 M， ABC 的外接圆的切线 AN 交 BC 的延长线于 N，则ANM 的最小角等于 44解：B36，ACB128，AM 为CAB 的平分线，CAM=MAB=，AMC44又 AN 为切线，NAC=B=36，NAM44，N180444492，ANM 的最小角为 443、已知，为整数，且满足，则=_3_ab32 111)11)(111111(22 baba babbaaba解：左边，即，而，为整数，且不相等，ab只可能取值 1，4 或-1，-4不妨设，则，或，（2）无整数解，由（1）得，4、在正方形 ABCD 中，N 是 DC 的中
11、点，M 是 AD 上异于 D 的点，且NMBMBC，则 tgABM31解：延长 MN 交 BC 的延长线于 T，设 MB 的中点为 O，连 TO，则BAMTOB，即令DN1，CT=MD=，则 AM=，BM，BT=，代入（1）式得kk22)2(4kk2，注意到，解得第二试参考答案第二试参考答案一、 （本题满分 20 分）某班参加一次智力竞赛，共， 三题，每题或者得满分或者得 0 分其中题abc 满分 20 分，题、题 满分分别为 25 分竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三abc 题全答对的有 1 人，答对其中两道题的有 15 人，答对题的人数与答对题的人数之和ab 为 29，答对题的人数与答对
12、题 的人数之和为 25，答对题的人数与答对题 的人数acbc 之和为 20，问这个班的平均成绩是多少分？解：设分别表示答对题、题、题 的人数，则有abc，答对一题的人数为37132154，全班人数为 141520，平均成绩为。 答：班平均成绩为 42 分。 二、二、 （本题满分（本题满分 25 分）分）如图，设ABC 是直角三角形，点 D 在斜边 BC 上，BD4DC。已知圆过点 C 且与 AC 相交于 F，与 AN 相切于 AB 的中点 G求证：ADBF证：作 DEAC 于 E，则 ACAE，AGED。由切割线定45 25理有：AG2AFAC，ED2AFAE，5ED2AFAE，ABEDAFAE，425 45，BAFAED，ABF=EAD，而EAD+DAB=90，ABF+DAB=90，ADBF 三、 （本题满分 25 分）已知， 为整数，方程的两根都大于1 且小于 0，求和 的值bc052cbxxbc解：根据函数的图象和题设条件知：当时，cbxxy250x052cbxx-；当时，-抛物线顶点的横坐0c1x052cbxxcb 5标满足，-，即，-，由、得，若，则由、得且，得；1c若，则且，无整数解；2c若，则且，无整数解；3c若，则且，无整数解；故所求， 的值为， 4cbc5b1c
