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1、带电粒子在复合场中的运动带电粒子在复合场中的运动25 （18 分）如图甲所示，建立 Oxy 坐标系，两平行极板 P、Q 垂直于 y 轴且关于 x 轴对称，极板长度和板间距均为 l，第一四象限有磁场，方向垂直于 Oxy 平面向里。位于极板左侧的粒子源沿 x 轴间右连接发射质量为 m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子在 03t 时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的影响） 。已知 t=0 时刻进入两板间的带电粒子恰好在 t0时，刻经极板边缘射入磁场。上述 m、q、l、t0、B 为已知量。（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）求：（1）求电压 U 的大小。（2）求1 2t0进入两
2、板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径。（3）何时把两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间。解：（1）t=0 时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，t0时刻刚好从极板边缘射出，在 y 轴负方向偏移的距离为 1/2l，则有 Eq=ma 联立以上三式，解得两极板间偏转电压为 （2）1/2t0时刻进入两极板的带电粒子，前 1/2t0时间在电场中偏转，后 1/2t0时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动带电粒子沿 x 轴方向的分速度大小为 带电粒子离开电场时沿 y 轴负方向的分速度大小为 带电粒子离开电场时的速度大小为 设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为 R
3、，则有 0v图甲图乙联立式解得 （3）2t0时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短，带电粒子离开磁场时沿 y 轴正方向的分速度为 vy=at0 设带电粒子离开电场时速度方向与 y 轴正方向的夹角为 ，则 联立式解得 =/4带电粒子在磁场运动的轨迹图如图所示，圆弧所对的圆心角为 2=/2所求最短时间为 tmin=1/4T带电粒子在磁场中运动的周期为 T=联立以上两式解得25 （20 分）如图所示，在坐标系 Oxy 的第一象限中存在沿 y 轴正方向的匀速磁场， 场强大小为 E。在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。A 是 y 轴上的一 点，它到坐标原点 O 的距离为 h；C 是
4、x 轴上的一点，到 O 的距离为 L。一质量为 m，电 荷量为 q 的带负电的粒子以某一初速度沿 x 轴方向从 A 点进入电场区域，继而通过 C 点进 入磁场区域。并再次通过 A 点，此时速度方向与 y 轴正方向成直角。不计重力作用。试求：（1）粒子经过 C 点速度的大小和方向； （2）磁感应强度的大小 B。解：（1）以 a 表示粒子在电场作用下的加速度，有qEma ，加速度沿 y 轴负方向设粒子从 A 点进入电场时的初速度为 v0，由 A 点运动到 C点经历的时间为 t，则有 hat2 ，lv0t 由式得： 设粒子从 C 点进入磁场时的速度为 v，v 垂直于 x 轴的分量 由式得： 设粒子经
5、过 C 点时的速度方向与 x 轴的夹角为 ，则有 tan 由式得：arctan （2）粒子经过 C 点进入磁场后在磁场中作速率为 v 的圆周运动。若圆周的半径为 R，则有： 设圆心为 P，则 PC 必与过 C 点的速度垂直，且有R。用 表示与 y 轴的夹角，由几何关系得RcosRcosh RsinlRsin 由式解得： 由式解得： 24.(17 分)如图所示，在 xOy 平面的第一象限有一匀强电场，电场的方向平行于 y 轴向下； 在 x 轴和第四象限的射线 OC 之间有一匀强磁场，磁感应强度的大小为 B，方向垂直 于纸面向外。有一质量为 m，带有电荷量+q 的质点由电场左侧平行于 x 轴射入电
6、场。 质点到达 x 轴上 A 点时，速度方向与 x 轴的夹角为，A 点与原点 O 的距离为 d。接 着，质点进入磁场，并垂直于 OC 飞离磁场。不计重力影响。若 OC 与 x 轴的夹角也 为，求（1）粒子在磁场中运动速度的大小：（2）匀强电场的场强大小。解：(1)质点在磁场中的轨迹为一圆弧。由于质点飞离磁场时，速度垂直于 OC，故圆弧的圆心在 OC 上，如图所示依题意，质点轨迹与 x 轴的交点为 A，过 A 点作与 A 点的速度方向垂直的直线，与 OC 交于 O，由几何关系知，AO垂直于 OC，O是圆弧的圆心，设圆弧的半径为 R，则有R=dsin 由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得 将式代入式，得
7、 (2)质点在电场中的运动为类平抛运动，设质点射入电场的速度为 v0，在电场中的加速度为a，运动时间为 t，则有v0=vcos vsin=at d=v0t 联立得 设电场强度的大小为 E，由牛顿第二定律得 qE=ma 联立得 23.（16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，第象限存在沿 y 轴负方向的匀强电场，第象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为 B。一质量为 m、电荷量为 q 的带正电的粒子从 y 轴正半轴上的 M 点以速度 v0垂直于 y 轴射入电场，经 x 轴上的 N 点与 x 轴正方向成60角射入磁场，最后从 y 轴负半轴上的 P 点垂直于 y 轴射出磁场，如图所示。不
8、计粒子重力，求（1）M、N 两点间的电势差 UMN ；（2）粒子在磁场中运动的轨道半径 r； （3）粒子从 M 点运动到 P 点的总时间 t。解：（1）设粒子过 N 点的速度为 v，有，v2v0 粒子从 M 点到 N 点的过程，有（2）粒子在磁场中以 O为圆心做匀速圆周运动，半径为 ON有：得： （3）由几何关系得：ONrsin 设粒子在电场中运动的时间为 t1，有 ONv0t1，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期设粒子在磁场中运动的时间为 t2，有，tt1t2 解得：25(18 分)如图所示，在第一象限有一匀强电场，场强大小为 E，方向与 y 轴平行；在 x 轴下方有一匀强磁场，磁场方向与纸面
9、垂直。一质量为 m、电荷量为-q(q0)的粒子以平行于 x 轴的速度从 y 轴上的 P 点处射入电场，在 x 轴上的 Q 点处进入磁场，并从坐标原点 O 离开磁场。粒子在磁场中的运动轨迹与 y 轴交于 M 点。已知 OP= ,。不计重力。求llOQ32（1）M 点与坐标原点 O 间的距离；（2）粒子从 P 点运动到 M 点所用的时间。解：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，在 y 轴负方向上做初速度为零的匀加速运动，设加速度的大小为 a；在 x轴正方向上做匀速直线运动，设速度为 v0，粒子从 P 点运动到 Q 点所用的时间为 t1，进入磁场时速度方向与 x 轴正方向的夹角为 ，则， ， 其中，
10、又有 联立式，得因为点在圆周上，所以 MQ 为直径。从图中的几何关系可知， （2）设粒子在磁场中运动的速度为 v，从 Q 到 M 点运动的时间为 t2，则有， 带电粒子自 P 点出发到 M 点所用的时间为 t 为 联立式，并代入数据得25. （18 分）如图,在宽度分别为和的两个毗邻的条形区域分别有匀强磁场和匀强电场，1l2l磁场方向垂直于纸面向里，电场方向与电、磁场分界线平行向右。一带正电荷的粒子以速率 v 从磁场区域上边界的 P 点斜射入磁场，然后以垂直于电、磁场分界线的方向进入电场，最后从电场边界上的 Q 点射出。已知 PQ 垂直于电场方向，粒子轨迹与电、磁场分界线的交点到 PQ 的距离
11、为 d。不计重力,求电场强度与磁感应强度大小之比及粒子在磁场与电场中运动时间之比。解：粒子在磁场中做匀速圆周运动（如图）。由于粒子在分界线处的速度与分界线垂直，圆心 O 应在分界线上，OP 长度即为粒子运动的圆弧的半径 R。由几何关系得 R2=l12+(Rd)2 设粒子的质量和所带正电荷分别为 m 和 q，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得 设 P为虚线与分界线的交点，POP=，则粒子在磁场中的运动时间为式中 粒子进入电场后做类平抛运动，其初速度为 v，方向垂直于电场。设粒子加速度大小为 a，由牛顿第二定律得qE=ma 由运动学公式有 l2=vt2 式中 t2是粒子在电场中运动的时间由式得 由式得
12、 25.（19 分）如题 25 图，离子源 A 产生的初速为零、带电量均为 e、质量不同的正离子被 电压为 U0的加速电场加速后匀速通过准直管，垂直射入匀强偏转电场，偏转后通过极板 HM 上的小孔 S 离开电场，经过一段匀速直线运动，垂直于边界 MN 进入磁感应强度为 B的匀强磁场。已知 HOd，HS2d，90。 （忽略离子所受重力）MNQ（1）求偏转电场场强 E0的大小以及 HM 与 MN 的夹角 ； （2）求质量为 m 的离子在磁场中做圆周运动的半径； （3）若质量为 4m 的离子垂直打在 NQ 的中点 S1处，质量 为 16m 的离子打在 S2处。求 S1和 S2之间的距离以及能打 在
13、NQ 上的正离子的质量范围。解：（1）得 E0U0/d 由 tan得 45 （2）由得 R2 （3）将 4m 和 16m 代入 R，得 R1、R2由 sR1将 R1、R2代入得 s4(1) 由 R2(2R1)2(RR1)2 得 RR1 由R1RR1 得 mmx25m 马上分享给同学 25 （19 分）如图，与水平面成 45角的平面 MN 将空间分成 I 和 II 两个区域。一质量为m、电荷量为 q（q0）的粒子以速度从平面 MN 上的0v点水平向右射入 I 区。粒子在 I 区运动时，只受到大小不变、0p方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为 E；在 II 区运动时， 只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向里。求粒子首次从 II 区离开时到出发点的距离。粒子0p的重力可以忽略。解：设粒子第一次过 MN 时速度方向与水平方向成 1角，位移与水平方向成 2角且2=45，在电场中做类平抛运动，则有：得出：，在电场中运行的位移在磁场中做圆周运动，且弦切角为 =12，得出：在磁场中运行的位移为：所以首次从 II 区离开时到出发点 p0的距离为：
