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1、120112011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（天津卷，解析版）年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（天津卷，解析版）注意事项：1 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 B 后的方框涂黑。2 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。3 填空题和解答题用 0 5 毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。4 考生必须保持答题卡的
2、整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 l0l0 小题每小题小题每小题 5 5 分，共分，共 5050 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的有一项是满足题目要求的. .1.1. 是虚数单位，复数是虚数单位，复数=i1 3 1i i A.A. B.B. C.C. D.D. 2i2i1 2i 12i 【答案】A【解析】因为，故选 A.1 3(1 3 )(1)212iiiii2.2.设变量设变量满足约束条件满足约束条件, ,则目标函数则目标函数的最大值为的最大值为, x y1 40 3
3、40x xy xy 3zxy2A.-4A.-4 B.0B.0 C.C. D.4D.44 3【答案】D【解析】画出不等式表示的平面区域,容易求出最大值为 4,选 D.3.3.阅读右边的程序框图阅读右边的程序框图, ,运行相应的程序运行相应的程序, ,若输入若输入的值为的值为-4,-4,则则x输出输出的的值为值为yA.0.5A.0.5 B.1B.1C.2C.2 D.4D.436.6.已知双曲线已知双曲线的左顶点与抛物线的左顶点与抛物线的焦点的距离为的焦点的距离为 4,4,且双曲线且双曲线22221(0,0)xyabab22(0)ypx p的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为的一条渐近线与抛物线的
4、准线的交点坐标为(-2,-1),(-2,-1),则双曲线的焦距为则双曲线的焦距为A.A. B.B. C.C. D.D. 2 32 54 34 5【答案】B B【解析】由题意知,抛物线的准线方程为,所以,又,所以,又因为双曲线的2x 4p 42pa2a 一条渐近线过点(-2,-1),所以双曲线的渐近线方程为,即,所以,即,1 2yx 1 2b a1b 25c ,选 B.22 5c 7.7.已知函数已知函数其中其中若若的最小正周期为的最小正周期为, ,且当且当( )2sin(),f xxxR0,.( )f x6时时, , 取得最大值取得最大值, ,则则2x( )f xA.A. 在区间在区间上是增函
5、数上是增函数 B.B. 在区间在区间上是增函数上是增函数( )f x 2 ,0( )f x 3 ,4C.C. 在区间在区间上是减函数上是减函数 D.D. 在区间在区间上是减函数上是减函数( )f x3 ,5 ( )f x4 ,6 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分9.9. 已知集合已知集合为整数集为整数集, ,则集合则集合中所有元素的和等于中所有元素的和等于 . .|1| 2 ,AxRxZAZ【答案】3 3【解析】因为,所以,故其和为 3.| 13Axx 0,1,2AZ10.10. 一个几何体的三视图如图所示一个几何
6、体的三视图如图所示( (单位单位:m),:m),则该几何体的体积为则该几何体的体积为 . .3m5【答案】4【解析】由三视图知,该几何体是由上、下两个长方体组合而成的,容易求得体积为 4.11.11. 已知已知是等差数列是等差数列, ,为其前为其前 n n 项和项和, ,. .若若, , ,则则的值为的值为 . . nanSnN316a 2020S10S【答案】1106三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分 15.15.（本小题满分（本小题满分 1313 分）分）编号分别为编号分别为的的 1616 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下名篮球运动
7、员在某次训练比赛中的得分记录如下: :1216,A AAL运动员编号运动员编号A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A A5 5A A6 6A A7 7A A8 8 得分得分15153535212128282525363618183434 运动员编号运动员编号A A9 9A A1010A A1111A A1212A A1313A A1414A A1515A A1616 得分得分17172626252533332222121231313838 ()()将得分在对应区间内的人数填入相应的空格将得分在对应区间内的人数填入相应的空格: :区间区间10,20)20,30)30,40)人数人数(
8、 ( )从得分在区间从得分在区间内的运动员中随机抽取内的运动员中随机抽取 2 2 人人, ,20,30)(i)(i)用运动员编号列出所有可能的抽取结果用运动员编号列出所有可能的抽取结果; ;7(ii)(ii)求这求这 2 2 人得分之和大于人得分之和大于 5050 的概率的概率. .16.16.（本小题满分（本小题满分 1313 分）分）在在中中, ,内角内角 A,B,CA,B,C 的对边分别为的对边分别为. .已知已知 B=C,B=C, . .ABC, ,a b c23ba()()求求的值的值;();()求求的值的值. .cos Acos(2)4A【解析解析】()由 B=C,可得,所以23b
9、a3 2cba. .2 2222233 144cos2333222aaabcaAbcaa ()因为,所以,1cos3A (0, )A2 2sin3A ,故,所以27cos22cos19AA 4 2sin22sincos9AAA.cos(2)cos2 cossin2 sin444AAA87 2 18【命题意图命题意图】本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、 余弦公式等基础知识，考查基本运算能力. 17.17.（本小题满分（本小题满分 1313 分）分）8如图如图, ,在四棱锥在四棱锥 P-ABCDP-ABCD 中中, ,底面底面 ABCDABCD 为平行
10、四边形为平行四边形, ,AD=AC=1,O,AD=AC=1,O 为为 ACAC 的中点的中点,PO,PO平面平面45ADCoABCD,PO=2,ABCD,PO=2,为为 PDPD 的中点的中点. .M()()证明证明 PBPB平面平面; ;ACM ()()证明证明 ADAD平面平面 PAC;PAC; ()()求直线求直线与平面与平面 ABCDABCD 所成角的正切值所成角的正切值. .AM 【解析】()证明:连接 BD,MO.在平行四边形 ABCD 中,因为 O 为 AC 的中 点,所以 O 为 BD 的中点,又 M 为 PD 的中点,所以 PBMO,因为 PB平面,平面,所以 PB平面.AC
11、MMO ACMACM()证明:因为,AD=AC=1,所以 ADAC,又 PO平面45ADCoABCD,AD平面 ABCD,所以 POAD,而 ,所以 AD平面 PAC.ACPOO ()取 DO 点 N,连接 MN,AN,因为 M 为 PD 的中点,所以 MNPO,且MN=PO=1,由 PO平面 ABCD,得1 2 MN平面 ABCD,所以是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角.在MAN中,AD=1,AO=,所以Rt DAO1 2,从而.在中, ,即直线与5 4DO 15 24ANDORt ANM1tan5 4MNMANAN4 5 5AM平面 ABCD 所成角的正切值为.4 5 5【命题意图命
12、题意图】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考 查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 18.18.（本小题满分（本小题满分 1313 分）分）9设椭圆设椭圆的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为, ,点点满足满足. .22221(0)xyabab12,F F( , )P a b212| |PFFF（）求椭圆的离心率）求椭圆的离心率; ;e()()设直线设直线与椭圆相交于与椭圆相交于 A,BA,B 两点两点. .若直线若直线与圆与圆相交于相交于 M,NM,N 两点两点, ,且且2PF2PF22(1)(3)16xy|MN|=|MN|=|AB|,|AB|,求
13、椭圆的方程求椭圆的方程. .5 819.19.（本小题满分（本小题满分 1414 分）分）已知函数已知函数其中其中. .322( )4361,f xxtxt xtxR tR（）当）当时时, ,求曲线求曲线在点在点处的切线方程处的切线方程; ;1t ( )yf x(0,(0)f()()当当时时, ,求求的单调区间的单调区间; ;0t ( )f x()()证明证明: :对任意对任意, ,在区间在区间(0,1)(0,1)内均在零点内均在零点. .(0,)t( )f x【解析解析】 （）当时, ,1t 32( )436 ,(0)0,f xxxx f2( )1266,(0)6fxxxf 所以曲线在点处的
14、切线方程为.( )yf x(0,(0)f6yx 10()() 令,解得或,因为, ,以下分两种情况讨论以下分两种情况讨论: :22( )1266 ,fxxtxt( )0fx xt 2t0t (1)(1)若若, ,则则.当变化时, ,的变化情况如下表:0t 2tt x( )fx( )f xx(, )2t( ,)2tt(,)t ( )fx+-+( )f x所以的单调递增区间是,;的单调递减区间是.( )f x(, )2t(,)t ( )f x( ,)2tt(2)若, ,则则.当变化时, ,的变化情况如下表:0t 2tt x( )fx( )f x所以的单调递增区间是,;的单调递减区间是.( )f x(,) t ( ,)2t( )f x(, )2ttx(,) t (, )2tt( ,)2t( )fx+-+( )f x11所以所以在在内存在零点内存在零点. .( )f x( ,1)2t若若, , ,(1,2)t37( )(1)24tftt 37104t 所以所以在在内存在零点内存在零点, ,所
