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1、 考试资料网http:/资料分享平台数学经典例题深度解析例 1：设2,Sx xmnm nZ(1).,aZaS设则是否是集合中的元素(2).对中任意两个元素，判断是否属于.S12,x x1212,xx x xS解：(1)a 一定不是集合中的元素S (2).121112221212121212121221,2,2,()() 2(2)() 2xS xSxmnxmnxxmmnnSx xm mn nm nm nSQ令则例 2：求证：函数在区间上的最小值为 22 21( )f xxx(0,)解：任取1212,0,1 ,x xxx则22 121222 1222 122221 2122 2121122122
2、1210,01.1110()()11()(1)1()(1)0xxx xx xx xf xf xyxxxxxxxx xxxx x 在上是减函数( )f x0,1同理可证在上是增函数( )f x1,故在上的最小值为( )f x0,(1)2f例 3: 已知集合M是同时满足下列两个性质的函数( )f x的全体:( )f x在其定义域上是单调函数；在( )f x的定义域内存在闭区间 , a b，使得( )f x在 , a b上的最小值是2a，且最大值是2b.请解答以下问题：判断函数3( )g xx 是否属于集合M？并说明理由. 若是，请找出满足的闭区间 , a b；若函数( )1h xxtM ，求实数t
3、的取值范围解: （1）设则,21xx 0x43x21xx-xxxxxx-xxxxgxg2 12 12122 1212 2123 23 121 ）（）（）（）（）（）（）（21xgxg, 故 g（x)是 R 上的减函数 假设函数 g（x)M，考试资料网http:/资料分享平台则 2233abba 2222ba或 2222ba又 a1, 故:2320ttktR从而判别式14 120.3kk 例 6:已知函数对任意的满足：)(xfabR、()( )( )6,f abf af b；。0,( )6af a当时( 2)12f （1）求：的值；(2)f（2）求证：是上的减函数；( )f xR考试资料网htt
4、p:/资料分享平台（3）若，求实数的取值范围。(2)(2 )3f kfkk解: （1） 令，得()( )( )6,f abf af b0ab(0)6f令，得 2,2ab (2)0f（2）证明：设是上的任意两个实数，且，即，12,x xR12xx210xx从而有， 21()6f xx则212111()()()()f xf xfxxxf x2111()()6()f xxf xf x即是上的减函数 21()60f xx21()()f xf x( )f xR（3）令，得 ()( )( )6,f abf af b1,1ab(1)3f ，又，(2)(2 )3f kfk(2)3(2 )f kfk(1)3f(
5、2)0f即有(2)(1)(2 )(2)f kffkf (2)(1)6(2 )(2)6f kffkf(2) 1(2 )2fkfk又是上的减函数 即( )f xR(2) 1(2 )2kk 3k 实数的取值范围是k3k 例 7: 已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：0,1( )f x. 对任意的，总有；. ；0,1x( )0f x (1)1f. 若，且，则有成立.10x 20x 121xx1212()()()f xxf xf x则称为“友谊函数”，请解答下列各题：( )f x(1) 若已知为“友谊函数”，求的值；( )f x(0)f(2) 函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由( )21xg
6、 x 0,1解: （1）取得120xx(0)(0)(0)(0)0ffff又由，得 (0)0f(0)0f（2）显然在上满足1 ；2 . ( )21xg x 0,1( )0g x (1)1g若，且，则有10x 20x 121xx1212() ()()g xxg xg x12122121 (21)(21)(21)(21)0xxxxxx 故满足条件1、2、3，所以为友谊函数( )21xg x ( )21xg x 例 8: 已知向量且，且为锐角.(sin,cos),( 3, 1)mAA nu rr1m n u r rgA（1）求角的大小；A（2）求函数的值域( )cos24cossin ()f xxAx
7、 xR解：由题意得 3sincos1,m nAAg12sin()1,sin().662AA由 A 为锐角得 ,663AA（2） 由（1）知1cos,2A 所以2213( )cos22sin12sin2sin2(sin).22f xxxxsx 因为 xR，所以，因此，当时，f(x)有最大值.sin1,1x 1sin2x 3 2考试资料网http:/资料分享平台当时，有最小值,所以所求函数的值域是sin1x ( )f x3( )f x332，例 9: 已知函数22( )sin3sin cos2cos,.f xxxxx xR（1）求函数的最小正周期和单调增区间；( )f x（2）函数的图象可以由函数
8、的图象经过怎样的变换得到？ ( )f xsin2 ()yx xR解：（1）1 cos23( )sin2(1 cos2 )22xf xxx313sin2cos2222xx3sin(2).62x的最小正周期由题意得( )f x2.2T222,262kxkkZ即 的单调增区间为,.36kxkkZ( )f x,.36kkkZ（2）先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图sin2yx12sin(2)6yx象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象3 23sin(2)62yx例 10：已知函数，且 ( )sin()3f xxxR1.6f(1)求的最小正值及此时函数的表达式；( )yf
9、x(2)将(1)中所得函数的图象结果怎样的变换可得的图象；( )yf x11sin22yx(3)在(1)的前提下，设，2534,( ),( )636355ff 求的值；tan求的值cos2()1解：(1) 因为，所以， 16fsin163于是，即 ， +2 ()632kkZ1 12 ()k k Z故当 k=0 时，取得最小正值 1. 此时. ( )sin3f xx(2)(方法一)先将的图象向右平移个单位得 y=sinx 的图象；sin3yx 3再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得的图象；1sin2yx最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的倍(横坐标不变)得的图象.1
10、 211sin22yx考试资料网http:/资料分享平台(方法二)先将的图象各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得sin3yx的图象；1sin23yx再将所得图象向右平移个单位得的图象;2 31sin2yx最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的倍(横坐标不变)得的图象.1 211sin22yx(3)因为，34( ),( )55ff 所以. 34sin, sin3535 因为25,6363 所以., , 03232 于是 43cos, cos.3535 因为， sin33tan34cos3 所以 tantan33tantan331tantan33 334 334825 34.1133 34134 因为 sinsin33 sincoscossin3333 3 3447,5 55525 所以 2 2798cos2()12sin ()2.25625
