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1、1选修选修 2-3 随机变量与分布列随机变量与分布列 一、随机变量一、随机变量 随机变量随机变量是概率论的重要概念，把随机试验的结果数量化可使我们对随机试验有更清晰的了解。 随机变量主要有两大类随机变量主要有两大类，一类是离散型离散型，其统计规律用概率分布（分布律）来描述；另一类是连续型连续型，其统计规 律可用密度函数来描述。高中我们学习二项分布、几何分布二项分布、几何分布和超几何分布超几何分布三种离散型分布，及正态分布正态分布一种连续型分 布，其中二项分布和标准正态分布在概率统计中使用频率非常高。若随机变量只能取有限个数值 或可列无穷多个数值 则称为离散型随机变量；取任一可能值 的概率记作，
2、其中，则有概率分布表：( )ip x1,2,.,in概率分布概率分布的性质的性质：( )ip x(1) ，其中； (2) ( )0ip x1,2,.,in( )1i ip x二、常用离散型随机变量的概率分布二、常用离散型随机变量的概率分布 “0-1”“0-1”分布：分布：随机变量的可能取值为取这些值的概率分别为：，其中0,11(),0,1mmpmp qm这种分布称为“0-1”分布01,1ppq例例 1 1抛掷硬币的试验中，设随机变量表示一次试验中徽花向上的次数，则服从“0-1”分布. 几何分布：几何分布：随机变量的可能取值为，取这些值的概率分别为：，其中1,2,3,.1(),1,2,3,.mp
3、mpqm分布称为几何分布01,1ppq例例 2 2某种定期奖券中奖率为 ，某人每次购买一张，如没有中奖下次再继续购买一张，直到中奖为止，(01)pp则该人所需购买次数服从几何分布 超几何分布超几何分布：随机变量的可能取值为，取这些值的概率分别为：0,1,2,3,.,n，其中都是正整数，且这种分布称为超几何分布，记(),0,1,2,3,.,mn m MN M n NC CpmmnC ,n N M,nN MN为.( ,)H n N M例例 3 3一批产品共件，其中有件次品，进行不放回抽样检查，每次从这批产品中任意取出一件，取出的产品不NM再放回去，连续取次，共取出件产品，则取出的件产品中的次品数服
4、从超几何分布nnn( ,)H n N M 二项分布：二项分布：随机变量的可能取值为，取这些值的概率分别为：0,1,2,3,.,n其中这种分布称为二项分布，记为通常把服从(),0,1,2,3,.,mmn m npmC p qmn01,1ppq( , )B n p二项分布记为( , )B n p2例例 4 4一批产品共件，其中有 件次品，进行放回抽样检查，每次从这批产品中任意取出一件，检查后放回去，NM连续抽取次，则被抽查的件产品中的次品数服从二项分布，其中nn( , )B n pMpN三、正态分布三、正态分布 （1 1）总体密度曲线）总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于
5、总体在相应各组取值的概率设想样本容 量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲 线 它反映了总体在各个范围内取值的概率根据这条曲线，可求出总体在区间内取值的概率等于总体密度( , )a b曲线，直线及轴所围图形的面积,xa xb x观察总体密度曲线的形状，它具有 “两两头头低低，中中 间间高高，左左右右对对称称 ”的特征，具有这种特征的总体密度曲 线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2 ,1( ),(,)2x xex 式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数与标准差，的图象为正态分布密度曲线 ,)0(,( )x 简称正正态
6、态曲曲线线 （2 2）正正态态曲曲线线有有以以下下特特点点 ： 1）曲线在轴的上方，与轴不相交； 2）曲线关于直线对称；xxx 3）当时，曲线带到峰值； 4）曲线与轴之间的面积为 1；x 1 2x5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，当时，曲线上升（增函数） ，当 xx 时，曲线下降（减函数） ，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线无限靠近。x x 6）当一定时，曲线的形状由确定： 越大，曲线越“矮胖” ，总体分布越分散；越小，曲线越“瘦高” ，总体分布越集中。 7）当时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，其相应的曲线称0,1 2221)(x exf
7、为标准正态曲线标准正态曲线。标准正态总体在正态总体的研究中占有重要的地位，任何正态分布的概率问题均可转化成(0,1)N标准正态分布的概率问题。（3 3）正态分布：）正态分布：一般地，如果对于任何实数，随机变量满足：，则称 的分布ab,()( )baP abx dx 为正态分布正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作如果随机变量 服从正态分布，则),(2N记为。正态分布是概率论和数理统计中最重要的一种分布，一般来讲，若影响某一数量指标的随机因2( ,)N 素很多，而每个因素所起的作用不太大，则这个指标近似服从正态分布。如测量的误差；人的身高；农作物的收获量 等都近似服从正态分布.（4 4）正
8、态总体）正态总体取值的概率：取值的概率：在区间),(2N位 位 位 位 位 位b位 位O位 位 /位 位a3内取值的概率分别为 68.26%、95.44%、99.74%，因此我们时常只在 (-,+ ), (-2 ,+2 ), (-3 ,+3 )区间内研究正态总体分布情况，而忽略其他很小的一部分，在实际应用中，通常认为服从于正态分布 (-3 ,+3 )的随机变量只取之间的值，并简称之为原则。2,N （） (-3 ,+3 )3例例 1 1给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值和标准差 （）),(,21)(22 xexfx（）),(,221)(8)1(2 xexfx（）22(1)2( ),(
9、,)2xf xex 例例 2 2：在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即。(90100)N:，（1）试求考试成绩位于区间（70,100）上的概率是多少？（2）若这次考试共有 2000 名考生，试估计考试成绩在（80,100）之间的考生大约有多少人？提高练习：提高练习： 1.一袋中有 5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现 10 次时停止，设停止时共取了 次球，则等于( )(12)PA B C D 10102 1235( ) ( )88C992 11353( ) ( )888C929 1135( ) ( )88C992 1135( ) ( )
10、88C2.某人射击击中目标的概率是 0.3，他射击目标时，恰好在第 3 发子弹首次击中目标的概率为 3.罐中有 6 个红球，4 个白球，从中任取一球，记下颜色后再放回，连续摸取 4 次，设为取得红球的次数，则的期望 E= 4. 设随机变量,且，则_2(4)N:，(48)0.3P(0)P5.若,求=_(5,1)N:(67)P6.在一袋中装有 1 只红球和 9 只白球，每次从袋中任取一球，取后放回，直到取到红球为止，求取球次数的分布列47.某厂生产的圆柱形零件的外径,质检人员从该厂生产的 1000 件零件中随机抽取一件，测得它的外径(4,0.25)N:为 5.7cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？
