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1、 跨校考研全程辅导专家2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学(一一)试题及答案试题及答案一、填空题填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线 y=lnx 上与直线垂直的切线方程为 .1 yx1 xy【分析分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为 1，由曲线 y=lnx 的导数为 1 可确定切点的坐标。【详解详解】 由，得 x=1, 可见切点为，于是所求的切线方程为11)(lnxxy)0 , 1 (， 即 .) 1(10xy1 xy【评注评注】 本题也可先设切点为，曲线 y=lnx 过此切点的导数为)ln
2、,(00xx，得，由此可知所求切线方程为， 即 1100 xy xx10x) 1(10xy.1 xy（2）已知，且 f(1)=0, 则 f(x)= .xxxeef)(2)(ln21x【分析分析】 先求出的表达式，再积分即可。)(xf 【详解详解】 令，则，于是有textxln， 即 tttfln)(.ln)(xxxf积分得 . 利用初始条件 f(1)=0, 得 C=0，故所求函Cxdxxxxf2)(ln21ln)(数为 f(x)= .2)(ln21x（3）设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分L222 yx的值为 . Lydxxdy223【分析分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲
3、线积分可化为定积分。【详解详解】 正向圆周在第一象限中的部分，可表示为222 yx.20:,sin2,cos2 yx于是 dydxxdy Lsin2sin22cos2cos222 0=.23sin22 02 d跨校考研全程辅导专家（4）欧拉方程的通解为 .)0(02422 2xydxdyxdxydx221 xc xcy【分析分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换化为常系数线性齐次微分方tex 程即可。【详解详解】 令，则 ，tex dtdy xdtdyedxdt dtdy dxdyt1，11122222222dtdy dtyd xdxdt dtyd xdtdy xdxyd代入原方程，整理
4、得，02322 ydtdy dtyd解此方程，得通解为 .2212 21xc xcececytt【评注评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令，则欧拉方程tex ，)(22 2xfcydxdybxdxydax可化为 ).(22 tefcydtdybdtdy dtyda（5）设矩阵，矩阵 B 满足，其中为 A 的伴随 100021012 AEBAABA*2*A矩阵，E 是单位矩阵，则 .B91【分析分析】 可先用公式进行化简EAAA*【详解详解】 已知等式两边同时右乘 A，得， 而，于是有AABAAABA*23A， 即 ，ABAB 63ABEA)63(再两边取行列式，有 ，363ABEA而
5、，故所求行列式为2763 EA.91B跨校考研全程辅导专家（6）设随机变量 X 服从参数为的指数分布，则= .DXXPe1【分析分析】 已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分 计算即可。【详解详解】 由题设，知，于是21 DX=DXXPdxeXPx11=.1 1eex二、选择题二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把时的无穷小量，使 0xdttdttdttxxx 03002sin,tan,cos2 排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A
6、) . (B) . (C) . (D) . B ,【分析分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.【详解详解】 ，可排除(C),(D)选项，0cos2tanlim costan limlim20020002 xxxdttdttxxxxx又 xxxxdttdttxxxxxtan221sin lim tansin limlim230003002 =，可见是比低阶的无穷小量，故应选(B). 20lim41 xxx（8）设函数 f(x)连续，且则存在，使得, 0)0( f0(A) f(x)在（0，内单调增加. （B）f(x)在内单调减少.)0 ,(C) 对任意的有 f(x)f(0) . (D) 对任意的
7、有 f(x)f(0) . ), 0(x)0 ,(x C 【分析分析】 函数 f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A), (B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可。 【详解详解】 由导数的定义，知，0)0()(lim)0( 0 xfxff x根据保号性，知存在，当时，有0), 0()0 ,(Ux跨校考研全程辅导专家0)0()( xfxf即当时，f(x)f(0). 故应选(C).)0 ,(x), 0(x（9）设为正项级数，下列结论中正确的是1nna(A) 若=0，则级数收敛.nnna lim1nna（B） 若存在非零常数，使得，则级数发散. nnnalim
8、1nna(C) 若级数收敛，则. 1nna0lim2 nnan(D)若级数发散, 则存在非零常数，使得. B 1nna nnnalim【分析分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到 正确选项.【详解详解】 取，则=0，但发散，排除(A)，(D)；nnanln1nnna lim11ln1nnnnna又取，则级数收敛，但，排除(C), 故应选(B).nnan11nna nnan2lim（10）设 f(x)为连续函数，则等于ttydxxfdytF 1)()()2(F(A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. B 【分析分析】 先求导，再
9、代入 t=2 求即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得)2(F被积函数中不含有变量 t. 【详解详解】 交换积分次序，得=ttydxxfdytF 1)()( txtdxxxfdxdyxf 111) 1)()(于是，从而有 ，故应选(B).) 1)()(ttftF)2()2(fF（11）设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C, 则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为跨校考研全程辅导专家(A) . (B) . (C) . (D) . 101001010100101010110001010100001110 D 【分析分析】 本
10、题考查初等矩阵的的概念与性质，对 A 作两次初等列变换，相当于右乘 两个相应的初等矩阵，而 Q 即为此两个初等矩阵的乘积。 【详解详解】由题设，有， ，BA 100001010 CB 100110001于是， . 100001110100110001100001010 CAA 可见，应选(D).（12）设 A,B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (A)A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (B)A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. (C)A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. A 【分析分
11、析】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从 A,B 是否行（或列）满秩或 Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论. 【详解详解 1】 设 A 为矩阵，B 为矩阵，则由 AB=O 知，nmsn. nBrAr)()(又 A,B 为非零矩阵，必有 r(A)0,r(B)0. 可见 r(A)e 时， 所以单调减少，从而，即, 0)( t)(t)()(2e，2222lnln eee跨校考研全程辅导专家故 .)(4lnln222abeab【证法证法 2】 设，则xexx224ln)(，24ln2)(exxx,2ln12)(xxx 所以当 xe 时， 故单调减少，从而当时，, 0)( x)(x2exe，
12、044)()(222eeex即当时，单调增加.2exe)(x因此当时，2exe)()(ab即 ，aeabeb22 224ln4ln故 .)(4lnln222abeab（16） （本题满分（本题满分 11 分）分） 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞， 以增大阻力，使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 问从着陆点算起，飞).100 . 66k机滑行的最长距离是多少？ 注注 kg 表示千克，km/h 表示千米/小时. 【分析分析】
13、本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可。【详解详解 1】 由题设，飞机的质量 m=9000kg，着陆时的水平速度. 从hkmv/7000飞机接触跑道开始记时，设 t 时刻飞机的滑行距离为 x(t)，速度为 v(t). 根据牛顿第二定律，得.kvdtdvm又 ，dxdvvdtdx dxdv dtdv由以上两式得，dvkmdx积分得 由于，故得，从而.)(Cvkmtx0)0(,)0(0xvv0vkmC 跨校考研全程辅导专家).()(0tvvkmtx当时， 0)(tv).(05. 1100 . 67009000)(60kmkmvtx所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km.【详解详解 2】 根据牛顿第二定律，得 ,kvdtdvm所以 .dtmk vdv两端积分得通解，代入初始条件解得，tmk Cev00vv t 0vC 故 .)(0tmk evtv飞机滑行的最长距离为).(05. 1)(0000kmkmvekmvdttvxtmk 或由，知，故最长距离为当tmk evdtdx0) 1()(000tmkttmk emkvdtevtx时
