《2015新课标高中数学--数列专题突破-老师版---一轮二轮》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015新课标高中数学--数列专题突破-老师版---一轮二轮（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2015 高中数学数列专题突破龙冬数列数列 数列的概念和表示法数列的概念和表示法 （1）数列定义）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项 记作，在数列第一个位置的项叫第 1 项（或首项） ，在第二个位置的叫第 2 项，na，序号为的项叫第项（也叫通项）记作；nnna数列的一般形式：，简记作。1a2a3ana na（2）通项公式的定义）通项公式的定义：如果数列的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那na么这个公式就叫这个数列的通项公式说明：表示数列，表示数列中的第项，= 表示数列的通项公式； nananna f n同一个数列的通项公式的形式不一定唯一
2、。 不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414， （3）数列的函数特征与图象表示）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数N当自变量从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值，( )f nn(1),(2),(3),fff，通常用来代替，其图象是一群孤立的点( )f nna f n（4）数列分类：数列分类： 按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列； 按数列项与项之间的大小关系分：单调数
3、列（递增数列、递减数列） 、常数列和摆动数列（5）递推公式定义递推公式定义：如果已知数列的第 1 项（或前几项） ，且任一项与它的前一项（或前几项） nana1na 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式通项公式通项公式a an n与求和公式与求和公式S Sn n的关系可表示为：的关系可表示为：11(1)(n2)n nnS naSS等差数列与等比数列等差数列与等比数列 等差数列等差数列等比数列等比数列 文文 字字 定定 义义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与 它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列它的前一项的差是同一个
4、常数，那么这个数列 就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项一般地，如果一个数列从第二项起，每一项 与它的前一项的比是同一个常数，那么这个与它的前一项的比是同一个常数，那么这个 数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的 公比。公比。 符符 号号 定定 义义1nnaad1(0)nnaq qa分分 类类递增数列：递增数列：0d 递减数列：递减数列：0d 常数数列：常数数列：0d 递增数列：递增数列：11010 01aqaq，或，递减数列：递减数列：11010 01aqaq，或，摆动数列
5、：摆动数列：0q 常数数列：常数数列：1q 2015 高中数学数列专题突破龙冬通通 项项1(1)()nmaandpnqanm d其中其中1,pd qad（1 1nn m nmaa qa q0q ）前前 n n 项项 和和21 1()(1) 22n nn aan ndSnapnqn其中其中1,22ddpqa11(1)(1)1 (1)nnaqqSqnaq 中中 项项, ,2a b cbac成等差的充要条件:2, ,a b cbac成等比的必要不充分条件：主主 要要 性性 质质等和性：等差数列等和性：等差数列 na若若则则mnpqmnpqaaaa推论：若推论：若则则2mnp2mnpaaa2n kn
6、knaaa12132nnnaaaaaa即：首尾颠倒相加，则和相等即：首尾颠倒相加，则和相等等积性：等比数列等积性：等比数列 na若若则则mnpqmnpqaaaa推论：若推论：若则则2mnp2()mnpaaa2()n kn knaaa12132nnna aaaaa即：首尾颠倒相乘，则积相等即：首尾颠倒相乘，则积相等其其它它性性1 1、等差数列中连续、等差数列中连续项的和，组成的新数列项的和，组成的新数列m 是等差数列。即：是等差数列。即：等差，公差为等差，公差为232,mmmmmsssss则有则有2m d323()mmmsss2 2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列、从等差数列中抽取等距离的
7、项组成的数列 是一个等差数列。是一个等差数列。 如：如：（下标成等差数列）（下标成等差数列）14710,a a a a3 3、等差，则等差，则， ,nnab 2na21na，也等差。也等差。nkabnnpaqb4 4、等差数列、等差数列的通项公式是的通项公式是的一次函数，的一次函数， nan即：即：( () )nadnc0d等差数列等差数列的前的前项和公式是一个没有常项和公式是一个没有常 nan数项的数项的的二次函数，的二次函数，n 即：即：( () )2 nSAnBn0d5 5、项数为奇数、项数为奇数的等差数列有：的等差数列有：21n1sn sn奇偶nssaa奇偶中21(21)nnsna项数
8、为偶数项数为偶数的等差数列有：的等差数列有：2n，1nnsa sa奇偶ssnd偶奇21()nnnsn aa6 6、则则,nmam an0m na则则nmss0()m nsnm1 1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是、等比数列中连续项的和，组成的新数列是 等比数列。即：等比数列。即：等等232,mmmmmsssss比，公比为比，公比为。mq2 2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数、从等比数列中抽取等距离的项组成的数 列是一个等比数列。列是一个等比数列。 如：如：（下标成等差数列）（下标成等差数列）14710,a a a a3 3、等比，则等比，则， ,nnab 2na21na nka也等比
9、。其中也等比。其中0k 4 4、等比数列的通项公式类似于、等比数列的通项公式类似于的指数函数，的指数函数，n即：即：，其中，其中n nacq1acq等比数列的前等比数列的前项和公式是一个平移加振项和公式是一个平移加振n 幅的幅的的指数函数，即：的指数函数，即：n(1)n nscqc q5 5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数、等比数列中连续相同项数的积组成的新数 列是等比数列。列是等比数列。2015 高中数学数列专题突破龙冬质质则则,nmsm sn()m nsmn 证证 明明 方方 法法证明一个数列为等差数列的方法：证明一个数列为等差数列的方法： 1 1、定义法：、定义法：1()nnaad
10、常数2 2、中项法：、中项法：112(2)nnnaaa n证明一个数列为等比数列的方法：证明一个数列为等比数列的方法：1 1、定义法：、定义法：1()nnaqa常数2 2、中项法：、中项法：11(2,0)nnnnaaana2（）设设 元元 技技 巧巧三数等差：三数等差：, ,ad a ad四数等差：四数等差：3 ,3ad ad ad ad三数等比：三数等比：2, ,aa aqa aq aqq或四数等比：四数等比：23,a aq aqaq联联 系系1 1、若数列、若数列是等差数列，则数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为是等比数列，公比为，其中，其中是常数，是常数，是是 na naCdCCd的
11、公差。的公差。 na2 2、若数列、若数列是等比数列，且是等比数列，且，则数列，则数列是等差数列，公差为是等差数列，公差为，其中，其中 na0na loganalogaq是常数且是常数且，是是的公比。的公比。a0,1aaq na数列的项数列的项与前与前项和项和的关系：的关系：nannS11(1)(2)n nnsnassn 数列求和的常用方法：数列求和的常用方法： 1 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2 2、错项相减法：适用于差比数列（如果、错项相减法：适用于差比数列（如果等差，等差
12、，等比，那么等比，那么叫做差比叫做差比 na nbnna b数列）数列）即把每一项都乘以即把每一项都乘以的公比的公比，向后错一项，再对应同次项相减，向后错一项，再对应同次项相减， nbq转化为等比数列求和。转化为等比数列求和。 3 3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求 和。和。适用于数列适用于数列和和（其中（其中等差）等差）11nnaa11nnaa na可裂项为：可裂项为：，111111()nnnnaad aa1 111()nn nnaadaa 等差数列前等差数列前项和的最值问题：项和
13、的最值问题：n1 1、若等差数列、若等差数列的首项的首项，公差，公差，则前，则前项和项和有最大值。有最大值。 na10a 0d nnS（）若已知通项）若已知通项，则，则最大最大；nanS100nnaa （）若已知）若已知，则当，则当取最靠近取最靠近的非零自然数时的非零自然数时最大；最大；2 nSpnqnn2q pnS2 2、若等差数列、若等差数列的首项的首项，公差，公差，则前，则前项和项和有最小值有最小值 na10a 0d nnS（）若已知通项）若已知通项，则，则最小最小；nanS100nnaa （）若已知）若已知，则当，则当取最靠近取最靠近的非零自然数时的非零自然数时最小；最小；2 nSpn
14、qnn2q pnS2015 高中数学数列专题突破龙冬数列通项的求法：数列通项的求法： 公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知（即）求，用作差法：。nS12( )naaaf nLna11,(1) ,(2)nnnSnaSSn已知求，用作商法：。12( )na aaf ng g L gna(1),(1) ( ),(2)(1)nfn f nanf n已知条件中既有还有，有时先求，再求；有时也可直接求。nSnanSnana若求用累加法：1( )nnaaf nna11221()()()nnnnnaaaaaaaL。1a(2)n 已知求，用累乘法：。1( )nnaf nana12 1 121nn n nnaaaaaaaaL(2)n 已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列） 。na特别地， （1）形如、（为常数）的递推数列都1nnakab1n nnakab, k b可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求；形如的kna1n nnakak递推数列都可以除以得到一个等差数列后，再求。nkna（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。11n n naakab（3）形如的递推数列都可以用对数法求通项。1k nnaa（7）数学归纳法。（8）当遇到时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形qaadaann nn 11 11或式。 数列求和的
