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1、1 1、已知椭圆、已知椭圆过定点过定点，以其四个顶点为顶点的四边形的面，以其四个顶点为顶点的四边形的面 积等于以其两积等于以其两22221(0)xyabab3(1, )2个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积的个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积的 2 2 倍倍. .求此椭圆的方程；求此椭圆的方程；若直线若直线与椭圆交与椭圆交于，两点，轴上一点，使得10xy ABx( ,0)P m为为锐角，求实数锐角，求实数的取值范围的取值范围. .APBm解：以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积，112222Sabab以两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积.212222Scbcb，即. 可设椭圆方程为_
2、-，代入点可得. 所求椭圆方12222Saba Sbcc2ac3(1, )221c 程为_ . 由为锐角，得，设，则，APB0PA PBuu u r uu u r11( ,)A x y22(,)B xy11(,)PAxm yuu u r，22(,)PBxm yuu u r2 1212121212()()()0PA PBxm xmy yx xm xxmy yuu u r uu u r联立椭圆方程与直线方程消去并整理得_.22 143xy10xy y所以，进而求得_，128 7x x 128 7xx 所以，22 121212889()()0777x xm xxmy ymm 即_，解之得的取值范围.
3、m43 1543 15(,)(,)77 U2.2. 如图，椭圆如图，椭圆 ( (ab0ab0) )的上、下顶点分别为的上、下顶点分别为A A、B B，已知点，已知点B B在直线在直线l l：y y= =1 1 上，且椭圆上，且椭圆22221xy ab+=的离心率的离心率e e = =()()求椭圆的标准方程；求椭圆的标准方程；()()设设P P是椭圆上异于是椭圆上异于A A、B B的任意一点，的任意一点，PQPQyy 轴，轴，Q Q3 2为垂足，为垂足，M M为线段为线段PQPQ中点，直线中点，直线AMAM交直线交直线l l于点于点C C，N N为线段为线段BCBC的中点，求证：的中点，求证：
4、OMOMMNMN证明：设，则，且_为线段中点， 又00,P xy00x 0(0,)QyMPQ0 0,2xMy，0,1A3.3.已知椭圆已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在的中心在坐标原点，焦点在轴上，且经过轴上，且经过、两点两点.(1).(1)求椭圆求椭圆的方的方Ex)0 , 2(A)23, 1 (BE程；程；(2)(2)若椭圆若椭圆的左、右焦点分别是的左、右焦点分别是、，过点过点的直线的直线 ：与椭圆与椭圆交于交于、EFHHl1 myxEM两点，则两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个在最大值及直线的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个在最大值及直线 的方程；若的方程；若
5、NFMNl不存在，请说明理由不存在，请说明理由. .(2)设、，不妨设，),(11yxM),(22yxN0, 021yy如图，设的内切圆的半径为，则FMNR_|)|(|)|(|21|)|(|21RNHNFMHMFRNFMFMNSFMN当最大时，也最大，的内切圆的面积_，FMNSRFMN又，|21|21 21yFHyFHSFMN22| cFH_FMNS由得_， 134122yxmyx则恒成立，0)43(94)6(22mm436221mmyy439221myyy1-y2=_，4311222mmSFMN设，则，且，=_，tm121t12 tm4311222mmSFMN设，_1312)(2tttf的最
6、大值是，即的最大值是，的内切圆的面积最大值，FMNS334R43RR43FMN1694.4.已知椭圆的离心率已知椭圆的离心率2 2e ，左、右焦点分别为，左、右焦点分别为12,F F，定点，定点 P P2, 3，点，点2F在线段在线段1PF的中垂线的中垂线上上 （1 1）求椭圆）求椭圆 C C 的方程；的方程； （2 2）设直线）设直线: l ykxm与椭圆与椭圆 C C 交于交于 M M、N N 两点，直两点，直线线22,F M F N的倾斜角分别为的倾斜角分别为, 且，求证：直线，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标过定点，并求该定点的坐标解:由椭圆 C 的离心率_得_，其中22bac，椭
7、圆 C 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21cFcF 又点2F在线段1PF的中垂线上221PFFF，222)2()3()2(cc解得c1，a22，b21，椭圆的方程为 _由题意，知直线 MN 存在斜率，设其方程为 ykxm 由_消去 y，得（221k ）2x4kmx222m 0设 M（11,x y），N（22,xy），则，x1+x2=_,x1x2=_且，KFM=_,KFN=_ 由已知 ，得 kFM+KFN=_，即0112211 xmkx xmkx化简，得12122()()20kx xmkxxm222224()2202121mkm mkkmkkg。整理得 m_k直线 MN 的方程为 yk（x
8、2）因此直线 MN 过定点，该定点的坐标为_）5.5.已知中心在原点已知中心在原点O O，焦点在，焦点在x x轴上，离心率为轴上，离心率为32的椭圆过点的椭圆过点( (2，22) )（）求椭圆的方程；（）求椭圆的方程；（）设不过原点）设不过原点O O的直线的直线l l与该椭圆交于与该椭圆交于P P，Q Q两点，满足直线两点，满足直线OPOP，PQPQ，OQOQ的斜率依次成等比数列，求的斜率依次成等比数列，求OPQOPQ面积的取值范围面积的取值范围（）由题意可知，直线l的斜率存在且不为 0，故可设直线l的方程为 ykxm (m0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由22,440,ykxmxy
9、消去y得_则64 k2b216(14k2b2)(b21)_0，且122814kmxxk，21 224(1)14mx xk故 y1 y2(kx1m)(kx2m)_因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以，1212yyxx22 1 2121 2()k x xkm xxmx xk2，即_0，又m0，所以 k21 4，即 k12由于直线OP，OQ的斜率存在，且0，得 0m22 且 m21设d为点O到直线l的距离，则 SOPQ12d | PQ |12| x1x2 | | m |22(2)mm，所以 SOPQ的取值范围为 (0，1) 6.6.已知椭圆已知椭圆的离心率为的离心率为，椭圆上的点到右焦
10、点，椭圆上的点到右焦点 F F 的最近距离为的最近距离为 2 2，若椭圆，若椭圆2222:1(0)xyCabab1 3C C 与与 x x 轴交于轴交于 A A、B B 两点，两点，M M 是椭圆是椭圆 C C 上异上异于于 A A、B B 的任意一点，直线的任意一点，直线 MAMA 交直线交直线于于 G G 点直线点直线 MBMB:9l x 交直线交直线 于于 H H 点。（点。（1 1）求椭圆求椭圆 C C 的方程；（的方程；（2 2）试探求以）试探求以 GHGH 为直径的圆是否恒经过为直径的圆是否恒经过 x x 轴上的定点？若轴上的定点？若l经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由。经
11、过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由。（）记直线、的斜率分别为、，设的坐标分别为,MAMB1k2k, ,M A B00(,)M xy)0 , 3(A，.在椭圆上，所以_y0=_，)0 , 3(B,300 1xyk0 2 0,3ykx2 0 122 09yk kxPQ1k2k ，98设，则，.), 9(1yG), 9(2yH121 1ykkAM62 2ykkMB，又.因为的中点为，7221 21yykk1k2k 9812 12864729y yy y GH)2, 9(21yyQ,所以，以为直径的圆的方程为：.12GHyyGH4)()2()9(2 212212yyyyyx令， 得，将两点代入检
12、验恒成立.0y64)9(212yyx17, 1xx)0 , 1 (),0 ,17(所以，以为直径的圆恒 过轴上的定点GHx(17,0),(1,0).7.7.设椭圆设椭圆)0( 1:2222 baby axC的离心率的离心率21e，右焦点到直线，右焦点到直线1by ax的距离的距离,721d为坐标原点。（为坐标原点。（I I）求椭圆）求椭圆的方程；（的方程；（IIII）过点）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆作两条互相垂直的射线，与椭圆OCO分别交于分别交于两点，证两点，证明点明点到直线到直线的距离为定值，并求弦的距离为定值，并求弦长度的最小值长度的最小值C,A BOABAB（I）由.3,221
13、21cbcaace即得由右焦点到直线1by ax的距离为,721d得：,721|22 baabbc解得. 3, 2ba所以椭圆 C 的方程为_（II）设),(),(2211yxByxA，直线 AB 的方程为,mkxy与椭圆_联立消去 y 得_-.43124,4382221221kmxxkkmxx. 0)(, 0,21212121 mkxmkxxxyyxxOBOAQ即, 0)() 1(2 21212mxxkmxxk , 0438 43124) 1(22222 2mkmk kmk整理得) 1(12722km 所以 O 到直线 AB 的距离_OBOAABOBOAOBOA2,222Q， 当且仅当 OA=OB 时取“=”号。由,22ABOBOAABdOBOAABd得,72142dAB二、1.1.已知定点已知定点 A A（1 1，0 0）、）、B B（1 1，0 0），动点），动点 M M 满足：满足：AMuuuu r BMuuu u r等于点等于点 M M 到点到点 C C（0 0，1 1）距离平）距离平方的方的 k k 倍试求动点倍试求动点 M M 的轨迹方程
