《2013高考数学复习专题------直线与圆锥曲线问题的处理方法(1)(基础知识)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013高考数学复习专题------直线与圆锥曲线问题的处理方法(1)(基础知识)（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2012 高考高考数学复习专题-直线与圆锥曲线问题的处理方法直线与圆锥曲线问题的处理方法(1)（基础知识）（基础知识） 高考要求高考要求头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位 置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分 类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、 计算能力较高，起到了拉开考生“档次” ，有利于选拔的功能 重难点归纳重难点归纳头 头头 头 头头 头 头 头头
2、 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组 成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想 方法 2 当直线与圆锥曲线相交时头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的 斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与
3、量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍 典型题例示范讲解典型题例示范讲解头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头例例 1 如图所示，抛物线 y2=4x 的顶点为 O，点 A 的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O 或点 A)且4交抛物线于 M、N 两点， 求AMN 面积最大时直线 l 的方程，并求AMN 的最大面积 命题意图头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长
4、的问题 本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法 “韦达定理法” 知识依托头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想 错解分析头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 将直线方程代入抛物线方程后，没有确定 m 的取值范围 不等式法求最值忽略了适用的条件 技巧与方法头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头
5、涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算 解法一头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 由题意，可设 l 的方程为 y=x+m,其中5m0 由方程组,消去 y,得 x2+(2m4)x+m2=0 xymxy42直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N， 方程的判别式=(2m4)24m2=16(1m)0, 解得 m1,又5m0,m 的范围为(5，0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4 )1 (2m点 A
6、 到直线 l 的距离为 d= 25mS=2(5+m),从而 S2=4(1m)(5+m)2m1BNMAoyx=2(22m)(5+m)(5+m)2()3=128 35522mmmS8,当且仅当 22m=5+m,即 m=1 时取等号 2故直线 l 的方程为 y=x1，AMN 的最大面积为 8 2解法二头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 由题意，可设 l 与 x 轴相交于 B（m,0）, l 的方程为 x = y +m,其中 0m5 由方程组,消去 x,得 y 24 y 4m=0 24xymyx 直线 l 与抛物线有两个
7、不同交点 M、N， 方程的判别式=(4)2+16m=16(1+m)0 必成立, 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 y 1+ y 2=4，y 1y 2=4m,S=2 12121211(5)|(5) ()422myymyyy y4=451()22m(1)m5151()()(1)2222mmm35151()()(1)222248 23mmm S8,当且仅当即 m=1 时取等号 251()(1)22mm故直线 l 的方程为 y=x1，AMN 的最大面积为 8 2例例 2 已知双曲线 C头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头
8、头 头 2x2y2=2 与点 P(1，2)(1)求过 P(1，2)点的直线 l 的斜率取值范围，使 l 与 C 分别有一个交点，两个交点，没 有交点 (2)若 Q(1，1)，试判断以 Q 为中点的弦是否存在 命题意图头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归 结为方程组解的问题 第二问考查处理直线与圆锥曲线问题 的第二种方法“点差法” 知识依托头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 二次方程根的个数的判定
9、、两点连线的斜率 公式、中点坐标公式 错解分析头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次 项系数的讨论 第二问，算得以 Q 为中点弦的斜率为2，就 认为所求直线存在了 技巧与方法头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化 解头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头
10、头 头 头 头 头头 头 (1)当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程为 x=1,与曲线 C 有一个交点 当 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y2=k(x1),代入 C 的方程，并整理得-1121QPoyx(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 (*)()当 2k2=0,即 k=时，方程(*)有一个根，l 与 C 有一个交点2()当 2k20,即 k时2=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)当=0,即 32k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l 与 C 有一个交点 23当0,即 k,又 k,故当 k或k或k时，232222223方程(*)有两不等实根
11、，l 与 C 有两个交点 当0，即 k时，方程(*)无解，l 与 C 无交点 23综上知头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 当 k=,或 k=，或 k 不存在时，l 与 C 只有一个交点；223当k,或k,或 k时，l 与 C 有两个交点；223222当 k时，l 与 C 没有交点 23(2)假设以 Q 为中点的弦存在，设为 AB，且 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 2x12y12=2,2x22y22=2 两式相减得头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 2(x 1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2) 又x1+x2=2,y1+y2=22(x1x2)=y1y1即 kAB=22121 xxyy 但渐近线斜率为,结合图形知直线 AB 与 C 无交点，所以假设
