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1、第 - 1 - 页 共 26 页2010 高考复习数学亮点试题高考复习数学亮点试题函数函数函数是中学数学的核心内容。在整个中学数学课程中充当着联系各部分代数知识的“纽带”，同时也为解析几何学习中所需的数、形结合思想奠定了基础。函数是高中数学的主线，是每年高考必考查的重点内容之一，函数与方程、函数与数列、函数与不等式的相互渗透和交叉一直是高考的热点，近年来抽象函数问题、函数与向量结合、函数与概率统计结合、探索创新性问题又成为新的视点，可以说是常考常新。随着新教材课程改革的不断向前发展，高考函数命题已从理论和实践上发生了深刻的变化，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多新的解题途径，拓宽了高考对函
2、数问题的命题空间。下面结合 2009 年全国各省的高考试题，探讨高考函数问题命题新的趋势，供复习时参考。1 对函数定义的深化理解与函数图象的灵活运用的问题对函数定义的深化理解与函数图象的灵活运用的问题1.(2009 年高考数学陕西卷)定义在 R 上的偶函数( )f x满足：对任意的1212,(,0()x xxx ，有2121()( ()()0xxf xf x.则当*nN时,有 (A)()(1)(1)fnf nf n (B) (1)()(1)f nfnf n (C) (1)()(1)f nfnf n (D) (1)(1)()f nf nfn 【答案：】C121221212121,(,0()()(
3、 ()()0()()( )(,0( )( )(0(1)( )(1)(1)()(1)x xxxxxf xf xxxf xf xf xf xf xf nf nf nf nfnf n 解析：时，在为增函数为偶函数在，为减函数而n+1nn-10,2. (2009 年高考数学山东卷)函数xxxxeeyee的图象大致为( ).第 - 2 - 页 共 26 页1x y 1O A xyO11B xyO1 1 C xy1 1 D O【解析】:函数有意义,需使0xxee,其定义域为0|xx,排除 C,D,又因为22212111xxxxxxxeeeyeeee ,所以当0x 时函数为减函数,故选 A. 答案:A.【命
4、题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.3.（2009 年高考数学江西卷）如图所示，一质点( , )P x y在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x轴上的投影点( ,0)Q x的运动速度( )VV t的图象大致为A B C yxO( , )P x y( ,0)Q xO( )V ttO( )V tt O( )V ttO( )V tt第 - 3 - 页 共 26 页D答案：B【解析】由图可知，当质点( , )P x y在两个封闭曲线上运动时，投影点( ,0)Q x的速度先由正到
5、 0、到负数，再到 0，到正，故A错误；质点( , )P x y在终点的速度是由大到小接近 0，故D错误；质点( , )P x y在开始时沿直线运动，故投影点( ,0)Q x的速度为常数，因此C是错误的，故选B.4.（2009 年高考数学江西卷）设函数2( )(0)f xaxbxc a的定义域为D，若所有点( ,( )( ,)s f ts tD构成一个正方形区域，则a的值为A2 B4 C8 D不能确定 答案：B【解析】12max|( )xxfx，22244 4bacacb aa，| 2aa，4a ，选 B5.(2009 年高考数学山东卷)若函数 f(x)=ax-x-a(a0 且 a1)有两个零
6、点，则实数 a 的取值范围是 .【解析】: 设函数(0,xyaa且1a 和函数yxa,则函数 f(x)=ax-x-a(a0 且 a1)有两个零点, 就是函数(0,xyaa且1a 与函数yxa有两个交点,由图象可知当10 a时两函数只有一个交点,不符合,当1a时,因为函数(1)xyaa的图象过点(0,1),而直线yxa所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是1a答案: 1a 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.2 函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应
7、用问题函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用问题第 - 4 - 页 共 26 页新课标高考中,求函数的值域（或最值）及活用奇偶性、单调性、周期性及对称性成为热点问题，重点考查二次函数、指数函数、对数函数、分段函数及抽象函数的有关性质，并且利用函数性质灵活解题.函数的单调性常用来判断、证明、比较大小，求单调区间及有关参数的范围，奇偶性则经常扩展到图象的对称性，且与单调性和周期性联系在一起，解决较复杂的问题.尤其值得注意的是，凡涉及到函数、方程和不等式的问题，必须首先考虑定义域，这也是学生解决问题时容易忽略的地方. 6.(2009 年高考数学山东卷)已知定义在 R 上的奇函数)(xf，满足
8、(4)( )f xf x ,且在区间0,2上是增函数,若方程 f(x)=m(m0)在区间8 , 8上有四个不同的根1234,x xx x,则1234_.xxxx 【解析】:因为定义在 R 上的奇函数，满足(4)( )f xf x ,所以(4)()f xfx,所以, 由)(xf为奇函数,所以函数图象关于直线2x 对称且(0)0f,由(4)( )f xf x 知(8)( )f xf x,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为)(xf在区间0,2上是增函数,所以)(xf在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程 f(x)=m(m0)在区间8 , 8上有四个不同的根1234,x xx x,不妨
9、设1234xxxx由对称性知1212xx 344xx所以12341248xxxx 答案:-8【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题, 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 第 - 5 - 页 共 26 页7.(2009 年高考数学山东卷)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 0),2() 1(0),1 (log2xxfxfxx，则 f（2009）的值为( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2【解析】:由已知得2( 1)log 21f ,(0)0f
10、,(1)(0)( 1)1fff ,(2)(1)(0)1fff ,(3)(2)(1)1 ( 1)0fff ,(4)(3)(2)0( 1)1fff ,(5)(4)(3)1fff,(6)(5)(4)0fff,所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f（2009）= f（5）=1,故选 C.答案:C.【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.8.(2009 年高考数学山东卷)已知定义在 R 上的奇函数)(xf，满足(4)( )f xf x ,且在区间0,2上是增函数,则( ). A.( 25)(11)(80)fff B. (80)(11)( 25)fffC. (11)
11、(80)( 25)fff D. ( 25)(80)(11)fff【解析】:因为)(xf满足(4)( )f xf x ,所以(8)( )f xf x,所以函数是以 8 为周期的周期函数, 则) 1()25(ff,)0()80(ff,)3()11(ff,又因为)(xf在 R 上是奇函数， (0)0f,得0)0()80( ff,) 1 () 1()25(fff,而由(4)( )f xf x 得) 1 ()41 ()3()3()11(fffff,又因为)(xf在区间0,2上是增函数,所以0)0() 1 ( ff,所以0) 1 ( f,即( 25)(80)(11)fff,故选D. 答案:D.【命题立意】
12、:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思第 - 6 - 页 共 26 页想和数形结合的思想解答问题. 3 以分段函数为主线的问题以分段函数为主线的问题9.（2009 天津卷文）设函数 0, 60, 64)(2xxxxxxf则不等式) 1 ()(fxf的解集是（ ）A ), 3() 1 , 3( B ), 2() 1 , 3( C ), 3() 1 , 1( D )3 , 1 ()3,(【答案】A【解析】由已知，函数先增后减再增当0x，2)(xf3) 1 (f令, 3)(xf解得3, 1xx。当0x，3, 36xx故3) 1 ()( fxf ，解得313xx或【考点定
13、位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。10.（2009 年高考数学上海卷）有时可用函数0.1 15ln,(6) ( )4.4,(6)4axaxf xxxx描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x 表示某学科知识的学习次数（*xN） ，( )f x表示对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关。（1）证明：当7x 时，掌握程度的增加量(1)( )f xf x总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121,(121,127,(121,133。当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科。证明（1）当0.47(1)( )(3)(4)xf xf xxx时，第 - 7 - 页 共 26 页而当7x 时，函数(3)(4)yxx单调递增，且(3)(4)xx0故(1)( )f xf x单调递减 当7x 时，掌握程度的增长量(1)( )f xf x总是下降（2）由题意可知 0.1+15ln6a a=0.85整理得0.05 6aea解得0.050.05620.50 6123.0,123.0(121,1271eae由此可知，该学科是乙学科
