金沙三中 陈相飞 教学设计 (2)

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1、椭圆定义及其标准方程的教学设计椭圆定义及其标准方程的教学设计(金沙县逸夫中学 陈相飞)一、教材内容分析一、教材内容分析本课选自普通高学课程标准实验教科书（选修 2-1）数学(北师大版)， 第三章 1.1 节.本节教材主要内容是使学生了解椭圆的实际背景,感受椭圆刻画 现实世界和在实际问题中的作用;使学生经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过 程,掌握椭圆的定义、标准方程的推导及步骤、标准方程中 a、b、c 的代数意义、 标准方程及其轨迹，本节对椭圆定义与轨迹的研究，和圆的定义与轨迹相呼应， 学生学习了圆的定义之后，已初步具备了探讨椭圆定义的本质这个问题的能力， 通过探究，使学生从感性认识逐步上升到理

2、性认识，形成对椭圆这一概念本质 的理解，从而进一步让学生体验 “用方程研究曲线”这一基本思想,体现了数 学的和谐之美,符合认知的渐进原则。二、学生学习情况分析二、学生学习情况分析我所任教学校，有优越的多媒体设备，学生的数学基础较好，有强烈的求知欲，具备一定的分析、观察等能力。在此之前，学生已经熟练掌握圆的定义及轨迹，二次函数的图象等内容，迫切想了解更多曲线本质特征。但是在动手操作与合作学习等方面，发展不均衡，有待加强。三、设计思路三、设计思路为了培养不仅能“学会”知识，而且能“会学”知识的人才以及根据我校提出的“创设情景、激发情感、主动发现、主动发展”的教学模式，在课堂设计上，教师应学会如何创

3、设情景，激发学生学习的兴趣；围绕教材的重难点，比如本节的“椭圆概念的形成”和“椭圆的标准方程及其推导” ，教师应学会如何设计不同的活动环节，设置由浅入深、环环相扣的问题，通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦。 四、教学目标四、教学目标 1知识与技能目标：使学生了解椭圆的实际背景,感受椭圆刻画现实世界和在 实际问题中的作用;掌握椭圆的定义、标准方程的推导及步骤、标准方程中 a、b、c 的代数意义、标准方程及其轨迹， 2.过程与方法目标：通过寻

4、求椭圆的标准方程的推导，帮助学生领会观察、分 析、归纳、数形结合等思想方法的运用；在相互交流、合作探究的学习过程中， 使学生养成合理表述、科学抽象、规范总结的思维习惯，逐步培养学生在探索 新知过程中进行推理的能力和数学知识的运用能力； 3情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习、相互交流，进一步 认识数学的理性与严谨，感受探索的乐趣与成功的喜悦，增加学生的求知欲和自信心；培养他们不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高 学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，逐步认识到数学的科学价值、 应用价值和文化价值，从而形成学习数学知识的积极态度。五、教学重点和难点五、教学重点和难点教

5、学重点: 椭圆的定义及其标准方程的推导。通过学生自主建立直角坐标系和对方程的讨论选择突出重点.教学难点：椭圆概念的形成。通过椭圆的画法设计，标准方程与圆的比较突破难点。六、教学过程设计六、教学过程设计中国自己的登月宇宙飞船 中国人登上了月球太阳系行星的运动图p3 生活中的玻璃餐桌 椭圆是由圆压扁得到的吗?一一设置情景，导入新课设置情景，导入新课（借助多媒体）先给出一张“嫦娥二号”的图片 师：中国自主研究的载人航天宇宙飞船是我们中国人的骄傲，同学们你们通过 努力学习,一定可以为中国创造更多的骄傲,对吗? 生：对！ 生：当然可以！ 生：为祖国的富强而努力！ 师：对！大家都很有信心,我相信你们有一天

6、可以做到的,今天我们就着手研究 飞船运行的轨道-椭圆.( 给出另外三张图片,让学生简要讨论图片内容.)【 【学情学情预设预设】 】学生被教师设置的情景所吸引，学习的热情高涨。【 【设计设计意意图图】 】一个引人入胜的开头会拓宽学生思路，尊重学生的生命活动，激发兴趣，陶冶情操，大大提高教学效率。二引导探究，获得新知二引导探究，获得新知师：在高一我们已经学过圆的定义和方程及圆的轨迹，那么，我们看到第四张图片,椭圆是不是由圆压扁得到的呢?它和圆有没有关系吗?生：不是！生：是！师：它和圆有没有关系吗?生：有关系.生：没有关系.师：为了解决这两个问题,先给出一种画椭圆的方法: 取一条一定长的细绳，把 它

7、的两端固定在画图板上的 F1 和 F2 两点(如下图)，当绳长大于 F1 和 F2 的距 离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭 圆我们来看一看椭圆和圆的画法。(找 2 个学生上讲台按这个方法画出一个椭 圆,之后用几何画板演示画圆的过程和画椭圆的过程)yoFFMx【 【学情学情预设预设】 】学生认真观察图象的变化.【 【设计设计意意图图】 】不仅回顾了圆的相关内容，体验了椭圆的画法,而且为归纳出 椭圆的定义打下基础.师：这椭圆是怎么画出来的啊！（课堂顿时一片寂静） 师：从画法中找出要满足什么样的条件才可以画出一个椭圆呢?(可以提问,也可 以集体回答.)生：F1、F2

8、点固定，是定点。师：对！还有什么条件吗？生：MF1+MF2就是细绳的长度。师：太对了，而细绳的长度是固定的，也就是说 MF1+MF2 是个定长。同学们归 纳的很正确，那么这里面有没有隐含着什么呢？生：师：我们来看, F1、F2、M 三个点是构成一个三角形的 (有学生说出应满足 的结论)生：MF1+MF2大于 F1F2的长度.师：回答得很好！你们根据这些应满足的条件归纳出椭圆的定义来.( 引导学生 概括椭圆的定义)生：平面内到两定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 椭圆师：对,椭圆的定义就是: 平面内到两定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于 |F1F2|)

9、的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做 焦距.下面我们来看看, MF1+MF2小于等于 F1F2的长度时,M 点的轨迹是什么情况 呢?(学生思考)生：若常数=|F1F2|，则是线段 F1F2；生：应该有两种情况: 若常数=|F1F2|，则是线段 F1F2；若常数|F1F2|，则 轨迹不存在；师：也就是说: 若常数=|F1F2|，则是线段 F1F2；若常数|F1F2|，则轨迹不存 在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”(强调 MF1+MF2是定长但是大于|F1F2|)【 【学情学情预设预设】 】学生间合作交流，完成对椭圆定义的归纳。【 【设计设计

10、意意图图】 】着重培养学生分析、归纳等能力。三深入探索，推导方程三深入探索，推导方程师：接下来你们试试推导椭圆的方程？（简单回顾求圆方程的方法和步骤:(1) 建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点 M 的坐标;（2）写出适合条件 P（M） ;（3）用坐标表示条件 P（M），列出方程 ; （4）化方程为最简形式;师：第一步，该如何建立坐标系呢？(学生会说出不同的方案，选取下列方案)生：以两定点 F1、F2的直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴，建立直角 坐标系。(老师在黑板上画出适当的图(如下图) （方案一） （方案二）师：这样建系很合理。建立坐标系后 F1、

11、F2的坐标分别是, 原12(,0),( ,0)FcF c则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直 的线段所在的直线作为坐标轴.)oFyx2FMyoFFMx生：|MF1|+|MF2|=a师：为了后面化简方便，我们这里把定长定为 2a.下面列出方程.生：,得方程:Q22 2()MFxcy22 1()MFxcy2222()()2xcyxcya师：最后化简方程, 化方程为最简形式;(一段时间后，投影仪展示化简的过程:原方程要移项平方、整理得 222()acxxcy上式两边平方、整理得，.22222222()()acxa yaca因为，所以可化为： ac222221xy a

12、ac为使方程对称和谐而引入 b，同时 b 还有几何意义，下节课还要讲。因为，所以令，其中 b0,代入上式，得 ac222bac22221xy ab（）0ab这说明椭圆上点的坐标满足以上方程，关于证明所得的方程是椭圆方程， 可参考课本 62 页的证明，根据情况也可从略）师：因此，我们将方程（）叫作椭圆的标准方程，焦点坐标22221xy ab0ab，其中.12(,0),( ,0)FcF c222cab师：那么象方案二建立坐标系的话,椭圆的方程该怎样写呢?生:只需要将互换就可以了,应写成同样有., x y22221(0)yxabab222cab师:很好,今天我们学习了椭圆的定义以及如何推导出椭圆的标

13、准方程.下面请学生归纳焦点在y轴上椭圆的标准方程。生：焦点在y轴上椭圆的标准方程为：222210xyabba师：请同学们观察归纳两个方程的特征，从而区别焦点在不同坐标轴上的椭圆 标准方程，完成下表强调：是；0ab 是（要区别与习惯思维下的勾股定理） ；222abc222cab 注意方程“型”与曲线“形”的对应。 目的：通过对比总结，强化不同类型的方程的异同，从而深化学生对椭圆 标准方程的理解；通过讨论，学生自主学习，构建新的知识体系，不但能学习 到真正属于自己的、可灵活运用的知识，而且在此过程中掌握求知的方法；通 过讨论，利用类比的方法来深化学生对椭圆标准方程的理解。 师：下面我们来看几个例题

14、。进行例题讲解。 师：抢答题： 口答练习： 椭圆，则 , ；2222153xya b 椭圆，则 , ；2222146xya b 椭圆，则 , ；22 194xya b 再设问：以上的椭圆对应的焦距是多少？（利用研究 2c）222abc 目的：使学生迅速进入到紧张的练习氛围中去，能及时对学习的知识加深 印象。标准方程222210xyabab 222210xyabba 图形不 同 点焦点坐标120,0FcF c 、120,0,FcFc、定 义平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于 常数（大于F1F2）的点的轨迹a、b、c 的关系222abc相 同 点 焦点位置的判断分母哪个大，焦点就在哪个轴上课

15、堂探究题: 下列方程是否表示椭圆,为什么?(1);(2) ;(3) ;(4) .14422 yx04322 yx152 2yx19422 yx课后思考题：方程 Ax2+By2=C 中，A、B、C 满足什么条件，方程可以表示椭 圆？ 目的：使学生进一步熟悉椭圆的标准方程，在辨别中加深印象，加强对知 识的理解。 典型例题研究： 例 1：已知,，求焦点分别在 x、y 轴上的椭圆的标准方程。4a 3b （焦点在 x 轴：椭圆方程；焦点在焦点在 y 轴：椭圆方程191622 yx）116922 yx口答：根据已知条件，求焦点分别在 x、y 轴上的椭圆的标准方程 ；6,4ab ；3,1ab ；2,5ca2, 3cb目的：检测学生的掌握情况，及时反馈，强化知识点的学习，为下节课内 容的学习打好基础；加深对所学知识的理解和运用，使学生掌握基础知识，利 于学生思维能力的培养。例 2：已知椭圆的焦点坐标是，椭圆上的任意一点到、14,0F 24,0F1F的距离之和是 10，求椭圆的标准方程。2F由学生讨论分析，解决本题，得出椭圆方程。192522 yx练习：