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1、20122012 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试( (广东卷广东卷) )数学数学( (文科文科) )本试题共 4 页，21 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 参考公式：锥体的体积公式1 3VSh ，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高.球的体积34 3VR ，其中R为球的半径。一组数据12,nx xxL的标准差222 121()()() nsxxxxxxnL ，其中x表示这组数据的平均数。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出四个选项中，只有一项 符合题目要求。1. 设i为虚数单位，则复数34i i=( )(
2、 )A43i ( )B43i ( )Ci()Di2设集合1,2,3,4,5,6,1,3,5UM；则UC M ( )( )A , , ( )B 1,3,5 ( )C , , ()DU3. 若向量(1,2),(3,4)ABBCuuu ruuu r ；则AC uuu r ( )( )A(4,6)( )B ( 4, 6)( )C (,) ()D( , ) 4. 下列函数为偶函数的是( )( )Asinyx( )B3yx( )Cxye()Dlnyx5. 已知变量, x y满足约束条件1 10 1xy x xy ，则2zxy的最小值为( )( )A3 ( )B1 ( )C5()D66. 在ABC中，若60
3、 ,45 ,3 2ABBC，则AC ( )( )A 4 3( )B 2 3( )C()D 7某几何体的三视图如图 1 所示，它的体积为( )( )A72( )B48( )C()D8. 在平面直角坐标系xOy中，直线3450xy与圆224xy相交于,A B两点，则弦 AB的长等于( )( )A 3 3( )B 2 3( )C()D9. 执行如下图所示的程序框图，若输入n的值为 6，则输出s的值为( )( )A105 ( )B16 ( )C ()D10.对任意两个非零的平面向量和，定义 gog；若两个非零的平面向量, a br r 满足，ar 与br 的夹角(,)4 2 ，且,a b b arr
4、rroo都在集合2nnZ中，则a b rro( )( )A1 2 ( )B1 ( )C ()D 二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 (一)必做题(11-13 题)11. 函数1xyx 的定义域为_。12. 等比数列na满足241 2a a ，则2 135a a a _。13. 由正整数组成的一组数据1234,x x x x，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为_。 (从小到大排列) (二)选做题(14 - 15 题，考生只能从中选做一题)14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系xOy中，曲线1C和2C的参数方程分别为
5、25cos: 5sinxC y(是参数，02 )和2212: 2 2xt Cyt (t是参数)，它们的交点坐标为_.15.(几何证明选讲选做题)如图3所示，直线PB与圆O想切于点B，D是弦AC上的点，PBADBA ，若,ADm ACn，则AB _。三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。(本小题满分 12 分)已知函数( )cos()()46xf xAxR ，且()23f 。(1)求A的值；(2)设,0,2 ，43028(4),(4)31735ff ；求cos()的值17.(本小题满分 13 分)某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方
6、图如图 4 所示，其中成 绩分组区间是： 50,6060,7070,8080,9090,100。 (1)求图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分； (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表 所示，求数学成绩在50，90)之外的人数。18.(本小题满分 13 分)如下图 5 所示，在四棱锥PABCD中，AB 平面PAD，/ /,ABCD PDAD，E是PB中点，F是DC上的点，且1 2DFAB ，PH为PAD中AD边上的高。(1)证明：PH 平面ABCD；(2)若1,2,1PHADFC，求三棱锥EB
7、CF的体积；(3)证明：EF 平面PAB19.(本小题满分 14 分)设数列 na的前n项和为nS，数列 nS的前n项和为nT，满足2*2nnTSnnN，(1)求1a的值；(2)求数列 na的通项公式。20.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆22122:1(0)xyCabab 的左焦点为1( 1 0)F ，且点(0 1)P，在1C上。(1)求1C的方程；(2)设直线l同时与椭圆1C和抛物线2 2:4Cyx相切，求直线l的方程。21.(本小题满分 14 分)设01a，集合|0AxR x，2|23(1)60BxRxa xa，DABI。(1)求集合D(用区间表示)；(2)求函
8、数32( )23(1)6f xxa xax在D内的极值点。20122012 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试( (广东卷广东卷) )数学数学( (文科文科) )参考答案参考答案一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 40 分。 12345678910 DAADCBCBCA1. 【解析】选D 依题意：234(34 )43ii iiii2 【解析】选A UC M , , 3. 【解析】选A (4,6)ACABBCuuu ruuu ruuu r4. 【解析】选D sinyx与3yx是奇函数,，xye是非奇非偶函数5. 【解析】选C 约束条件对应ABC边际及
9、内的区域：(1,0), ( 1,2),1, 2)ABC，则2 5,3zxy 6. 【解析】选B 由正弦定理得：3 22 3sinsinsin60sin45BCACACACAB7 【解析】选C 几何体是半球与圆锥叠加而成，它的体积为3222141335330233V8. 【解析】选B 圆224xy的圆心(0,0)O到直线3450xy的距离515d ，弦AB的长2222 3ABrd9. 【解析】选Cs11315 i135710. 【解析】选A 21cos0,cos0() ()cos(0, )2ab a bb aa bb a barr rrrrrrrroooorr,a b b arr rroo都在集
10、合2nnZ中得：*12 121() ()( ,)42n na bb an nNa brrrrrrooo 。二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 (一)必做题(11-13 题)9. 【解析】定义域为 1,0)(0,)U，1xyx 中的x满足：10100xxx 或0x 10. 【解析】2 135a a a 1 4，224 2431353111,224a aaa a aa11. 【解析】这组数据为1,1,3,3，不妨设1234xxxx得：231234144,84xxxxxxxx22222 12341(2)(2)(2)(2)420,1,2isxxxxx
11、如果有一个数为0或4；则其余数为2，不合题意；只能取21ix ；得：这组数据为1,1,3,3(二)选做题(14 - 15 题，考生只能从中选做一题)14.【解析】它们的交点坐标为(2,1)，22 12:5( ,0),:1Cxyx yCyx解得：交点坐标为(2,1)15.【解析】AB mn，,PBADBAACBBADCABBADCAB :得：2ABADABACADmnABmnACAB 。 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.解：(1)()2cos2234fAA 。(2)4301515(4)cos()sin31721717f ，0,2Q ，
12、8cos17 。284(4)cos355f ，0,2Q ，3sin5 ，4831513cos()coscossinsin51751785 17.解：(1)(20.020.030.04) 1010.005aa 。(2)平均分为55 0.0565 0.475 0.385 0.295 0.0573。(3)数学成绩在50,90)内的人数为145(0.0050.040.030.02) 10 10090234 人，数学成绩在50,90)外的人数为1009010人。答：(1)0.005a ；(2)这 100 名学生语文成绩的平均分为73；(3)数学成绩在50,90)外的人数为10人。18.(1)证明：AB
13、平面PAD，PH 面PADPHAB，又,PHAD ADAB、平面ABCD， ADABAPHI平面ABCD。(2)E是PB中点点E到面BCF的距离11 22hPH ，三棱锥EBCF的体积111112123326212BCFVShFCADh 。(3)取PA的中点为G，连接,DG EG。PDADDGPA，又AB 平面PAD，AB 平面PAB平面PAD 平面PAB，又平面PADI平面PABPA，DG 平面PADDG面PAB，点,E G是棱,PB PA的中点1/ /2EGAB ，又1/ / / /2DFABEGDFDGEF ，得：EF 平面PAB。19.解:(1)在2*2nnTSnnN，中，令11111121211nTSaaa 。(2)Q22 1122(1)nnnnTSnTSn，相减得：12(21)nnSSn，212(23)nnSSn，相减得：2122nnaa，12121234aSSa ，2122aa，得122nnaa，112222(2)nnnnaaaa，得：数列2na 是以123a 为首项，2为公比的等比数列，1123 23 22nn nnaa 。20.解：(1)由题意得：221,12bcabc ，故椭圆1C的方程为：2 212xy 。(2)当直线l的斜率不存在时，设直线: l xm，直线l
