巧用焦半径公式[1]－金锄头文库

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1、命题：P 是椭圆1上一点，E、F 是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，x ay b2222()ab 0则（1），（2）。|PEaexP|PFaexPP 是椭圆上一点，E、F 是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则y ax bab222210()（3）。PEaeyPFaeyPP，( )|4证明：|PF2|=(x0-c)+(y0)=x0-2cx0+c+b(1-x0/a)=(c/a)x0-2cx+a=a-(c/a)x0说明：数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（

2、定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.巧用焦半径公式能妙解许多问题，下面举例说明。一、用于求离心率例分析：所以，所以。二、用于求椭圆离心率的取值范围例分析：由得故，即，又。所以。三、用于求焦半径的取值范围例分析：所以。四、用于求两焦半径之积例分析：由知，所以的最小值为，最大值为。五、用于求三角形的面积例分析：。由余弦定理得。解得所以六、用于求点的坐标例分析：及得，解得所以。七、用于证明定值问题例分析：化简得所以为定值。八、用于求角的大小例分析：所以所以。九、用于求线段的比。例分析：由两式相减并化简得。所以。所以。令，则，故所以，所以。如图设的坐标为，椭圆与双曲线的离心率分

3、别为，则，消去得，。不妨设，由成等差数列得，即。易知易知的最值不妨设为椭圆的左焦点，而，则。故。设的坐标为，则如图，连，则，由焦半径公式得，即。若椭圆的焦点在轴上，则有。我们把椭圆上的点到两焦点的距离称为焦半径，而（或）、（或）称为焦半径公式。如图 1，椭圆的准线方程为和。由椭圆的第二定义得，化简即得 1 如图为椭圆的两个焦点，以线段为直径的圆交椭圆于四点，顺次连结这四点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则离心率。2 已知为椭圆的焦点，若椭圆上恒存在点，使，求离心率的取值范围。3 若是椭圆上的点，为椭圆的焦点，求的取值范围。4 若为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，求的最值。5 若

4、是椭圆上一点，为椭圆的左、右焦点，且，求的面积S。。6 若为椭圆上的点，为椭圆的焦点，且，则的横坐标为_。由，，7 已知为椭圆上两点，为椭圆的顶点，F为焦点，若成等差数列，求证：为定值。，8 如图 3，设椭圆与双曲线有公共焦点，为其交点，求。9 过椭圆的左焦点作与长轴不垂直的弦的垂直平分线交轴于，则。4，设的坐标分别为，AB 的中点为，则。AB 的垂直平行线方程为 N 的坐标为若椭圆的焦点为，离心率为为椭圆上任意一点，则有。例 1 已知点 P（x，y）是椭圆上任意一点，F1（-c,0）和 F2(c,0)12222 by ax是椭圆的两个焦点.求证：|PF1|=a+；|PF2|=a -.

5、xacxac【分析】可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程 “消 y”即可. 【解答】由两点间距离公式，可知|PF1|= (1)22)(ycx从椭圆方程解出12222 byax(2)(22 222xa aby代（2）于（1）并化简，得|PF1|= (-axa)xaca 同理有 |PF2|= (-axa)xaca 【说明】通过例 1，得出了椭圆的焦半径公式r1=a+ex r2=a-ex (e=)ac从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点 P（x,y）横坐标的一次函数. r1 是 x 的增函数，r2 是 x 的减函数，它们都有最大值 a+c,最小值 a-c.从焦

6、半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于 x,y 轴，关于原点）.（二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来. 椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可. 例 2 P (x,y)是平面上的一点，P 到两定点 F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和为 2a（ac0）.试用 x，y 的解析式来表示 r1=|PF1|和 r2=|PF2|. 【分析】问题是求 r1=f（x）和 r2=g（x）.

7、先可视 x 为参数列出关于 r1 和 r2 的方程组，然后从中得出 r1 和 r2. 【解答】依题意，有方程组 )()( 2222 2222 121ycxrycxrarr-得 42 22 1cxrr代于并整理得 r1-r2= xac2联立，得 xacarxacar21【说明】椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含 c 而无 b，其基础性显然. 二、焦半径公式与准线的关系用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式. 如图右，点 P（x，y）是以 F1（-c,0）为焦点，以 l1：x=-为准线的椭圆上任意一点.PDl1 于 D.按椭圆ca2的

9、11)(|【说明】此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点 F1（-c,0）（F2（c,0））与定直线 l1:x=-(l2：x=)的距离之比为定值 e（0e1）.ca2 ca2三、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线” ，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）. 其实，有了焦半径公式， “证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.例 4 设点 P（x，y）适合方程.求证：点 P（x，y）到两定点12222 byaxF1（-c,0）

10、和 F2（c，0）的距离之和为 2a（c2=a2-b2）.【分析】这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例 2 导出的焦点半径公式，很快可推出结果.【解答】 P（x，y）到 F1（-c,0）的距离设作 r1=|PF1|.由椭圆的焦点半径公式可知r1=a+ex 同理还有r2=a-ex + 得 r1+r2=2a即 |PF1|+|PF2|=2a.即 P（x，y）到两定点 F1（-c，0）和 F2（c,0）的距离之和为 2a.【说明】椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此，围绕着椭圆焦半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便.四、椭圆焦半径公式

11、的变式P 是椭圆上一点，E、F 是左、右焦点，PE 与 x 轴所成的角为x ay bab222210()，PF 与 x 轴所成的角为，c 是椭圆半焦距，则（1）；（2）|cosPEb ac2。|cosPFb ac2P 是椭圆上一点，E、F 是上、下焦点，PE 与 x 轴所成的角为y ax bab222210()，PF 与 x 轴所成的角为，c 是椭圆半焦距，则（3）；（4）|sinPEb ac2。|sinPFb ac2证明：（1）设 P 在 x 轴上的射影为 Q，当不大于 90时，在三角形 PEQ 中，有cos| |PQ PExc PEP由椭圆焦半径公式（1）得。|PEaexP消去后，化简即得

12、（1）。xP|cosPEb ac2而当大于 90时，在三角形 PEQ 中，有cos()| | PQ PEcx PEP，cos|xc PEP以下与上述相同。（2）、（3）、（4）的证明与（1）相仿，从略。五、变式的应用对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。例 5. P 是椭圆上一点，E、F 是左右焦点，过 P 作 x 轴的垂线x ay bab222210()恰好通过焦点 F，若三角形 PEF 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_。解：因为 PFEF，所以由（2）式得。|cosPFb acb a2290再由题意得| |EFPFcb aacaccacae22202 22222。21

13、0e 注意到。0121ee解得例 6. P 是椭圆上且位于 x 轴上方的一点，E，F 是左右焦点，直线 PF 的xy22100641斜率为，求三角形 PEF 的面积。4 3解：设 PF 的倾斜角为，则：。tancossin 4 31 74 3 7，因为 a10，b8，c6，由变式（2）得| ()PF 81061 772所以三角形 PEF 的面积SPF EF1 2 1 27264 3 7 24 3|sin 例 7经过椭圆的左焦点 F1 作倾斜角为 60的直线和椭圆相x ay bab222210()交于 A，B 两点，若，求椭圆的离心率。|AFBF112解：由题意及变式（2）得b acb a226

14、0260180coscos()化简得。21 2322 3acaccaec a例 8设 F 是椭圆的上焦点，共线，共线，且xy2221PFFQ与MFFN与0。求四边形 PMQN 面积的最大值和最小值。PFMF解：设 PF 倾斜角为，则由题意知 PFMF，所以 MF 倾斜角为 90，而，由题意及（3）式得abc211，| | |sinsin()sinPQPFFQ1 21 21802 2 22同理得。由题意知四边形 PMQN 面积|cosMN 2 2 22SPQ MN1 2|1 22 2 22 2 2 4 216 84 16 8232 1742222222sincossincossincossincos所以当时，；当时，cos41Smax32 1712cos41 Smin() 32 171。16 9

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巧用焦半径公式[1]

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