线性代数第三讲

1§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换矩阵的秩与矩阵的初等变换主要问题：1. 自由未知数个数的唯一性2. 相抵标准形的唯一性 3. 矩阵秩的性质4. 满秩矩阵的性质一、一、矩阵的秩矩阵的秩定理定理 矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中， 主元的个数（即非零行的数目）唯一定义定义 矩阵 A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵 中主元的个数称为矩阵矩阵 A 的的秩秩，记为 秩（A）或 )(Ar例例 求下述矩阵的秩616222853614101213213012A解解 2616222853614101213213012A823210439630112221213012121314) 1()2() 1(RRRRRR82321043963021301211222112RR82321043963043745011222112)2(RR43745043963082321011222142RR34413860020300008232101122212324 3)5( RRRR20300004413860082321011222143RR所以 秩(A) = 4。

▌性质性质 (1) 秩(A) = 0 当且仅当 A = 0 (2) 秩() min{m , n}nmA (3) 初等行变换不改变矩阵的秩定义定义 设 A 是 n 阶方阵若 秩(A) = n，则称 A 是满秩方阵满秩方阵；若 秩(A) < n，则称 A 是降秩方阵降秩方阵定理定理 满秩方阵只用初等行变换即可化为单位 方阵4二、二、矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵初等行变换的推广：（1）用一个非零数乘某一列的全部元素（2）一列的倍数加到另一列上（3）互换两列的位置 称上述对矩阵列的处理为矩阵的初等列变换矩阵的初等列变换矩阵的初等变换矩阵的初等变换     矩阵的初等列变换矩阵的初等行变换定义定义 设 A 和 B 是两个同类型矩阵若 A 可通 过有限次初等变换化为 B，则称 A 相抵相抵于 B，记为 A B性质性质 矩阵的相抵满足： (1) 自反性：AA  (2) 对称性：ABBA (3) 传递性：CACBBA ,矩阵相抵是同型矩阵之间的一个等价关系矩阵相抵是同型矩阵之间的一个等价关系5定理定理 设 A 是 m×n 矩阵，且 秩(A)= r，则 A 相抵于下述矩阵行 00000000010000100001rnm  LLLLLLLLLLLLLL称之为 A 的相抵标准型相抵标准型。

例例 用初等变换化下述矩阵为相抵标准型A=2614302142121211解解A=22302230223012112614302142121211121314)2() 1()4(RRRRRR640000000223012112423 )1()1( RRRR000040002230121134RR 0000100032 3210121143)41()31(RR00001000032100211323132)1(RRRR00001000032100340121)1(RR00001000001000011323)34()32(CCCC7▌000001000010000143CC三、三、初等矩阵初等矩阵例例 已知矩阵A=321321321cccbbbaaa构造三个矩阵   100001010, 120010001, 100020001321PPP分别计算、、与 A 的乘积。

1P2P3P解解= 1000200011AP 321321321cccbbbaaa321321321 222 cccbbbaaa8 1200100012AP321321321cccbbbaaa332211321321222bcbcbcbbbaaa 1000010103AP 321321321cccbbbaaa 321321321cccaaabbb= 1000200013213213211 cccbbbaaaAP321321321222cccbbbaaa  1200100013213213212 cccbbbaaa AP 332133213321222ccccbbbbaaaa9= 1000010103213213213 cccbbbaaaAP312312312cccbbbaaa定义定义 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩 阵称为初等矩阵初等矩阵。

1111)(OOccEIicRi1111)(OLOMOccEIijcRRij10101101OLMOMLOijRREIji定理定理 对 m×n 矩阵 A 作一次初等行变换，等 同于在 A 的左边乘上一个对应的 m 阶初等矩阵； 对 A 作一次初等列变换，等同于在 A 的右边乘上 一个对应的 n 阶初等矩阵例例 已知矩阵                                                   2222111122211122211122211122,33,cbbacbbaDabcabcCcbacbaBcbacbaA，11问 A 与 B、C、D 之间有何联系？解解 因为，BAC33与之相对应，，)3( 31133 33EIC  故 。

BAE )3(3同理可得 CAE 12因为，，DARR21)2(而，)2( 112112)2( 321  EIRR故 ▌DAE   )2(1212例例 已知矩阵 332211321321321321321222, acacacaaabbb B cccbbbaaa A，， 100001010P 120010001Q问 P 与 Q 如何与 A 相乘可得到 B？解解 因为对 A 作两次初等行变换可得 B，而 P 与 Q 均为初等矩阵，所以应有 PQA=B 或 QPA=B  32132132132132132121cccaaabbbcccbbbaaa ARRQB acacacaaabbb RR332211321321 22222313又 对应 P，对应 Q21RR 232RR ▌BPAPA)( 性质性质 （1）初等矩阵是满秩方阵且初等矩阵的乘积也 是满秩方阵； （2）对任一初等矩阵 P，均存在初等矩阵 Q， 使PQ = QP = I I。

定理定理 满秩方阵可表示成若干初等矩阵的乘积推论推论 满秩方阵的乘积也是满秩方阵定理定理 设 A 与 B 是两个 m×n 矩阵，则 A 相抵 于 B 的充分必要条件是：存在 m 阶满秩矩阵 P 与 n 阶满秩矩阵 Q，使 PAQ = B定理定理 同型矩阵 A 与 B 相抵的充分必要条件是 秩(A) = 秩(B)推论推论 矩阵的初等列变换也不改变矩阵的秩14定理定理（1）秩(A) = 秩)(TA（2）设 A 是 m×n 矩阵，P 是 m 阶满秩方阵， Q 是 n 阶满秩方阵，则秩(A) = 秩(PA) = 秩(AQ) = 秩(PAQ) 例例 设 A 是 4×5 矩阵且 秩(A) =3，B=0004004304324321求秩(BA)例例 对任一满秩方阵 P，均存在同阶的满秩方 阵 Q，使 PQ = QP = I证证 因为 P 满秩，故存在初等矩阵sPPP,,,21L 使 已知对初等矩阵，存在初等矩sPPPPL21iP 阵，满足 ，于是，令iQIPPiiiisi,, 2 , 1L ，则 满秩且 PQ = QP = I ▌121QssLQ§1.4 可逆矩阵可逆矩阵15定义定义 设 A 是 n 阶方阵。

若存在 n 阶方阵 B， 使AB = BA = I 则称 A 是可逆矩阵可逆矩阵，称 B 是 A 的逆矩阵逆矩阵例例 讨论 n 阶零方阵 0 与 n 阶单位矩阵 I 的可 逆性例例 初等矩阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵 也是初等矩阵例例 设方阵 满足，证明A01032   IAA 都可逆IAA3,  证证 由已知得且 ，IIAA10)3(  IAIA10)3(   于是有 )2( )]3(101[ )]3(101[) 1 ( )101)(3( )3)(101(IAIAIIAAIAIAIIAA        且且由得可逆，且 ；) 1 (IA3 AIA101)3(1   16由得可逆，且▌)2(A)3(1011IAA   定理定理 设 A 是方阵，则 A 是可逆矩阵的充分必 要条件是 A 满秩例例 设A=  dcba则当 时，A 可逆，并且bcad    acbdbcadA11。