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1、1南昌大学南昌大学 20072008 学年第二学期期末考试试卷及答案学年第二学期期末考试试卷及答案一、一、 填空题填空题(每空每空 3 分，共分，共 15 分分) 1. 设设 32 ,2,aijkbijk rrrrrrrr则则 .( 2 ) (3 )ab rr18 2. 函数函数 的的2222ln(25)(4)zxyxy 定义域是定义域是. 22( , ) 425x yxy 3. 设函数设函数, 则则 .(cossin )xzeyxy 1 0x ydz ()e dxdy 4. 交换累次积分的次序：交换累次积分的次序：.( , )221101yydyf x y dx21110( , )xdxf
2、x y dy 5. 微分方程微分方程 的通解为：的通解为：2yyx .11CxxyCeye 或 或二、二、 单项选择题单项选择题 ( (每小题每小题 3 3 分分, ,共共 1515 分分) )1.1. 过点过点且与平面且与平面(3,0, 1) 375120xyz 平行的平面方程是平行的平面方程是( B ).(A) . (B) . 3540xz 37540xyz (C) (D) .350xyz 75120xyz 2 2设设 , 而而 , 则则( A ).2uzv 2 ,2uxy vyx z x(A) . (B) . ()() ()2223 2xyxy yx ()22 2xy yx 2(C) .
3、 (D) . ()()223 2xyxy yx() ()2222 2xy yx 3 3 设可微函数设可微函数在点在点取得极小值取得极小值, ( , )f x y00(,)xy则下列结论正确的是则下列结论正确的是 ( B ).(A) 在在处的导数大于零处的导数大于零. 0(, )f xy0yy (B) 在在处的导数等于零处的导数等于零. 0(, )f xy0yy (C) 在在处的导数小于零处的导数小于零. . 0(, )f xy0yy (D) 在在处的导数不存在处的导数不存在.0(, )f xy0yy 4 4设设 L 为取正向的圆周为取正向的圆周, 则曲线积分则曲线积分224xy 之值为之值为
4、( A ).22()()Lxy dxxydy (A) . (B) . (C) . (D) .04 4 5 5函数函数关于关于的幂级数展开式为的幂级数展开式为 ( D ).( )cosf xx x(A) 2421( 1)( 11)LLnnxxxx (B) . 2421( 11)LLnxxxx (C) . 21( 11)LLnxxxx (D) .242 1( 1)()2!4!(2 )!LLn nxxxxn 三、求解下列各题三、求解下列各题 ( (共共 2 2 小题小题, , 每小题每小题 8 8 分分, , 共共 1616 分分) )1求与两平面求与两平面 和和 的交线平行的交线平行43xz 25
5、1xyz 且过点且过点的直线方程的直线方程.( 3,2,5) 解解: : 因为所求直线与两平面的交线平行因为所求直线与两平面的交线平行, ,也就是直线的也就是直线的解解: : 因为所求直线与两平面的交线平行因为所求直线与两平面的交线平行, ,也就是直线的也就是直线的3方向向量方向向量 与两平面的法向量与两平面的法向量、都垂直都垂直. . sr 1nr 2nr所以取所以取. . 12104(43) 215ijk snnijk rrr rrrrrr故所求直线方程为故所求直线方程为. . 325 431xyz 2设设而而, ,且且具有二阶连续偏导具有二阶连续偏导( , ),zf u v,yuxy v
6、ef数数, ,求：求：. . z x y 2解解: : uzy fx 2 y uuuuvzfyfxe fx y y uuuuvfxyfye f 四、四、求下列积分求下列积分 (共共 2 小题小题, 每小题每小题 8 分分, 共共 16 分分):1 1、计算曲线积分、计算曲线积分, 其中其中222(2 )()yy Lxey dxx ey dy L 是由点是由点沿上半圆周沿上半圆周( ,0)A a22(0)xyax a 到点到点的弧段的弧段.(0,0)O4解解: 2222 ,.yyPxeyQx ey 222,22.yyQPxexexy 2.QP xy 连接连接 OA 构成闭路构成闭路 OABO,
7、其围成区域为其围成区域为 D.沿沿. 2 101:0,2aOAyIxdxa 1 LDQPIdIxy 12DdI 22 2112(2).2224aaa 2 2、利用高斯公式计算曲面积分、利用高斯公式计算曲面积分, xdydzydzdxzdxdy其中其中为上半球面为上半球面 的上侧。的上侧。222zRxy 0A（a， 0）BD xy5解解: 记记为平面为平面的下侧的下侧. 1 0z 1,1,1.PQR xyz 由高斯公式有由高斯公式有原式原式 11 30 32.R 五、解下列各题五、解下列各题( (共共 2 2 小题小题, , 每小题每小题 8 8 分分, ,共共 1616 分分):):1 1、判
8、定正项级数、判定正项级数 的敛散性的敛散性 1!nnn n 解解: : 1 1(1)!limlim!(1)n n nnnnunn unn lim1nnn n 11lim1. 11nnen 所以原级数收敛所以原级数收敛. . 2 2、设幂级数、设幂级数 . .114nnnxn (1).(1). 求收敛半径与收敛区间求收敛半径与收敛区间 ; ; (2).(2). 求和函数求和函数. .6解解: : (1).(1). 11lim4.4nnnaRa 当当时时, , 发散发散; ; 1 4x 11 4nn 当当时时, , 收敛收敛. .1 4x 11( 1)4nnn 故收敛区间为故收敛区间为 1/4,1
9、/4). (2).(2). 设设. . ( )S x 114nnnxn 111111( )4(4 ).14nnnnnSxxxx 0011( )ln(14 ).144xx Sx dxdxxx 即即 1( )ln(14 ).4S xx 1/4,1/4). ( (0)0).S 六、计算题（共六、计算题（共 2 2 小题小题. . 每小题每小题 8 8 分分, , 共共 1616 分）分）: :1 1、求微分方程、求微分方程 的通解的通解. .2109xyyye解解: : 2 121090.9,1.rrrr 9 12.xxYC eC e 不是特征根不是特征根, , 所以设所以设 2 Q2*.xyAe
10、代入原方程得代入原方程得: : 211.*.77xAye 故原方程的通解为故原方程的通解为: : 92 121.7xxxyC eC ee 72 2、( (应用题应用题) ) 计算由平面计算由平面 和旋转抛物面和旋转抛物面 0z 所围成的立体的体积所围成的立体的体积. .221zxy 解法一解法一: : DVzd 22(1)Dxydxdy 212 00(1)drrdr 1 240112.242rr 解法二解法二: : Vdv 2211000rdrdrdz 212 00(1)drrdr 1 240112.242rr 七、七、(6 分分) 已知连续可微函数已知连续可微函数 满足满足 , , ( )f x1(0)2f 且能使曲线积分且能使曲线积分 ( )( )x Lef x ydxf x dy 与路径无关与路径无关, , 求求. .( )f x解解: : ( ),( ).xPef xyQf x
