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1、1重重庆邮电庆邮电大学大学 2009 级级研究生研究生(矩矩阵阵分析分析)考卷（考卷（A 卷）卷）参考答案及参考答案及评评分分细则细则一一 、已知、已知 ， ， ， ，1(1,2,1,0)T2( 1,1,1,1)T 1(2, 1,0,1)T2(1, 1,3,7)T求求与与的和与交的基和的和与交的基和维维数。数。 （ （10 分）分）12,span 12,span 解：因解：因为为+= (2 分分)12,span 12,span 1212,span 由于秩由于秩=3，且，且是向量是向量组组的一个极大相信无关的一个极大相信无关组组， ，1212, 121, 1212, 所以和空所以和空间间的的维维
2、数是数是 3，基，基为为。 。 (2 分分)121, 设设1212,spanspan I于是由交空于是由交空间间定定义义可知可知11221122kkll此即此即121211212111011030117kkll 解之得解之得 (2 分分)1122122,4 ,3 (kl kl ll l 为任意数）于是于是， ，11222 5,2,3,4Tkkl1122ll（很显然）所以交空所以交空间间的的维维数数为为 1，基，基为为 (2 分分)T -5, 2，3，4二、二、证证明：明：Jordan 块块 10 ( )01 00a J aa a 相似于矩相似于矩阵阵 ， ，这这里里为为任意任意实实数。数。 （
3、 （10 分）分）0 0 00a a a 02证证明：由于容易求出两个明：由于容易求出两个矩矩阵阵的不的不变变因子均因子均为为，从而，从而这这两个两个31,1,()a矩矩阵阵相似，于是矩相似，于是矩阵阵与与相似相似.10( )01 00aJ aa a 00 00aa a 三、三、求矩求矩阵阵的的101 120 403A (1)Jordan 标标准型准型； （2）变换变换矩矩阵阵 P ； （3）计计算算 。 （ （10 分）分）100A解 （1）Jordan 标准型为(3 分分)110 010 002J （2）相似变换矩阵为(3 分分)100 111 210P （3）由于，因此，容易计算1P A
4、PJ1nnAPJ P(4 分分)1001001001001990100 201 221012 4000201A 四、四、验证验证矩矩阵阵0110000iAi 是正是正规阵规阵，并求酉矩，并求酉矩阵阵U，使使HUAU为对为对角矩角矩阵阵。 。 (10 分分)解解: , (2 分分)200 01, 01HHAAA AiA i Q是正规矩阵3,令令 得特征根得特征根:21 10(2)0i EAi 0EA(2 分分)1230,2 ,2ii 当当时时, 解得特征向量为解得特征向量为:101(0, ,1)Ti当当时时, 解得特征向量为解得特征向量为:22i2( 2,1)Ti当当时时, 解得特征向量为解得特
5、征向量为: (3 分分)32i 2( 2, , 1)Ti显然显然正交正交, 将它们分别单位化得将它们分别单位化得:123, , , 11(0,)22iv 221(,)222iv 321(,)222iv 令令 得得22022222 111222iiUi (3 分分)000020002HUAUii 五、已知五、已知是是矩矩阵阵，且且 （为为自然数自然数） ，试证试证： ：。 （ （10 分）分）AHermit0kA k0A证证明明: 因因为为是是矩矩阵阵，所以存在酉矩阵，所以存在酉矩阵使得使得AHermitU, (其中其中为为 A 的特征根的特征根, 且为实数且为实数) (3 分分)1200000
6、0HnUAU LLMM M M Li于是于是(2 分分)12000000HnAUU LLMM M M L从而从而4(2 分分)120000000kk kHk nAUU LLMM M ML所以所以 120nL故故 (3 分分)0A 六、六、验证验证矩矩阵阵 为单纯为单纯矩矩阵阵，并求，并求A的的谱谱分解。分解。 （ （10 分）分）024 1022 11042A 解解: 因因为为3224 1232(1) (2)2 11 42AE 所以得特征要分别为所以得特征要分别为: (3 分分)1,231,2 当当时时, 求得线性无关的特征向量分别为求得线性无关的特征向量分别为1 , (1 分分)12( 2,
7、1,0) ,( 4,0,1)TT 当当时时, 求得线性无关的特征向量分别为求得线性无关的特征向量分别为2(1 分分)3(4,2,1)所以所以123244 (,)102 011P 51122111 63361212 112211()1263366 111221 1263333TTP 因此因此(3 分分)1231 2211 211 1(,) ,(, ) ,(, )6 33126 312 6 3TTT 于是于是的投影矩的投影矩阵为阵为A111221441283333331220006331110001263224 333 122 633 112 1263TTG 233124 333 112 633
8、111 1263TG 故故谱分解表达式为谱分解表达式为A(2 分分)122AGG 6七、七、讨论讨论下列矩下列矩阵幂级阵幂级数的数的敛敛散。散。 （ （10 分）分）八、八、设设与与是是实实数域数域上的上的线线性空性空间间的两的两组组基，且基，且12(,)n L12(,)n LRV，又，又对对任意的任意的有有1212(,)(,)nnP LLxV证证明：（明：（1） ）是是中的向量范数；中的向量范数；2xV（ （2）当）当是正交矩是正交矩阵时阵时，有，有。 。 （ （10 分）分）P22 22 111100170.20.5111;2;3011.030.10.5001k kkkkkkk 11112
9、222 12,.nnnnnxyxy xyxyxxyxy L LL LMMMMMMMM1 12 2n n，；， 2 11 k1222 1111k2 111(1)3(1),(1);2A0.7(2),A1,(1)100 100100111130110110(3),001001100kk kk kkkkkkkRARAkkkkkkk Q QQ Q答答：分分，分分，发发散散分分分分收收敛敛分分；分分( )1.k ij ka Q Q9 9个个级级数数都都收收敛敛，该该矩矩阵阵幂幂级级数数收收敛敛（1 1分分）7 22222211122 120;0000.,nnnxVRaxxxbkxkkk xcxyVxyxxyyxy L LL LMMMM1 12 2n n证证（1 1）：是是到到的的映映射射；( (非非负负性性) )：若若0 0, ,则则0 0，而
