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1、对一类求含绝对值的函数最小值问题一种解法的对一类求含绝对值的函数最小值问题一种解法的一点疑惑和探究一点疑惑和探究联联丰中学丰中学 王培良王培良 315000在一次偶然的机会，我去上海听了这么一节课，但听课过程中遇到了一点疑问：就是用代数法解一类含绝对值的函数问题最小值的等价性问题， 并作了一些思考，具体如下：问题 1：求函数 f(x)=|x-1|+|x-2|的最小值。方法一（一般解法）：数形结合将函数 f(x)=|x-1|+|x-2|化为：然后作图，由图易知，f(x)的最小值为 1。 )2( , 32)21 ( , 1) 1( ,23 )( xxxxx xf方法二：几何法（1）在数轴上取点 A
2、(1，0)和点 B(2，0)；（2）在数轴上取动点 P(x，0)；即|PA|+|PB|的最小值为所求。则 f(x)1（当且仅当 1x2 时，取“=”号）。方法三：代数法0) 1(| 1|2xxQ最小，要使|2| 1|)(xxxf最小，只需22)2() 1()(xxxg，由21)23(2562)(22xxxxg。最小，即时，当1)()(23minxfxgx问题 2：求函数 f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值。也有类似的三种解法 其中方法三：代数法0) 1(|1|2xxQ最小，要使|3|2| 1|)(xxxxf最小，只需222)3()2() 1()(xxxxg，由2)2(3141
3、23)(22xxxxg。最小，即时，当2)()(2minxfxgx类类比推广比推广问题 3：求函数 f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-19|的最小值。方法二： 由画数轴可知：|x-10|0，|x-9|+|x-11|2， |x-1|+|x-19|18，当且仅当 x=10 时，它们的和最小。即 f(x)0+2+4+18=90。方法三（代数法）经过尝试发现也是可以的再推广再推广问题问题 3：求函数 f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-n|的最小值。(1)当 n=2k-1(kR)时，|x-k|0，|x-(k-1)|+|x-(k+1)|2， |x-1|+|x-(2k-1)|2k-2，当且仅当
4、x=k 时，它们的和最小，即 f(x)0+2+4+(2k-2) 1(2)220(kkkk(2)当 n=2k(kR)时，|x-k|+|x-(k+1)|1，|x-(k-1)|+|x-(k+2)|3， |x-1|+|x-2k|2k-1，当且仅当 xk，k+1时，它们的和最小，即 f(x)1+3+5+(2k-1)2 2) 121 (kkk最小，要使nxxxxfL|2|1|)(最小，只需222)()2() 1()(nxxxxgL，由4) 1(212121) 1()(2 22222222nnnnxnnxnnnxxgLL。最小，即时，当 niinxfxgnx1min21)()(21若 n=2k-1(kR)时
5、，= niinxf1min21)( niik1=12101221kkkLL) 1( kk当 n=2k(kR)时， niinxf1min21)(=nnnnnnnn 21 22 21 221221121LL=2k结论这个方法也是适合的但是对于这个结论的普遍性在听课的过程中我一直存在的疑惑，感觉这个方法是不等价转化的。我首先试着用和的形)0,(21)(baxbxaxfcxbxaxxf)(式去研究这种方法 的可行性 试探 1：求函数的最小值212)(xxxf正解： 将函数 f(x)=2|x-1|+|x-2|化为：然后作图，由图易知当 x=1 时，f(x)的最小值 )2( , 43)21 ( ,) 1(
6、 ,34 )(xxxxxx xf为 1。试解 1：（代数法）要使值最小212)(xxxf最小，只需22)2()1(2)(xxxg，由54)56(58125)(22xxxxg。最小，即时，当56)()(56minxfxgx试解 2：要使的值最小211212)(xxxxxxf最小，只需222)2() 1() 1()(xxxxg，由32)34(3683)(22xxxxg。34)()(34minxfxgx最小，即时，当从以上两个试解发现这种方法是不行的，但是却发现通过这个方式得到的值都是大于实际最小值的。而试解 1 中的 顶点（，54)56(5)(2xxg） 54,56和试解 2 中的 顶点（） 这两
7、个顶点都是在 y=1，32)34(3)(2xxg32,34的下方作出三个函数 ， 212)(xxxf，54)56(5)(2xxg的图像，感觉二次函数32)34(3)(2xxg，54)56(5)(2xxg是折线的两个近似抛物光滑32)34(3)(2xxg212)(xxxf曲线。反思：突然想到“问题 1：求函数 f(x)=|x-1|+|x-2|的最小值。 ” 为什么用方法三代数法可行？带着这个疑问，我试着也作出了的图像与 f(x)的图像进行了比较，562)2() 1()(222xxxxxgf(x)的图像当时是平行于 x 轴的一条线段，函数值总是为最小值21 x1， 而的顶点横坐标恰好落在21)23
8、(2)2() 1()(222xxxxg1, 2上。对于问题 2：求函数 f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，也作出图像易知当 x=2 时 f(x)的最小值是 2相应参考的二次函数的顶点恰好在 x=2 处。2)2(3)3()2() 1()(2222xxxxxg对于后面问题 3：求函数 f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-19|的最小值。 也类似的可以得到结论：当 x=10 时，f(x)的最小值是 90。不难发现，对于 其中数列naxaxaxxfL21)(是个等差数列，都可以用代数法解决， 当时为最小值 nana xnii 1)(xf由于得到图像的启示，对于函数，数列是否一定
9、是等差数列呢，naxaxaxxfL21)( na不然。我想到如下例子试探 2 ：求函数 的最小值5421)(xxxxxf用常规分段函数易解得到：当时，的最小值为 642 x)(xf用代数法解：可以考虑相应函数即2222)5()4()2() 1()(xxxxxg。 当 x=3 时 f(x)的最小值为 610)3(446244)(22xxxxg其实不难得到; 对于 （naxaxaxxfL21)(） 只要各个点 关于直线naaaL21),(kak)2 , 1(nkL对称的时候，的最小值就是（即）na xnii 1)(xf)(1 na fnii )2(1naaf对于 （）如naxaxaxxfL21)(
10、naaaL21果各个点没有上面的对称性，那可不可以用该方法解),(kak)2 , 1(nkL吗？ 试探 3：求函数 的最小值11721)(xxxxxf易知道当时取到最小值为 1572 x)(xf用代数法解：可以考虑相应函数即2222)11()7()2() 1()(xxxxxg，则当时 的最Mxxxxg22)421(4175424)(421x)(xf小值为 15。代数法是可行的。试探 4: 求函数 的最小值11321)(xxxxxf易解：当时，f(x)取到最小值为 1132 x用代数法：可以考虑相应函数即2222)11()3()2() 1()(xxxxxg，当时，f(x)的最小值4383)417
11、(4168344)(22xxxxg417x为。227代数法不可行试探 5: 求函数 的最117621)(xxxxxxf小值易知道当时，的最小值为 156x)(xf用代数法解：可以考虑相应函数MxNxxxxxxxxg2222222)527(5545)11()7()6()2() 1()(则认为的最小值为 代数法不可行)(xf578)527(f结论：从试探 3，试探 4 试探 5 可发现，对于（）naxaxaxxfL21)(naaaL211)如果 n 为偶数时，的算术平均数naaa,21L满足，那么这种代数法naaaanL21 122nnaaa可适用的2）如果 n 为奇数时，除非的算术平均数恰好为中
12、naaa,21La间一个，即可以，否则这种代数法一般是不可行的。21naa下面证明该结论：1）n 为偶数时，111aaaaaxaxnnn212112aaaaaxaxnnn .212212122nnnnnnaaaaaxax 当且仅当时， 各式取等号，它们的和最小 122,nnaax而用代数法时，x 取时最小，此时满足naaaanL21，则它们的和最小122nnaaa2）n 为奇数时， 021nax21 23 21 23 2321 nnnnnaaaaaxax n23 25 23 25 23 25nnnnnnaaaaaxax 111aaaaaxaxnnn当且仅当时，各式取等号，它们的和最小21nax而用代数法， 只有 x 取时最小21naa证毕著名教育家苏霍姆林斯基说：在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是说是希望自己是一个发现者、研究者、探索者。
