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1、在课堂上巧妙嵌入有趣教学实例 ， 提高学生学习全概率公式的兴趣和质量 吉家锋( 西华大学数学与计算机学院 四川成都610039)摘 要: 全概率公式是概率论中的一个重要公式， 它体现了概率计算中“化整为零， 化繁为简”的思想。但由于该公式十分抽象， 因此按照传统的教学法， 学生对该公式难以深入地理解和掌握。为此， 笔者在课堂教学中巧妙嵌入生动有趣的教学实例， 对该公式进行讲解， 引导学生逐步解决问题， 使学生对该公式有了较深入的理解， 提高了学生学习全概率公式的兴趣和质量， 收到较好的教学效果。关键词: 全概率公式; 概率统计; 教学改革数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学， 在它产生和
2、发展的历史长河中， 一直是和各种各 样的应用问题紧密相关 的 。概 率 统 计 是 数 学 课 程中的一个重要学科， 它是从实际应用中发展出来 的学科， 具有较强的实际背景。该课程中的概念高 度抽象、 逻辑严密、 结论明确， 而且它们的应用范围十分广泛1 。概率统计 是研究随机现象的学科， 是高校数 学课中应用性最强、 最为活跃的课程之一， 是许多专 业学生的必修课程。它既以其他基础课程为基础， 又与其他各门学科以及现实生活紧密相连。英国的 逻辑学家和经济学家杰文斯( Jevons) 曾说过 : “概率 论是生活真正的领路人， 如果没有对概率的某种估 计， 那么我们就寸步难行无所作为”2 3
3、。但在讲授该课程的过程中发现， 学生在学习的 过程中普遍感到概念少、 公式少， 但公式普遍具有使 用灵活、 计算繁琐、 公式反复使用等特点， 而且对于 较接近实际的问题， 学生难以入手， 方法难以掌握，可能使学 生 逐 渐 失去兴趣和信 心4 。为 了 提 高 学 生的学习积极性， 笔者认为， 使用实际生活中有趣的例子是必不可少的。为了提高学生学习全概率公式的兴趣和质量， 就要求我们将生活中一些有趣的例 子， 嵌入到该课程的讲解过程中5 。一、 问题引出为了便于叙述， 先引入如下定义2 6 :定义: 若事件 A1 ，A2 ， ， An 两两互斥， 且 A1 + A2 + + An = ， 则
4、称 A1 ，A2 ， ，An 构成一个完备事 件组。有了完备事件组的概念， 全概率公式可定义如下:定理: 若事件 A1 ，A2 ， ， An 构成一个完备事件 组， 且都有正的概率， 则对任意一个事件 B， 有n P( B)= P( A ) P( B | A )iii = 1 以上公式就称为全概率公式。 二、 传统的讲解方法在很多的教材上， 对于全概率公式的解释通常是: 概率论中经常要从已知的、 简单事件的概率去求未知的复杂事件的概率， 即将复杂事件分解为若 干个互斥的简单事件， 通过这些简单事件的概率来 计算复杂事件的概率7 。很多时候， 教材上配上相应的 Venn 图， 让学生 加强理解。
5、不能说这样说法和理解有问题， 但从学生的角 度来看， 上面的理解是从较高层面的角度来认识的，这对于第一次接触该课程， 第一次接触该公式的学 生来说， 上面“总结性”的讲解方式是很难理解的。 三、 完备事件组的实例在全概率公式中， 有一个重要的前提概念: 完备 事件组。如果光看定义条件， 很难让学生体会到该 定义的用处， 若用一个生活化的语言进行描述: 完备 事件组就是“关注点”的所有可能情况的一个罗列，学生理解起来可能要轻松些， 且本人认为， 上面的描 述也能深刻反映该概念的本质含义。例 1: 甲、 乙、 丙三人同时对飞机进行射击， 三人击 中的概率分别为 0 14，0 15，0 17， 飞机
6、被一人击中而坠32第 31 卷第 3 期在课堂上巧妙嵌入有趣教学实例， 提高学生学习全概率公式的兴趣和质量2014 年 9 月毁的概率为 0 12， 被两人击中而坠毁的概率为 0 16， 若 三人击中， 飞机必定坠毁， 求飞机坠毁的概率。在这个题目中， 飞机的坠毁是与被击中的次数 有关的， 从这个“关注点”来看， 则命中 0， 1， 2， 3 次就是所有可能情况的一个罗列。并且任何两种情况 都不可能同时发生， 也就是任何两种情况都是互斥的。若用 Ai 来表示被命中 i 次， 则 A0 ，A1 ，A2 ，A3就是造成飞机坠毁的一个完备事件组， 因为它们就是“命中次数”的所有情况的一个罗列。然后，
7、 再从定 义 条 件 上 再 加 以 解 释， 即: Ai Aj = ( ij) ， A0 + A1 + A2 + A3 = ， 加深学生的理解。 四、 全概率公式的有趣实例讲解法通常， 教材上采用的一般是“摸球”模型来作为 例子， 当然没有什么不妥， 只是该模型过于理想化， 缺少趣味。下面 是 两 个“有 趣”的、 有 一 定 难 度 的、兼有建模思想的例子。例 2: “机智的绅士”一个绅士因看 不 惯 王 爷 的 所作所为而得罪了他， 被关进了监狱， 众人替他向王爷求情。王爷就给他出了个“难题”4 : 给他两个碗， 一个碗里装 50 个小 黑 球， 另 一 个碗里装 50 个小白球。规则是
8、把他的眼睛蒙住， 然后要他先选择一个碗， 并从这个碗里取出一个球。如 果他取到的是黑球， 就要继续关在监狱; 如果他取到的是白球， 就将获得自由。但在蒙住眼睛之前， 允许 他用他希望的任何方式把球进行混合。绅士直盯着两个碗， 因为关系到他今后的人生和众人的情意， 他不得不慎重考虑。王爷说 : “这就 要看你的造化了， 你挑一个碗并从里面拿出一个白 球的几率是 50% 。”绅士紧皱眉头 ，“天无绝人之路”， 灵机一动， 只 见他把所有的球都混合在一个碗里， 然后再拿出一 个白球放在另一个碗里， 对王爷说 : “现在我获得自由的几率为 75% 。”提出问题之后， 让学生自由讨论几分 钟。因 为 问
9、题是故事形式的， 且有一定的智力性质， 学生兴趣 较浓， 总想帮助绅士脱离困境。若是没有混合的动作， 则绅士取出白球的概率 就是 1 /2。若是 按 照 绅士特定的方式进行混合， 这 时他选中装一个白球的碗的概 率 为 1 /2， 如 果 他 选了另一个 碗， 他 还 能 以 49 /99 ( 接 近 1 /2) 的 概 率 从 碗里拿出一个白球， 这样他获得自由的机会提高到选到黑球。怎样才能把获释的机会再扩大一点呢?在危急时刻， 思维如脱缰野马 ，“允许我用任何方 式把球混合”， 急中生智， 突然， 他大叫一声: “哈， 我有救了。”只见他把白球覆盖在黑球上， 并拿一个白 球放在另一个碗里，
10、 这样他获释的机会为 100% 了。 王爷大叫一声 : “好， 君无戏言， 立刻放人。”当然， 这个故事的前半段用了概率知识， 至于后 半部分把白球覆盖在黑球上， 那是运用智谋， 与概率 无关了。7 例 3: 奖金 如 何分配才算公平 。在 一 次 乒 乓球比赛中设 立 奖 金 1000 元。比 赛 规 定: 先 胜 3 盘 者， 获得全部奖金。设甲、 乙二人的球技相当， 现已 打了 3 盘， 甲 2 胜 1 负， 由于某特殊原因必须中止比赛。问这 1000 元应如何分配才算公平? 该问题更具趣味性， 且具有一定的难 度。经 简单分析， 可在黑板上提出这几个方案:方案一: 平均分， 这对甲欠公
11、平; 方案二: 全部归甲， 这对乙不公平;方案三: 按已胜盘数的比例对甲、 乙进行分配。让学生选择， 在没有深入分析之前， 方案三看似 合理， 双方可以接受的方法， 即 甲 拿 2 /3， 乙 拿 1 /3。 仔细分析， 发现这也并不合理。理由如下:设想继续比赛， 要使甲、 乙有一个胜 3 盘， 最终 分出胜负， 最多只要再比 2 盘即可， 结果无非是以下四种情况之一: 甲乙， 甲甲， 乙甲， 乙 乙 ( 其 中“甲乙”表示第 4 盘甲胜、 第 5 盘乙胜， 其余类推) ， 正好 是一个完备事件组。把乙比赛过的 3 盘与上述四种结果结合， 即甲乙打完 5 盘， 可以看出前 3 个结果都是甲先胜
12、 3 盘， 因而 甲 可 得 1000 元， 只有最后一个结果 才 由 乙 得1000 元。在球技相当的条件下， 上述四个结果应有等可能性。因此， 方案四是因为甲乙最终获胜可能 性的大小这比为 3: 1， 所以全部奖金应按制 胜 率 的 比例分， 即甲分 750 元， 乙分 250 元， 才算公平合理。上面采用的是分析加逻辑推理的方法， 解决了 分配问题。用全概率公式计算: 若再比一盘， 甲乙胜的概率各为 1 /2。即 甲 胜， 乙 胜 就是一个完备事件组。 若甲胜， 由甲得全部奖金; 若乙胜， 则甲乙各胜 2 盘， 奖金平分( 可以问学生“为什么? ”) 。所以有1 1000 + 1 500
13、 = 750( 元) 。甲应得奖金=221 1 49 3 + 2 99 4 。五、 总结 对于全概率公式的传统讲解方法， 一般先是完2但他并不因此而满足， 因为他仍 有 1 /4 的 几 率33第 31 卷第 3 期高等教育研究2014 年 9 月备事件组的定义， 接着是公式的引出、 证明和例子，并且一般都是一些比较典型的例子。这种讲解方法 虽然严密， 但学生可能对该公式所包含 的“概 率 思 想”无法理解和掌握。本文通过在课堂上嵌入一些 有趣的和带有建模思想的实例， 能让学生深刻地体 会到全概率公式中 “化整为零， 化繁为简”的“概率 思想”， 收到良好的教学效果。出版社， 2004 3 李
14、智明 高校概率论与数理统计课程教学新模式 探 索J 高师理科， 2007( 6) : 100 102 4 王智 慧 概 率计算教法探 索J 数学理论与应 用，2005， 25 ( 4) : 118 120 5 孙福杰，王亚玲 谈概率统计的启发式教学J 长春大 学学报， 2006， 16( 6) : 142 144 6 茆诗松，程依明，濮晓龙 概率论与数理统计教程M北京: 高等教育出版社， 2004 7 7 谢兴武，李宏伟 概率统计释难解疑M 北京: 科学出 版社， 2007， 2 责任编辑 叶 超参考文献: 1 刘国庆 探索概率统计教学的最佳模 式J 大 学 数 学，2003， 19( 3)
15、: 27 29 2 袁荫棠 概率论与 数 理 统 计M 北 京: 中 国 人 民 大 学檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨 上接第 10 页办学， 拓展国内国外两大平台， 全面提升高等教育的 国际化水平。在经济全球化深入发展、 高等教育国 际化趋势日益明显的今天， 大学的办学水平和发展 空间直接受到开放程度的影响。高校内涵式发展， 要充分借鉴国外先进办学理念、 经验和做法， 有效利 用国外优质高等教育资源， 将“引进来”和“走出去” 有机结合起 来。2011 年， 国家启动实施 的“高 等 学 校创新能力 提 升 计 划”( 简 称“2
16、011 计 划”) 作 为 我国高等教育 领 域 继 “985”、“211”之后第三个体现 国家意志的战略性计划， 实质上就是促进高校与高 校之间、 高校与科研院所之间、 高校与行业企业之间 以及国际之间的协同合作， 探索开放合作新机制， 提 升自主创新能力。总的说来， 推动高等教育内涵式发展是培养适 应经济社会发展和人民群众接受良好教育的要求。 当前关于高等教育内涵式发展的研究已经取得了一 定成效， 但随着研究的深入， 暴露的问题也就越来越 多。长期以来， 人们已经习惯于外延式发展这种粗 放型的发展模式， 许多高校管理者更多关注的是学校招生规模、 科研经费等量的扩大， 在大学生“就业 难”和“用工荒”矛盾的相互作用下， 显然， 这种办学 模式不利于高校的可持续发展， 特别不利于一些办 学层次较低的地方性高校的大学生。因此， 高等
