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1、难点难点 5 求解函数解析式求解函数解析式求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理 解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新 能力和解决实际问题的能力. 难点磁场()已知 f(2cosx)=cos2x+cosx,求 f(x1). 案例探究例 1(1)已知函数 f(x)满足 f(logax)= (其中 a0,a1,x0),求 f(x)的表)1(12xxaa 达式. (2)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 满足|f(1)|=|f(1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式. 命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定
2、义域、值域和对应法则，以及计 算能力和综合运用知识的能力.属题目. 知识依托：利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域. 错解分析：本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错. 技巧与方法：(1)用换元法；(2)用待定系数法. 解：(1)令 t=logax(a1,t0;01,x0;01 时 f(x)等于( ) A.f(x)=(x+3)21B.f(x)=(x3)21 C.f(x)=(x3)2+1D.f(x)=(x1)21 二、填空题3.()已知 f(x)+2f()=3x,求 f(x)的解析式为_.x14.()已知 f(x)=ax2+bx+c,若 f(0)=0
3、且 f(x+1)=f(x)+x+1,则 f(x)=_. 三、解答题5.()设二次函数 f(x)满足 f(x2)=f(x2),且其图象在 y 轴上的截距为 1，在x 轴上截得的线段长为，求 f(x)的解析式.26.()设 f(x)是在(,+)上以 4 为周期的函数，且 f(x)是偶函数，在区间 2，3上时，f(x)=2(x3)2+4，求当 x1,2时 f(x)的解析式.若矩形 ABCD 的两个 顶点 A、B 在 x 轴上，C、D 在 y=f(x)(0x2)的图象上，求这 个矩形面积的最大值.7.()动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A出发顺次经过 B、C、D 再回到 A，设 x
4、 表示 P 点的行程，f(x)表示 PA 的长，g(x)表示 ABP 的面积，求 f(x)和 g(x),并作出 g(x)的简图.8.()已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数，周期 T=5，函数 y=f(x) (1x1)是奇函数，又知 y=f(x)在0，1上是一次函数，在1，4上是二次函数， 且在 x=2 时，函数取得最小值，最小值为5. (1)证明：f(1)+f(4)=0; (2)试求 y=f(x),x1,4的解析式； (3)试求 y=f(x)在4，9上的解析式.参考答案 难点磁场 解法一：(换元法）f(2cosx)=cos2xcosx=2cos2xcosx1 令 u=2cosx(
5、1u3),则 cosx=2uf(2cosx)=f(u)=2(2u)2(2u)1=2u27u+5(1u3) f(x1)=2(x1)27(x1)+5=2x211x+4(2x4) 解法二：(配凑法） f(2cosx)=2cos2xcosx1=2(2cosx)27(2cosx）+5f(x)=2x27x5(1x3),即 f(x1)=2(x1)27(x1)+5=2x211x+14(2x4). 歼灭难点训练一、1.解析：f(x)=.34 xmxff(x)=x,整理比较系数得 m=3. 334434xmxxmxm答案：A 2.解析：利用数形结合，x1 时，f(x)=(x+1)21 的对称轴为 x=1,最小值为
6、1，又 y=f(x)关于 x=1 对称，故在 x1 上，f(x)的对称轴为 x=3 且最小值为1. 答案：B二、3.解析：由 f(x)+2f()=3x 知 f()+2f(x)=3.由上面两式联立消去 f()可得 f(x)x1 x1 x1 x1=x.x2答案：f(x)= xx24.解析：f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知 c=0.又 f(x+1)=f(x)+x+1,a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b）x+a+b=bx+x+1.故 2a+b=b+1 且 a+b=1,解得 a=,b=,f(x)=x2+x.21 21 21 21答案：x2+x21 21三、
7、5.解：利用待定系数法，设 f(x)=ax2+bx+c,然后找关于 a、b、c 的方程组求解，f(x)=.178 722xx6.解：(1)设 x1,2,则 4x2,3,f(x)是偶函数，f(x)=f(x),又因为 4 是 f(x)的周期，f(x)=f(x)=f(4x)=2(x1)2+4. (2)设 x0，1 ，则 2x+23,f(x)=f(x+2)=2(x1)2+4,又由(1）可知 x0,2时，f(x)=2(x1)2+4,设 A、B 坐标分别为(1t,0）,(1+t,0)(0t1 ,则|AB|=2t,|AD|=2t2+4,S)矩形=2t(2t2+4)=4t(2t2),令 S矩=S，=2t2(2
8、t2)(2t2)()3=82S 3222222ttt,当且仅当 2t2=2t2,即 t=时取等号.S2即 S,Smax=.2764 36 27864 9616 96167.解：(1)如原题图，当 P 在 AB 上运动时，PA=x;当 P 点在 BC 上运动时，由 RtABD可得 PA=;当 P 点在 CD 上运动时，由 RtADP 易得 PA=2) 1(1 x;当 P 点在 DA 上运动时，PA=4x,故 f(x)的表达式为：2)3(1xf(x)=)43( 4)32( 106)21 ( 22) 10( 22xxxxxxxxxx(2)由于 P 点在折线 ABCD 上不同位置时，ABP 的形状各有
9、特征，计算它们的面积 也有不同的方法，因此同样必须对 P 点的位置进行分类求解.如原题图，当 P 在线段 AB 上时，ABP 的面积 S=0；当 P 在 BC 上时，即 1x2时，SABP=ABBP=(x1） ；当 P 在 CD 上时，即 2x3 时，S21 21ABP=11=；当 P 在 DA 上时，即 3x4 时，SABP=(4x).21 21 21故 g(x)=)43( )4(21)32( 21)21 ( ) 1(21) 10( 0xxxxxx8.(1)证明：y=f(x)是以 5 为周期的周期函数，f(4)=f(45)=f(1),又 y=f(x) (1x1)是奇函数，f(1)=f(1)=
10、f(4),f(1)+f(4)=0. (2)解：当 x1,4时，由题意，可设 f(x)=a(x2)25(a0),由 f(1)+f(4)=0 得 a(12)25+a(42)25=0，解得 a=2,f(x)=2(x2)25(1x4). (3)解：y=f(x)(1x1)是奇函数，f(0)=f(0),f(0)=0,又 y=f(x) (0x1)是 一次函数，可设 f(x)=kx(0x1),f(1)=2(12)25=3,又 f(1)=k1=k,k=3.当0x1 时，f(x)=3x,当1x0 时，f(x)=3x,当 4x6 时，1x51,f(x) =f(x5)= 3(x5)=3x+15,当 6x9 时，1x5
11、4,f(x)=f(x5)=2(x5)225=2(x7)25.f(x)=. )96( 5)7(2)64( 1532xxxx椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质-（必背的经典结论）（必背的经典结论）高三数学备课组椭椭 圆圆1.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的外角外角.2.PT 平分PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离相离.4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切内切.5.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.000(,)P xy2222
12、1xy ab0P00 221x xy y ab6.若在椭圆外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则000(,)P xy22221xy ab切点弦 P1P2的直线方程是.00 221x xy y ab7.椭圆 (ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点22221xy ab，则椭圆的焦点角形的面积为. .12FPF 122tan2F PFSb8.椭圆椭圆（ab0）的焦半径公式：）的焦半径公式：22221xy ab,( , ).10|MFaex20|MFaex1(,0)Fc2( ,0)F c00(,)M xy9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点
13、，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为 AB 的中点，则22221xy ab),(00yx，22OMABbkka 即。0202yaxbKAB12. 若在椭圆内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是000(,)P xy22221xy ab.22 0000 2222x xy yxy abab13. 若在椭圆内，则过
14、Po 的弦中点的轨迹方程是000(,)P xy22221xy ab.22 00 2222x xy yxy abab双曲线双曲线1.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的内角内角.2.PT 平分PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交相交.4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若在双曲线（a0,b0）上，则过的双曲线的切线方000(,)P xy22221xy ab0P程是.00 221x xy y ab6.若在双曲线（a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条000(,)P xy22221xy ab切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是.00 221x xy y ab7.双曲线（a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任22221xy ab意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.12FPF 122t2F PFSb co8.双曲线双曲线（a0,bo）的焦半
