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1、91线性代数（理）线性代数（理） 综合复习资料综合复习资料一、选择及填空题一、选择及填空题1.二次型的矩阵为 。22 123231213232244(,)f x xxxxx xx xx x A 2.齐次线性代数方程组有非零解的充要条件是 。0n nAxAR ()3.设和皆为阶方阵，则下面论断正确的是( )ABn（1）； （2），其中为的伴随矩阵；TTTABA B ()AAA E A A（3）； （4）如果，则或。111ABA B ()ABO AO BO 4.已知三阶方阵的特征值为，则的全部特征值为 。A 1,0,2EA 5.设矩阵的秩为（） ，则下列说法不正确的是（ ）m nAR rmin(,
2、 ),rm n r 0（1）矩阵所有阶子式均不等于零；Ar （2）矩阵的所有阶子式全等于零；A1r （3）矩阵的行向量构成的向量组的秩为；Ar （4）矩阵的列向量构成的向量组的秩为。Ar6.下列说法错误的是（ ）（1）阶方阵相似于对角矩阵的充要条件是有个互不相同的特征值；nAAn （2）相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值； （3）矩阵的秩等于该矩阵的行向量组的秩；（4）矩阵的秩等于该矩阵的列向量组的秩。7.下列说法不正确的是（ ）（1）一个向量组的最大无关组是不唯一的； （2）向量组与其最大无关组是等价的； （3）如果向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性相关； （4）秩相
3、同的向量组一定是等价向量组。928.设，111213212223313233aaa Aaaa aaa 111211132122212331323133aaaa Baaaa aaaa 110 010 001P 则下列等式正确的是（ ）（1）；（2）；（3）；（4）。PAB APB PBA BPA 9.如果矩阵与三角矩阵相似，则的全部特征值为 。A200 520 373 A10.非齐次线性代数方程组有解的充要条件是 。0n nAxb ARb (,)11.设行列式，则 。1112132122233132332aaa aaa aaa 313233212223111213333aaa aaa aaa 1
4、2.下列说法不正确的是（ ）（1）含有零向量的向量组一定线性相关； （2）不含有零向量的向量组一定线性无关； （3）如果一个向量组的部分向量线性相关，则该向量组一定线性相关； （4）如果一个向量组线性无关，则该向量组中任意部分向量构成的向量组一定线性无 关。13.设矩阵，如果，则初等矩111213212223313233aaa Aaaa aaa 111213132122232331323333aaaa Baaaa aaaa APB 阵为（ ）P（1）；（2）；100 010 011P 100 010 011P （3）；（4）。100 011 001P 100 011 001P 14.设满足关系
5、式，其中为单位矩阵，则下列说法不正确的是（ ,n nA BR ABE E）93（1）的行列式均不为零； （2）为可逆矩阵，为不可逆矩阵；,A BAB（3）； （4）。 （其中符号*表示伴随矩阵）*ABA *BAB 15.设，则的秩 。A 111111131123A( )r A 16.设向量组线性无关，如果向量组， 线性相关，123, 21t 32 13 则的值为（ ） 。t（1）1； （2）2； （3）-1； （4）-2。17.对于矩阵，下列说法不正确的是（ ）n nAR （1）如果矩阵中有一行元素全为零，则；AA 0（2）如果矩阵中有两行元素对应成比例，则；AA 0（3）如果交换矩阵的任意两
6、行，则相应的矩阵行列式值不变；A （4）如果将矩阵的某一行加到另外一行，则相应的矩阵行列式值不变。A18.设，则下面说法不正确的是( )n nA BR ,（1）如果，则与相似；AP BP 1AB（2）如果，则与等价；APBQ AB（3）如果 ，则为正交矩阵，其中为单位矩阵；TAAE AE（4）如果，则为对称矩阵。TAA A二、计算题二、计算题1.计算行列式的值。D 1111 2107 3418 1236942.设矩阵，求矩阵。A 101 110 0121A 3.已知向量组， 111 1 1 21023 31 135 ，求该向量组的一个最大无关组。 41247 4.计算阶行列式（）的值。naba
7、b Dab ba 000000000 000LLM M M OM ML Lab 05.为何值时，非齐次线性方程组有唯一解？无解？无穷多解？ 1231231231 4xxx xxx xxx 6.求矩阵的特征值和相应的特征向量。A 200 032 0237.已知向量组， 12101 21320 35162 ，求该向量组的一个最大无关组。 470143 8.设有线性方程组，问为何值时，方程组有唯一解？无解？有12312312343 36 32xxx xxx xxaxb ab、无穷多解？9.设有线性方程组，问为何值时，方程组有唯一解？无解？有无穷多1231231231 22xxx xxx axxxb
8、ab、解？95参考答案参考答案一、1； 2. ； 3.（2） ；4.；5.（1） ； 6.（1） ； 012 122 221 A 0 2,1, 17.（4） ；8.（2） ；9. 2，-2，3； 10. ； 11. -6；( , )( )rank A brank A 12.（2） ； 13.（1） ； 14.（2） 15.2； 16.（1） ； 17.（3） ； 18.（2） 二、解：1利用行列式的性质简化行列式即得D 1111 2107 3418 1236rrrrrr 21314111112012530125 0145 1111 0125 00410 00610 410206102 A E
9、101 100 110 010 012 001M MM M 101 100 011 110 001111M M M， 100 211 010 221 001111M M MA 12112211113将给定的向量按行排列成矩阵，利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵即可：96 12341111 1023 1135 1247 12341111011202240336 ，所以是该向量组的一个最大无关组。 12341111011200000000 12, 4n nabb abab Dab()aabb aab100000 0000 10000 00000LL LLOOMOOM M M OM M O LL（其中两个行列式分别为上三角和下三角行列式）利用特殊行列式即得。11()nnn nDab 5解：此是带有参数的非齐次线性方程组的解的讨论问题。系数矩阵和增广矩阵分别为：， 1111111 A 111411111 B210110111111111 A2111 2111)1( )12)(1( )3)(1( （1）当且时，所以方程组有唯一解； 1 3 0 A3)()( BRAR97（2）时，1 111141111111B 222030001111 300022201111 ，所以方程组无解；3)(, 2)(
