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1、 数列通项公式的求法数列通项公式的求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在 一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数 列难题的瓶颈。下面我总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大 家有帮助。 一、定义法定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方 法适应于已知数列类型的题目法适应于已知数列类型的题目 1 1等差数列是递增数列，前 n 项和为，且成等比数列， nanS931,aaa求数列的通项公式.2 55aS na二、公式法 若已知数列的前n项和与的关系，求数
2、列的通项可用公nSna nana式求解。 2111 nSSnSannn2 2已知数列的前项和满足求数列 nannS1,) 1(2naSn nn 的通项公式。 na类型类型 5 5 递推公式为推公式为（其中（其中 p p，q q 均为常数）均为常数） 。nnnqapaa12解法：先把原递推公式转化为解法：先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中其中 s s，t t 满足满足，再应用前面类型，再应用前面类型 3 3 的方法求解。的方法求解。 qstpts9 9. 已知数列中，,，求。 na11a22annnaaa31 3212na类型 6 递推公式为与的关系式。(或)nSna()n
3、nSf a解法：利用进行求解。 )2() 1(11 nSSnSannn1010. 已知数列前 n 项和. na2214nnnaS（1）求与的关系；（2）求通项公式.1nanana类型 7 双数列型 解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等 方法求解。1111. 已知数列中，；数列中，。当时， na11a nb01b2n,，求,.)2(3111nnnbaa)2(3111nnnbabnanb2 2、通过分解系数、通过分解系数，可转化为特殊数列转化为特殊数列的形式求解。这种方法适的形式求解。这种方法适1nnaa用于用于型的递推式，通过对系数型的递推式，通过对系数 p p 的分
4、解，可得等比数的分解，可得等比数nnnqapaa12列列：设：设，比较系数得，比较系数得1nnaa)(112nnnnkaahkaa，可解得，可解得。qhkpkh,kh,1616、数列满足=0，求数列a 的通 na23, 5, 21221nnaaaanan项公式。1717、数列中，求数列的通项 nannnaaaaa122123 , 2, 1 na公式。1818已知数列满足,求 na11a22annnaaa31 3212na五、特征根法五、特征根法1 1、设已知数列设已知数列的项满足的项满足, ,其中其中求求nadcaabann11, 1, 0cc这个数列的通项公式。作出一个方程这个数列的通项公式
5、。作出一个方程则当则当时，时，为常为常,dcxx10ax na数列，即数列，即，其中，其中是以是以为公比的等比为公比的等比0101,;xbaaxaannn时当nbc数列，即数列，即. .0111 1,xabcbbn n1919已知数列满足：求na, 4,N, 23111anaann.na2 2、对于由递推公式、对于由递推公式，给出的数列给出的数列，nnnqapaa1221,aa na方程方程，叫做数列，叫做数列的特征方程。若的特征方程。若是特征方程的是特征方程的02qpxx na21,xx两个根，当两个根，当时，数列时，数列的通项为的通项为，其中，其中21xx na1 21 1nn nBxAx
6、aA A，B B 由由决定（即把决定（即把和和，代入，代入21,aa2121,xxaa2 , 1n，得到关于，得到关于 A A、B B 的方程组）的方程组） ；当；当时，数列时，数列1 21 1nn nBxAxa21xx 的通项为的通项为，其中，其中 A A，B B 由由决定（即决定（即 na1 1)(n nxBnAa21,aa把把和和，代入，代入，得到关于，得到关于 A A、B B 的方的方2121,xxaa2 , 1n1 1)(n nxBnAa程组）程组） 。2020：已知数列满足 na，求数列的通), 0(0253 ,1221Nnnaaabaaannn na项公式。3 3、如果数列如果数
7、列满足下列条件：已知满足下列条件：已知的值且对于的值且对于，都有，都有na1aNn（其中（其中p p、q q、r r、h h均为常数，且均为常数，且）hraqpaann n1rharqrph1, 0,，那么，可作特征方程，那么，可作特征方程, ,当特征方程有且仅有一根当特征方程有且仅有一根时时, ,则则hrxqpxx0x是等差数列是等差数列; ;当特征方程有两个相异的根当特征方程有两个相异的根、时，则时，则01nax12是等比数列。是等比数列。12nnax ax2121、已知数列na满足性质：对于且求,324,N1 nn naaan, 31a的通项公式. na2222已知数列满足：对于都有na
8、,Nn.325131 nn naaa（1）若求（2）若求（3）若求, 51a;na, 31a;na, 61a;na（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？1ana2323：，求数列的通项公式1,131 11aaaann nna六、构造法六、构造法 构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分 剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图 形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生
9、新的解题方法，这种思维方 法的特点就是法的特点就是“构造构造”.”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的 通项公式，此类题通常较难，通项公式，此类题通常较难， 但使用构造法往往给人耳目一新的感觉但使用构造法往往给人耳目一新的感觉. . 1 1、构造等差数列或等比数列：由于等差数列与等比数列的通项公式显然，、构造等差数列或等比数列：由于等差数列与等比数列的通项公式显然， 对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之 有效的构造方法有效的构造方法. .2424：
10、设各项均为正数的数列的前 n 项和为，对于任意正整数 n， nanS都有等式：成立，求的通项 annnSaa422 nan 2525： 数列中前 n 项的和，求数列的通项公式. nannanS 2na2 2、构造差式与和式：、构造差式与和式：解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差， 然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.2626： 设是首项为 1 的正项数列，且， na012 12nnnnnanaaa（nN*） ，求数列的通项公式 an. 2727： 数列中，且， na3, 121aannnanana)2()3(12 （nN*） ，求通项公式.na3 3、构造商式与积式：、构造
11、商式与积式：构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项 公式的一种简单方法.2828： 数列中，前 n 项的和，求. na21 1annanS21na数列通项公式的求法参考答案：数列通项公式的求法参考答案：9 9.解：由可转化为nnnaaa31 3212)(112nnnnsaatsaa即或nnnstaatsa12)( 3132stts 311ts131ts这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试） ，则 311ts131ts是以首项为，公比)(31112nnnnaaaannaa1112aa为的等比数列,所以,应用类型 1 的方法，分别令311 1)31( n nnaa，代入上式得个等式累
12、加之，即) 1( , 3 , 2 , 1 nn) 1( n210 1)31()31()31( n naa311)31(11 n又，所以。11aQ1)31(43 47n na类型类型 6 6 递推公式为与的关系式。(或)nSna()nnSf a解法：利用进行求解。 )2() 1(11 nSSnSannn1010. 已知数列前 n 项和. na2214nnnaS（1）求与的关系；（2）求通项公式.1nanana解：（1）由得：2214nnnaS111214nnnaS于是)21 21()(1211nnnnnnaaSS所以.11121nnnnaaannnaa21 211（2）应用类型 4 的方法，上式
13、两边同乘以得：12n22211 nn nnaa由.于是数列是以 2 为首项，2 为1214121111aaSanna2公差的等差数列，所以nnann2) 1(22212nnna类型类型 7 7 双数列型 解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加累加、累乘累乘、化归化归等 方法求解。1111. ,，求,.)2(3111nnnbaa)2(3111nnnbabnanb解：因nnba)2(3111nnba)2(3111nnba11nnba所以nnba11nnba1112222bababann即（1）1nnba又因为nnba)2(3111nnba)2(3111nnba)(3111nnba所以nnba)(3111nnba)31(222 nnba)()31(111ban.即（2）1)31(nnnba1)31(n由（1） 、 （2）得：， )31(1 211n na)31(1 211n nb四、待定系数法（构造法） 求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公 式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊 数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的 化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方 法。1 1、通过分解常数、通过分解常数，可转化为特殊数列a +k的形式求解。一般地
