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1、2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及高数部分题解 （仅供参考） 一、选择题：110 小题，每小题4 分，共40 分。该每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中 1。当0x时，与x等价的无穷小量是 （A）1xe （B）1ln1x x （C）11x （D）1 cosx 应选（B） 解析 （A）1xex ，（ C）1112xx，211 cos()2xx，由排除法应选（B） 事实上220001lnln(1)ln(1)211limlimlim111xttx tttx tttx 。 2函数11()tan( ) ()xxeexf x x ee 在, 上的
2、第一类间断点是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）2应选（A） 解析 111100()tan()limlim1 ()()xxxxxxeexeex eeee ，111100()tan()limlim1 ()()xxxxxxeexeex eeee 所以应选（A） 3如图，连续函数( )yf x在区间 3, 2，2,3上的图形分别是直径为 1 上、下半圆周，在区间 2,0,0,2上的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周。设 0( )( )xF xf t dt，则下列结论正确的是 （A）3(3)( 2)4FF （B）5(3)(2)4FF （C）3(3)(2)4FF （D）5(3)( 2)4FF 应选
3、（B） 解析：由定积分的几何意义 115(3)(1)248F ，11(2)122F ，故应选（B） 4。设函数( )f x在0x 处连续，下列命题错误的是 （A）若 0( )lim xf x x存在，则(0)0f （B）若 0( )()lim xf xfx x存在，则(0)0f （C）若 0( )lim xf x x存在，则(0)0f （D）若 0( )()lim xf xfx x存在，则(0)0f 应选（D） 解析 （D）应该是可导的必要条件，但不充分，例如1,0( )0,0xf xx。 5曲线1ln(1)xyex，渐近线条数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 应选（D） 解析 显然
4、0x 是垂直渐近线； 又因为lim0 xy ，所以直线0y 是水平渐近线； 又因为1ln(1)ln(1)limlimlim11xxxxxxxeeex xxe11limln(1)limln(1)limln(1)lnlim ln0x xxxx xxxxxeexexeexe 所以yx是一条斜渐近线。 故应选（D） 6设函数( )f x在(0,)上具有二阶导数，且( )0fx，令( )nuf n(1,2,)n L，则下列结论正确的是 （A）若12uu，则 nu必收敛 （B）若12uu，则 nu必发散 （C）若12uu，则 nu必收敛 （D）若12uu，则 nu必发散 应选（D） 解析，由于1(1)(
5、)()nnnuuf nf nf 由于( )0fx，所以( )fx单调增加，而n是单调增加的，所以121()( )nffuu 而11121121()()( )()nnnuuuuuunfn uuL，所以当12uu时， nu必发散。 7二元函数( , )f x y在(0,0)点可微的一个充分条件是 （A） ( , )(0,0)lim ( , )(0,0)0 x yf x yf （B） 0( ,0)(0,0)lim0 xf xf x， 0(0, )(0,0)lim0 yfyf y （C） 22( , )(0,0)( , )(0,0)lim0 x yf x yfxy （D） 0lim( ,0)(0,0)
6、0xxxfxf ，且 0lim(0, )(0,0)0yyyfyf 应选（C） 解析：连续是可微的必要条件，不充分。所以（A）排除掉； 偏导数存在也是可微的必要条件，不充分。所以（B）排除掉； （C）表示全增量是的高阶无穷小，与可微定义似乎不符，但由 22( , )(0,0)( , )(0,0)lim0 x yf x yfxy 可得 (0,0)(0,0)0xyff 所以 22( , )(0,0)( , )(0,0)lim x yf x yfxy22( , )(0,0)( , )(0,0)(0,0)(0,0)limxyx yf x yffxfyxy 8设函数( , )f x y连续，则二次积分1s
7、in2( , ) xdxf x y dy等于 （A）10arcsin( , ) ydyf x y dy（B）10arcsin( , ) ydyf x y dy（C）1arcsin02( , )ydyf x y dy（D）1arcsin02( , )ydyf x y dy应选（B） 9设向量组123, 线性无关，则下列向量组线性相关的是 （A）122331, （B）122331, （C）1223312,2,2 （D）1223312,2,2 10。设矩阵211121112A ，100010000B ，则A与B （A）合同，且相似 （B）合同但不相似 （C）不合同但相似 （D）既不合同，也不相似 二
8、 1130arctansinlim_ xxx x 解：223220001cosarctansin11 coscos11limlimlim336xxxxxxxxxx xxx 12曲线2coscos1 sinxttyt 上对应于4t的点处的法线斜率为_ 解：由于cos sinsin2dyt dxtt，所以4222xdy dx 从而曲线上对应于4t的点处的法线斜率为22 213设函数1 23yx，则( )(0)_ny 解：( ) 12 ( 1)! (23)nn n nnyx，( ) 12 ( 1)!(0)3nn n nny。 14二阶常系数非齐次线性微分方程2432xyyye的通解为_ 解：特征方程
9、为2430，所以3,1，对应齐次方程的通解为 3 12xxYc ec e 设*2xyae是原方程的通解，代入方程得 222xxaee，从而2a 所以通解为32 122xxxyc ec ee。 15设( , )f u v是二元可微函数，(,)y xzfx y，则_zzxyxy解：1221zyffxxy ，1221zxffyxy，所以122()zzyxxyffxyxy16设矩阵0100001000010000A ，则3A的秩为_ 三 17 （本题满分 10 分） 设( )f x是区间0,4上的单调、可导函数，且满足 ( )100cossin( )sincosf xxttft dttdttt其中1f
10、是( )f x的反函数，求( )f x。 解：方程两端求导得 cossin( )sincosxxxfxxxx即cossin( )sincosxxfxxx所以cossin( )sincosxxf xdxxx令cossin(sincos )(sincos )xxAxxBxx ， 从而( )ln sincosf xxxc 又因为( )f x是区间0,4上的单调，( )100cossin( )sincosf xxttft dttdttt，所以 (0)0f 从而( )ln sincosf xxx 18 （本题满分 11 分） 设D是位于曲线2(1,0)x ayxaax 下方，x轴上方的无界区域 （1）求
11、D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积( )V a （2）当a为何值时，( )V a最小？并求此最小值 解：（ 1）2 2 200( )lnx taaV axadxata dta（2）32 (ln1)( )lnaaV aa，所以驻点为ae。 实际问题一定存在最小值，且有唯一驻点，所以( )V a当ae时最小，此时最小值为 2Ve 19（本题满分 10 分） 求微分方程2()y xyy满足初始条件(1)(1)1yy的特解 解：令yp ，方程变为 2()p xpp 所以1dxxpdpp，从而1()xp pc，由(1)1y可得10c 所以yx ，而yx 不合题意舍去，从而3 2 22 3yxc 由(1)1
12、y可得3 221 33yx。 20 （本题满分 11 分） 已知函数( )f u具有二阶导数，且(0)1f ，函数( )yy x由方程11yyxe所确定，设(lnsin )zfyx，求0xdz dx，202xd z dx解：由于110yydyedxxedy （1） 1(lnsin )(cos)dzfyxdyxdxy （2） 由（1）与（2）可得 111(lnsin )(cos)1yyedzfyxdxxdxyxe从而111(lnsin )(cos )1yydzefyxxdxyxe由于0,1xy，01xdy dx 所以0(0)(1 1)0xdzfdx 212111(lnsin ) (cos ) (cos )1yyd zdyefyxxxdxy dxyxe11111 1211 2(1)()11(lnsin )(sin )1(1)yyyyy yyydydyexeeexedyedxdxfyxxydxxeyxe 所以202(0)( 120)(0)1xd zffdx 21（本题满分 11 分） 设函数( ), ( )f x g x在 , a b上连续，在( , )a b内有二阶连续导数且存在相同的最大值， ( )( ),( )( )f ag af bg b，证明存在( , )a
