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1、数学模拟试题三三（理科） 本试卷共第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分 钟。参考公式： 样本数据，的标准差 锥体体积公式12,x xnx22 121()()() nsxxxxxxn 1 3VSh其中为样本平均数 其中为底面面积，为高x Sh 柱体体积公式 球的表面积、体积公式VSh2344,3SR VR 其中为底面面积，为高 其中为球的半径ShR第卷（选择题 共 50 分） 一. 选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则下列不等式成立的是0abA. B. C. D
2、. 2ababab11 22loglogab0.20.2ab2. 已知是实数集，则R13 ,4 216xMxxNx MN IA. B. C. D. (0,3)2,3(1,3)(1,4)3. “”是“直线与直线互相垂直”的1a 10axy 10axy A. 充要条件B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条 件4. 已知函数图象相邻两对称轴间的距离为，3( )sin()(0)f xaxa4则的值是aA. B. C. D. 2 3 4 65. 如右图，一个由两个圆锥组合而成的空间几何体的正视图和侧视图都是 边长为 1、一个内角为的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几60 何
3、体的体积为A. B. C. D. 3 12 6123 66. 已知函数33xxy在处的极小值为，则等于xababA. B. C. D. 3033 7. 已知正的顶点，顶点在第一象限，若点是内部ABC(1,1), (1,3)ABC( , )P x yABC及其边界上一点，则的最大值为1y xA. B. C. D. 1 23 22 33 3 3 28. 对于不重合的直线和平面，下列命题错误的是,m n, A. 若，则B. 若，则或/ ,mn nm/m/ ,/mn m/nnC. 若，则D. 若，则 ,mn mn,m /m9. 设、是离心率为的双曲线的左、右两个焦点.若在1F2F222221xy ab
4、(0,0)ab（第 5 题图）双曲线左支上存在点，使（为坐标原点)且，则的值P2| |OPOFO21PFPF为A. B.C.D.234252610. 设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立. ( )f xRx(2)(2)0fxfx如果实数，满足不等式，那么mn224(625)(8 )0nf mmf nn 的取值范围是2222mnmn A. B. C. D. 11,4711,397,477,11 二. 填空题：（本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卷的相应位置上）11. .30(1)x dx12. 已知向量，且，则等于 .1 2(1,cos)mu r(sin,1
5、)nrmnu rrsin213. 已知数列的首项为 2，数列为等差数列且（）.若 na nb1nnnbaa*nN,则 .22b 78b 8a 14. 定义在上的函数满足，且,R( )f x(5)( )f xf x22(3) ,003),(xxxxf x 则 .(1)(2)(3)(2013)ffff15. 如图放置的长方形，、分别 在轴、轴的正半轴ABCD2AB 1AD ADxy（含原点）上滑动，则的最大值是 . OC OBuuu ruuu rg 三. 解答题（本大题共 6 小题,共 80 分,把答案填在答题卷的相应位置上） 16.（本小题满分 13 分）在中，、分别是三个内角、的对边，ABCa
6、bcABC4 5sin A ，且的面积为. （I）求的值；（）求2(, )A41a ABC44cos()A的值. bc17.（本小题满分 13 分） 如图，已知是边长为 1 的正方形，平面，ABCDAF ABCD，且CEAF(1)CEAF（）证明：；BDEF （）若，求二面角的最小值1AF BEFD18.（本小题满分 13 分）某化工厂计划投入一条新的生产线，但需要经环保部门批准方可投入生产，经测算这条新生产线前个月的生产累计产量为吨，但如果月产量超过 124n( )(1)(31)f nn nn吨，将会给环境造成危害.（）如果该厂不采取环保措施，试问这条新生产线最多只能生产多少个月，才不会对环
7、境造成危害； （）为了使这条新生产线既能持续生产，同时又不污染环境，每月需要缴纳（第 17 题图）FEDCBA万元的环保费用于治理环境，已知每吨产品售价为万元，第个月这条生产线(0)a a 4 3n的生产成本（环保费除外）为万元，要使每月都有盈利，试求2231131 236( )g nnn的取值范围.a 19.（本小题满分 13 分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线Cx1 2 的焦点.212xy （）求椭圆的方程；C（）过点的直线 与椭圆相切，直线 与轴交于点，( ,0)M mlC(2 3)m lyN当为何值时的面积有最小值？并求出最小值.mOMN20.（本
8、小题满分 14 分）（）已知函数，其图象记为曲线. 曲线在点处的切3( )f xxcxdCC(0,)Ad线 的方程为：.l10xy （）求函数的解析式；( )f x（）给出命题 P：若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线1xC111( ,()P xf x交于另一点，且交 于点；曲线在点处的切线交1l222(,()P xf x1llMC222(,()P xf x2l于点，则为定值. 请证明命题 P 是真命题.lNAMANuuuu ruuu r（）对于一般的三次函数dcxbxaxxg23)(0a，请给出类似于() 中（）的正确命题，并予以证明. 21. （本小题满分 14 分）本题有（1） 、
9、（2） 、 （3）三个选答题，每题 7 分，请考生任选 2 题作答，满分 14 分.如果多做，则按照所做的前两题记分. （1） （本小题满分 7 分）选修 4-2：矩阵与变换已知矩阵（）求矩阵的逆矩阵； （）若直线 经过矩2131 22A ABl阵变换后的直线方程为，求直线 的方程.B730xyl （2） （本小题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为C2cos轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为（ 为参数）.若直xl11,5 2 5xty at t线 与圆相交于,两点，且.lCPQ4 5 5|PQ （）求圆的直角
10、坐标方程，并求出圆心坐标和半径； C（）求实数的值.a （3） （本小题满分 7 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数，( ) |3|f xx( )|4|g xxm （）已知常数，解关于的不等式； 2a x( )20f xa（）若函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围.( )f x( )g xm数学（理）模拟试题三参考答案及评分标准数学（理）模拟试题三参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.）题号12345678910答案CBBCACBDAA二、填空题（本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分）11. ；12. ；13. ；14. ；
11、15. 15 23 416802616. 解：（）， 4 52sin,AAQ2243 55cos1 sin1 ( )AA 2 分 22342 225510cos()(cossin)()4AAA即的值是 6cos4A2 10分（）由已知得 81sin42bcA 8 4 5810sinbcA分由余弦定理，得 得2222cosabcbcA3 541,10,cosabcA Q223 5412 10 ()bc 112229bc 分,即的值是222()2292049bcbcbc7bc bc 7.13 分 17 （）方法 1：连结是正方形 （2 分）ACABCDBDAC平面 （4 分）AF ABCDAFBD
12、 平面 （6 分）BD ACEF （7 分）BDEF 方法 2：如图建立空间直角坐标系Axyz， （2 分）(1,0,0)B(0,1,0)D)0 , 1 , 1(BD设，那么， （4 分）(0,0, )Fh(1,1,)EhABCDEFxyzMO则 （5 分）)1 ( , 1, 1(hEF （7 分）0 EFBDBDEF（）方法 1：作于，连结，BMEFMDM 设交于,连结ACBDOMO由图形的对称性可知， DMEF是二面角的平面角，且 （9 分）BMDBEFD2BMDBMO 222221,2,(1)2BEBFEF则 2cos, 22FBE 222sin 22FBE （11 分）22sin223BF BEFBEBMEF 2222 2212si32222n1BOBMOBM令，则 （14 分）21t 224241sin119229222tBMOtttt二面角的最小值为 （15 分）BEFD60o 方法 2：， (1,0,0)B(0,0,1)F(1,1, )E), 1 , 0(),1 , 0 , 1(BEBF则平面的法向量是 （9 分）BEF) 1 , 1 (n平面的法向量是
