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1、1专业：班级：姓名： 提出问题：某钢管零售商从钢管厂家进货，将钢管按照客户的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m.1)现有一客户需要 50 根 4m、20 根 6m 和 15 根 8m的钢管。应如何下料最节省？2)零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3 种。此外，该客户除需要 1）中的三种钢管外，还需要 10 根 5m 的钢管。应如何下料最节省？问题 1）的求解1） 问题分析。首先，应当确定哪些切割模式是可行的，所谓一个切割模式，是指按照客户需要在原料上安排切割的一种组合。例如;可以将
2、19m 的钢管切割成 3 根 4m 的钢管，余料为 7m;或者将 19m 的钢管切割成 4m,6m 和 8m2的钢管各 1 根，余料为 1m.显然，可行的切割模式是很多的。其次，应当确定哪些切割模式是合理的。通常假设一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于客户需要的钢管的最小尺寸。例如：将 19m 的钢管切割成 3根 4m 的钢管式可行的，但余料为 7m,可以进一步将7m 的余料切割成 4m 钢管（余料为 3m）,或者将 7m 的余料切割为 6m 的钢管（余料为 1m） 。在这种合理性假设下，切割模式一共有 7 种，如下表：钢管下料的合理切割模式4m 钢管数6m 钢管数8m 钢管数余料/m模式
3、 14003模式 23101模式 32013模式 41203模式 51111模式 60301模式 70023问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪些合理3的模式，切割多少根原料钢管，最为节省。而所谓节省，可以有两种标准：一是切割后剩余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。下面对着两个目标分别进行讨论。2） 模型建立。决策变量：用 xi 表示按地 i 种模式（i=1,2,7）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负数。目标函数：以切割后剩余的总余料量最少为目标，则由上表可得 z1 = 3x1 + x2 + 3x3 + 3x4 + x5 + x6 + 3x7 (1式)以切割原料钢管的总根数
4、最少为目标，则有：z2 = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 （2 式）下面分别在这两种目标下求解。约束条件：为满足客户的需求，按照上表应有：4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 + x5 = 50 x2 + 2x4 + x5 + 3x6 = 20x3 + x5 + 2x7 =153)模型求解。1、 将（1）式与以上约束条件构成的整数线性规4划模型（加上整数约束）输入 Lindo 求得最优解求得最有解为：x2=12,x5=15,其余均为零，最优值z1=27下料方式；按照模式 2 切割 12 根原料钢管，按照模式 5 切割 15 根原料钢管，共 27 根，总余
5、料量 27m.显然，在总余料量最小的目标下，最优解将是使用余料尽可能下的切割模式（模式 2 和模式 5 的余料为 1m）,这会导致切割原料钢管的总根数较多。2、 将（2）式与以上约束条件构成的整数线性规5划模型（加上整数约束）输入 Lindo 求解，可以得到最优解为：x2=15;x5=5;x7=5,其余变量均为零，最优解为 z2=25下料方式:按照模式 2 切割 15 根原料钢管、按模式5 切割 5 根、按模式 7 切割 5 根，共 25 根，可算出总余料量为 35 根。与上面得到的结果相比，总余料量增加了 8m,但是所用的原料钢管的总根数减少了 2 根。在余料没有什么用途的情况下，通常选择总
6、根数最少为目标。问题 2）的求解1） 问题分析。6按照问题 1）的思路，可以通过枚举法首先确定哪些切割模式是可行的。但是由于需求的钢管规格增加到 4 种，所以枚举法的工作量比较大。但是整数非线性规划模型，可以同时确定切割模式和切割计划，是带有普遍性的方法。同问题 1)类似，一个合理的切割模式的余料不应该大于和等于客户需要的钢管的最小尺寸（本题中为4m） ，切割计划中只使用合理的切割模式，而由于此问题中参数都是整数，所以合理的切割模式的余量不能大于 3m,此外，这里仅选择总根数最少为目标进行求解。2） 模型建立。决策变量：由于不通过的切割模式不能超过三种，可以用 xi 表示按照第 i 种模式（i
7、=1,2,3）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负数。设：所使用的第 i 种切割模式下每根原料钢管生产 4m,5m,6m 和8m 的钢管数量分别为 r1i、r2i、r3i、和 r4i（均为非负整数） 。目标函数：为满足客户的需求，应有r11x1+r12x2+r13x3=50,r21x1+r22x2+r23x3=10,r31x1+r32x2+r33x3=20,7r41x1+r42x2+r43x3=15.每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不能超过 19m,也不能少于 16m(余量不能大于 3m),于是16=x2=x3另一方面，所需原料钢管的总根数有着明显的上界和下界。 首先
8、，无论如何，原料钢管的总根数不可能少于(4*50+5*10+6*20+8*15)/19=26 根。其次，考虑一种特殊的下料方式：第一种切割模式下只生产 4m 钢管，一根原料钢管切割成 4 根 4m 钢管，为满足 50 根 4m 钢管的需求，需要 13 根原料钢8管；第二种切割模式下只生产 5m,6m 钢管，一根原料钢管切割成一根 5m 钢管和 2 根 6m 钢管，为满足 10根 5m 和 20 根 6m 钢管的需求，需要 10 根原料钢管；第三种切割模式下只生产 8m 钢管，一根原料钢管切割成 2 根 8m 钢管，为满足 15 根 8m 钢管的需求，需要 8 根原料钢管。于是满足要求的这种生产
9、计划共需 13+10+8=31 根原料钢管，这就得到了最优解的一个上界。所以，课增加约束26=x1+x2+x3=31将原问题的模型及新增加的约束条件输入 Lingo 9求得最优解为：x1=10,x2=10,x3=8,10r13=3,r12=r43=2,r22=r31=r32=1，r13=r21=r23=r33=41=r42=0,最优值 z = 28下料方式：按照模式 1，2,3 分别切割 10,10,8 根原料钢管，使用原料钢管总根数 28 根。第一种切割模式下一根钢管切割成 3 根 4m 钢管和 1 根 6m 钢管；第二种切割模式下，一根原料钢管切割成 2 根 4m 钢管、1 根 5m 钢管和 1 根 6m 钢管；第三种切割模式下一根原料钢管切割成 2 根 8m 钢管。
