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1、模块六 数列 考纲解读最重要的是考纲解读最重要的是 数列求和性质数列求和性质高考大纲要求层次考试内容ABC数列的概念和表示法数列的概念和表示法等差数列的概念等差数列等差数列的通项公式与前 n 项和公式等比数列的概念等比数列等比数列的通项公式与前 n 项和公式分析解读（1）以数列的前 n 项为背景，考查通项公式.（2）以数列的递推公式为载体，考差数列各项的求法及数列的通项.（3）由数列前 n 项和，求通项.nSna（4）理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.（5）体会等差数列与一次函数的关系，掌握等差数列的一些基本性质.（6）理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的
2、通项公式和前 n 项和公式.（7）体会等比数列与指数函数的关系.（8）掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.（9）能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题. 知识导航知识导航数列基础知识定义项，通项数列表示法数列分类等差数列等比数列定义通项公式前n项和公式性质特殊数列其他特殊数列求和数列 考点剖析考点剖析考点一考点一 数列的通项公式数列的通项公式数列的通项的求法：1、公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。2、已知（即）求，用作差法：。nS12( )naaaf nLna11,(1) ,(2)nnnSnaSSn3、已知求，用作商法：
3、。)(21nfaaanLna(1),(1) ( ),(2)(1)nfn f nanf n4、若求用累加法：1( )nnaaf nna11221()()()nnnnnaaaaaaaL。1a(2)n 5、已知求，用累乘法：。1( )nnaf nana12 1 121nn n nnaaaaaaaaL(2)n 6、已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列） 。特别地，形如、na1nnakab（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列1n nnakab, k bk后，再求。形如的递推数列都可以用倒数法求通项。na11n n naakab考点二考点二 数列的前数列的前 n 项和项和数
4、列求和的常用方法：1 1、公式法：、公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与 1 的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：，1123(1)2nn n L222112(1)(21)6nn nnL.33332(1)1232n nnL2 2、分组求和法、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.3 3、相加法、相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和n公式的推导方法）.4 4、错位相减法、错位相减
5、法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.n5 5、裂项相消法、裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：； 111 (1)1n nnn；11 11()()n nkk nnk，2211111()1211kkkk21111111 1(1)(1)1kkkkkkkkk； ；1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn；11 (1)!(1)!n nnn.2122(1)2(1)11nnnnnnnnn 6 6、通项转换法通项转换法：先
6、对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。考点三考点三 等差数列的运算等差数列的运算1、等差数列的判断方法：定义法或。1(nnaad d为常数）11(2)nnnnaaaan2、等差数列的通项：或。1(1)naand()nmaanm d3、等差数列的前和：，。n1() 2n nn aaS1(1) 2nn nSnad4、等差中项：若成等差数列，则 A 叫做与的等差中项，且。, ,a A bab2abA考点四考点四 等差数列的性质等差数列的性质1、当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函0d 11(1)naanddnadn数，且斜率为公差；前和是关于的二次dn2 11(1)()222n
7、n nddSnadnann函数且常数项为 0.2、若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，0d 0d 0d 则为常数列。3、当时,则有，特别地，当时，则有mnpqqpnmaaaa2mnp.2mnpaaa4、若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、na nbnkannkapbkp、 ，也成等差数列，而成等比数列；*( ,)p nqap qN232,nnnnnSSSSSnaa若是等比数列，且，则是等差数列.na0na lgna5、在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，na2nSSnd偶奇21n，（这里即） ；。SSa奇偶中21(21)nSna中a中na:(1):奇偶SS
8、kk6、若等差数列、的前和分别为、，且，则na nbnnAnB( )nnAf nB.2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB7、 “首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等n差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。n法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正） ； 00 0011nnnn aa aa或法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注nn意数列的特殊性。*nN8、如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项
9、仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.nmab考点五考点五 等比数列的运算等比数列的运算1、等比数列的判断方法：定义法，其中或1(nnaq qa为常数）0,0nqa11nnnnaa aa。(2)n 2、等比数列的通项：或。1 1n naa qn m nmaa q3、等比数列的前和：当时，；当时，。n1q 1nSna1q 1(1) 1nnaqSq1 1naa q q4、等比中项：若成等比数列，那么 A 叫做与的等比中项。, ,a A bab考点六考点六 等比数列的性质等比数列的性质1、当时，则有，特别地，当时，则有mnpqqpnmaaaa2mnp.2 pnmaaa2、若是等比数列，则、成等比数
10、列；若 na|na*( ,)p nqap qNnka nnab、成等比数列，则、成等比数列； 若是等比数列，且公比，则数列nna bnna bna1q ，也是等比数列。当，且为偶数时，数列232,nnnnnSSSSS1q n，是常数数列 0，它不是等比数列.232,nnnnnSSSSS3、若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若10,1aqna10,1aqna，则为递减数列；若, 则为递增数列；若10,01aqna10,01aqna，则为摆动数列；若，则为常数列.0q na1q na4、当时，这里，但，这是1q baqqaqqaSnn n11110ab0,0ab等比数列前项和公式的一个特征，据
11、此很容易根据，判断数列是否为等比数nnSna列。5、.mn m nmnnmSSq SSq S6、在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，na2nSqS偶奇21n.1SaqS奇偶7、如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列nana仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。na考点七考点七 数列的综合应用数列的综合应用1、数列应用题常见模型：（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差；（2）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；（3）递推数列模
12、型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑与的递推关系，还是与之间的递推关系.na1nanS1nS2、数列应用题的求解策略：（1）构造等差、等比数列的模型（有时也会是其他较特殊的数列）.（2）运用相关概念、性质及求和公式进行运算.（3）通过“归纳猜想证明”的思路探索规律，并尝试应用规律解题.3、等价转化和分类讨论的思想方法在求解中起重要作用，复杂的数列问题总是要通过转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题来解决.真题演练真题演练1.1.【2010 北京,2,5 分】在等比数列中，公比.若，则na11a 1q12345maa a a a am （A）9 （B）10
13、（C）11 （D）12举一反三举一反三1.11.1【2010 福建,11,4 分】在等比数列an中，若公比 q=4，前 3 项的和等于 21，则该数列的通项公式an= .1.21.2 【2012 安徽,4,5 分】公比为等比数列的各项都是正数，且，则32na31116a a =（ ）162log a( )A4( )B5( )C()D1.31.3 【2012 浙江,13,4 分】设公比为 q（q0）的等比数列an的前 n 项和为 Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则 q=_。2.2. 【2008 北京,6,5 分】已知数列对任意的满足，且 na*pqN，p qpqaaa，那么等于（ ）
14、26a 10aA B C D165333021举一反三举一反三2.12.1 【2012 上海,18,5 分】设，在25sin1n nannnaaaSL21中，正数的个数是（ ）10021,SSSLA25 B50 C75 D1002.22.2 【2012 课标全国,16,5 分】数列满足，则的前项na1( 1)21n nnaan na60和为 2.32.3【2012 福建,14,4 分】数列an的通项公式 an=ncos+1，前 n 项和为 Sn，则 S2012= _ 3.3.【2012 北京,10,5 分】已知等差数列为其前 n 项和。若，则nanS211a32aS =_。2a举一反三举一反三3.13.1【2012 重庆,1,5 分】在等差数列中，则的前 5 项和=na12a54ana5SA.7 B.15 C.20 D.25 3.23.2【2012 浙江,7,5 分】设是公差为 d（d0）的无穷等差数列an的前 n
