11多姿多彩的图形

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1、第 1 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制年年 级级初一学学 科科数学版版 本本通用版内容标题内容标题多姿多彩的图形编稿老师编稿老师陈明【本讲主要内容本讲主要内容】 多姿多彩的图形（立体图形与平面图形；图形中的点、线、面、体） （1）认识柱体、锥体与球体等立体图形，并会进行识别与判断； （2）会画基本几何体组成的简单组合体的三视图，并能根据三视图描述基本几何体或 实物模型。【知识掌握知识掌握】 【知识点精析知识点精析】 1. 几何图形的分类、画法几何图形的分类、画法 几何图形分为立体图形和平面图形两大类，常见的几何立体图形有：柱体（棱柱体和 圆柱体） 、锥体（圆锥体和棱锥体）和球体，小学学

2、过的长方形、三角形、圆、梯形、扇形 等都是平面图形。如上图、都是柱体，它们分别是正方体、长方体、圆柱体、四棱柱、 三棱柱；图是球体，图是圆锥，棱柱体简称为棱柱，根据侧棱条数的多少。可以将棱 柱分成三棱柱、四棱柱、五棱柱以此类推，棱锥可以分成三棱锥、四棱锥、五棱 锥 在画立体图形时，上下底面如果是圆，应画成椭圆；如果是正方形，应画成有个内角 是 45的平行四边形。并把看不到的地方用虚线表示。 例 1. 把下列图形与对应的名称用线相连起来解析：解析：根据各种立体图形的特征连线。第 2 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制解：解：用线相连是解题规律：解题规律： 圆柱、圆锥先找底面有圆的，再由侧面确

3、定是圆柱还是圆锥。 棱锥侧面是三角形、棱柱侧面是长方形或正方形。 2. 立体图形与平面图形的互相转换立体图形与平面图形的互相转换 运用展开视图和截一个几何体等手段，可以把生活中的立体图形（三维空间）转换为 平面图形（二维空间） 。（1）展开与折叠是两个相反的过程，许多立体图形是由一些平面图形围成的，将它们 适当剪开，就可以展开成平面图形。正方体的平面展开图是六个相同的正方形，圆柱的侧 面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形。而把棱锥从不同的棱展开，会得到不同的 平面展开图，如下图是三棱锥展开而得到的二种不同平面图形。（2）三视图：三视图是从物体的正面、上面、侧面（通常是指左面）三个不同的方向

4、 描绘的平面图。其中，从正面看到的图形，称为主视图；从上面看到的图形称为俯视图； 从侧面看到的图形称为左视图，下图所示的右边三个平面图形分别是左边这个物体的正视 图、俯视图和侧视图。3. 几何体中的点、线、面几何体中的点、线、面 几何体简称为体（solid） 。长方体、正方体、球、圆柱、棱柱、棱锥等都是几何体，包 围着体的是面（surtace） ，面有平面和曲面之分；面和面相交的地方形成线（1ine） ，线有直 线和曲线两种；线和线相交的地方是点（point） 。因此点、线、面是构成图形的基本元素。 例 2. （1）正方体是由几个面围成的？圆柱是由几个面围成的？它们都是平面吗？ （2）圆柱的侧

5、面和底面相交成几条线？它们是直的还是曲的？第 3 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制（3）长方体有几个顶点？经过每个顶点有几条棱？ 解析：解析：（1）画出正方体、圆柱和长方体的图形，观察图形的特征解题。 解：解：（1）正方体是由 6 个面围成的，它们都是平的；圆柱由三个面围成，其中有两个 平面，一个曲面。 （2）圆柱的侧面和底面各交在一条线，它们都是曲的。 （3）长方体有 8 个顶点，经过每个顶点有 3 条棱。 解题规则：解题规则：图形是由点、线、面构成的，面有平的、也有曲的、面与面相交得到线， 线有直的也有曲的。 4. 点动成线，线动成面，面动成体点动成线，线动成面，面动成体 点、线、面

6、、体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图形，形成多姿多彩的图 形世界。 点通常表示一个物体的位置，运动的点可形成直线或曲线。例如，在交通图上用点表 示城市位置，而电视屏幕上的图像也都是由点组成的，飞机在高空喷出的尾气留下一条直 线。 面动成体，就是将平面或曲面经过平移或旋转，可以形成几何体，例如，把圆绕着它 的直径旋转 180就形成了球。 例 3. 如图，第一行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第二行的某几何体，分别指出 A、B、C、D、E 由第一行中的哪个图形旋转形成的。 解析：解析：“线动成面” ，平面图形中的线旋转一周后都可以形成面，再根据这些面围成的 几何体的特征判断出是哪一种几何体。

7、 解：解：A、B、C、D、E 分别是由（2） 、 （4） 、 （3） 、 （5） 、 （1）旋转形成的。【解题方法指导解题方法指导】 例 1. 生活中需要了解整个立体图形展开的形状。例如，包装一个正方体的物体，需要根 据它的平面展开图来裁剪纸张。 下图所示的图形（1）（11）中，能折成正方体的有_; 你还能画出正方体的 3 个展开图吗？ 把一个正方体的表面展成平面图形，需要至少剪开_条棱。第 4 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制解析：解析：正方体的表面是由六个正方形围成的立体图形，如果恰当地剪开正方体的 7 条 棱，就可以把正方体展开成一个平面图形，同一个正方体，按不同的方式展开形成的平

8、面 展开图不同。 解：解：能折成正方体的图形有（1）（5）和（10） ； 正方体共有 11 种展开图； 即：图（1）（5）和（12）这六个图简称为“中间三连方，两侧各有一、二个” ，共 3 种（如下图（16）所示） ；两排各有 3 个，也只有 1 种（如图（17）所示） 。因此，下图 （12）（17）都能折成正方体；7 条。因为正方体的一条棱剪开后，变成展开图中小正方形的两条边，从而展开图 的外边线共有十四条边，故剪开了七条棱。方法技巧：方法技巧：将正方体展开成平面图形时，未剪开的棱有 5 条，剪开了 7 条棱。因此， 其展开图的外边线共有 14 条边，内边线共有 5 条边，这条规律可以作为判

9、别正方体的展开 图是否正确的重要依据。例 2. 下图是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子。将它们按时间先后顺序进行排列， 正确的是（ ）A. B. C. D. 第 5 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制解析：解析：根据光线的方向辨认实物的阴影，早晨太阳从东方升起，建筑物的阴影应指向 西方，所以图表示的是早晨的时刻；相反图表示的太阳下山前的时刻。由上图可知建 筑物的阴影沿顺时针的方向变化，即顺序应为。 解：解：C例 3. 如图，在正方体两个相距最远的顶点处分别逗留着一只苍蝇和一只蜘蛛，蜘蛛可以 从哪条最短的路径爬到苍蝇处？说明你的理由。解析：解析：把立体图形转化为平面图形，再根据“两点之间线

10、段最短”就可以确定蜘蛛的 路径。 解：解：由于蜘蛛只能在正方体的表面爬行，所以只需作出这个正方体的展开图并用点标 出苍蝇和蜘蛛的位置，根据“两点之间线段最短”这一常识可知，连结这两个点的线段就 是最短的路径。 方法技巧：方法技巧：由于可以从不同的角度展开正方体，因此作展开图有 6 种不同的方法选取 最短的路径，而其中每一条都通过连结正方体两个顶点的棱的中点。例 4. 有一个正方体，红、黄、蓝色的面各有两面，在这个正方体中，有一些顶点颜色都 不同的面的交点，这种顶点最多有多少个？最少有多少个？ 解析：解析：正确利用正方体的面、顶点、棱的概念解答。 解：解：颜色相同的面两两相对时，符合题意的顶点最

11、多有 8 个；颜色相同的面两两相邻 时，符合题意的顶点最少有 2 个。 方法技巧：方法技巧：要使与同一个顶点相邻的面颜色都不相同，只要使颜色相同的面两两相对 即可；要使三种颜色不同的面的交点数最少，只要使颜色相同的面两两相邻即可。例 5. 如图所示的长方体木箱，其长、宽、高分别为 5cm、4cm、3cm，有一只昆虫从箱 的顶点 A 出发沿棱爬行，每条棱都不得重复爬过，则昆虫回到点 A 时，最多爬_cm。第 6 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制E D B C F G A H 解析：解析：依题意知，昆虫应爬过长为 5cm 的四条棱，并尽可能多地爬过 4cm 的棱，以 3cm 的棱作为过渡。

12、解：解：34cm。可以设计最长的爬行线路如下：ABCDEFGHA 从而 AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA=3+5+4+5+3+5+4+5=34cm。 方法技巧：方法技巧：要使昆虫爬行的线路最长，应通盘考虑：舍去几条棱？留下的棱能否构成 一个连贯的通路？【考点突破考点突破】 【考点指要考点指要】 本节主要的考点要求对空间图形有较准确的认识和感受，中考重在考查学生空间想象 能力，从丰富的立体图形中抽象出几何体，画简单组合体的从不同方向看而得到的平面图 形及简单的立体图形的展开图。【典型例题分析典型例题分析】 例 1. （05，丰台） （1）如下图所示，我是三角形，三根火柴一个我，五根

13、火柴二个我， 七根火柴三个我，几个火柴 n 个我？ （2）用六根火柴棒最多可以搭成_个三角形； （3）用九根火柴棒最多可以搭成_个三角形。解析：解析：填写下列表格：火柴棒根数3579 三角形个数1234n由表中数据知，当火柴的根数分别为 3 根、5 根、7 根、9 根时，可拼成的三角形个数 分别为 1 个、2 个、3 个、4 个，从中不难发现：图形中火柴棒的根数依次增加 2 根，三角 形的个数依次增加 1，即火柴棒的根数是所拼成的三角形个数的 2 倍加 1（n1） ，因此， 当拼成的三角形个数为 n 时，所需火柴棒根数为（2n+1） 。 答案：答案：（1）用（2n+1）根火柴棒可拼成 n 个三

14、角形；（2）4；（3）7例 2. （05，济南）阅读下列短文，并回答有关问题： 一笔画就是指从图形上的某一点出发，笔不离开纸，而又不重复图中任何一条边第 7 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制（准许个别点经过多次） ，可以一笔画出整个图形，其规律是：学生宿舍 图书馆 学生俱乐部 计算中心 足球场 教学楼 体育馆 （1）图形必须是连通的，即图形上的任何两点，必定有若干条线连接起来； （2）一个图形如果都是偶点（一个点，以它为端点的线数是偶数的，称为偶点） ，能 一笔画，画时可以以任何一点为起点，最后仍回到这点； （3）一个图形如果只有两个奇点（一个点，以它为端点的线数是奇数的，称为奇点） ，

15、 能一笔画，画时必须以其中一个奇点为起点，以另一个奇点为终点。 红胜中学七年级“三好学生”代表团参观了某大学的教学大楼、图书馆、学生宿舍、 计算中心、体育馆、学生俱乐部，最后到足球场观看大学生足球比赛，上图是他们的参观 路线图，参观时他们没有走重复的路线，请你判断他们是从哪里开始参观的？并猜出他们 走的路线。 解析：解析：图中的线段表示他们留下的足迹。因为参观时没有走重复的路线，所以是一笔 画问题，图中有两个奇点：“学生宿舍” 、 “足球场” ，它们应看作一笔画的起点和终点。 解：解：参观团可能的一条路线是：学生宿舍学生俱乐部教学楼计算中心学生俱 乐部图书馆学生宿舍教学楼体育馆足球场图书馆教学楼足球场。 方法技巧：方法技巧：凡是与起点和终点相连的线的条数同为偶数或同为奇数；与过路点相连的 线的条数为偶数的图形。都能“一笔而画” 。例 3. （05，南宁）长方形的长宽分别为 16，12。 （1）以长方形的长为旋转轴旋转一周，形成的几何体是_，其体积为 _；（利用计算器计算，结果保留 ） （2）你能利用“面动成体”的知识，形成三种体积不同的圆柱体吗？其中体积最大的 圆柱体是_； （3）你能形成其他的几何体吗？请说明它们的形成过程。解析：解析：面动成体，关键抓住三点：旋转轴、旋转