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1、大成教育大成教育 一对一个性化辅导1 大德 大智 大成教学内容教学内容考纲解读考纲解读向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介主要考查：1平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则2向量的坐标运算及应用 3向量和其它数学知识的结合如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用知识点一、向量的概念及几个运算知识点一、向量的概念及几个运算1认识向量的几何特性对于向量问题一定要结合图形进行研究向量方法可以解决几何中的证明2注意O与 O 的区别零向量与任一向量平行3注意平行向量与平行线段的区别用向量方法证明 A
2、BCD，需证ABCD，且 AB 与 CD 不共线要证A、B、C 三点共线，则证ABAC即可4向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点例例 1、如图所示，D 是ABC 边 AB 上的中点，则向量CD等于（ ）ABCBA21BBCBA21CBCBA21DBCBA21例例 2、 已知向量2132eea，2132eeb，2192eec，其中1e、2e不共线，求实数、，使bac例例 3、如图所示，OADB 是以向量OAa，OBb为邻边的平行四边形，又BM31BC，CN31CD，试用ADBC大成教育大成教育 一对一个性化辅导2
3、大德 大智 大成a、b表示OM，ON，MN例例 4. 设a，b是两个不共线向量，若a与b起点相同，tR，t 为何值时，a，tb，31(ab)三向量的终点在一条直线上？解：解：设)(31baabta (R)化简整理得：0)31() 132(bta不共线与ba， 2123030132tt故21t时，)(31,babta三向量的向量的终点在一直线上变式训练变式训练 4：已知,OAa OBb OCc ODd OEeuu u rr uuu rr uuu rr uuu ru r uuu rr ，设tR，如果3,2,acbdrrru r()et abrrr ，那么t为何值时，,C D E三点在一条直线上？解
4、：解：由题设知，23 ,(3)CDdcba CEectatbuuu ru rrrr uuu rrrrr ，,C D E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CEkCDuuu ruuu r ，即(3)32tatbkakb rrrr ，整理得(33 )(2)tk akt b rr .若, a br r 共线，则t可为任意实数；若, a br r 不共线，则有33020tktk ，解之得，6 5t .综上，, a br r 共线时，则t可为任意实数；, a br r 不共线时，6 5t .知识点二、知识点二、平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算1认识向量的代数特性向量的坐标表示，实现了“形”与
5、“数”的互相转化以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化2由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算BOADCNM大成教育大成教育 一对一个性化辅导3 大德 大智 大成例例 1、已知点 A（2，3） ，B（1，5） ，且AC31AB，求点 C 的坐标例例 2、 已知向量a(1, 2)，b(x, 1)，1ea2b，2e2ab，且1e2e，求 x例例 3、在平行四边形 ABCD 中，A(1，1)，AB(6，0)，点 M 是线段 AB 的中点，线段 CM 与 BD 交于点 P(1) 若AD
6、(3，5)，求点 C 的坐标；(2) 当|AB|AD|时，求点 P 的轨迹解：解：(2) ADAB 点 D 的轨迹为(x1)2(y1)236 (y1)M 为 AB 的中点P 分BD的比为21设 P(x，y)，由 B(7，1) 则 D(3x14，3y2)点 P 的轨迹方程为) 1(4) 1()5(22yyx变式训练变式训练 3.在直角坐标系 x、y 中，已知点 A(0，1)和点 B(3，4)，若点 C 在AOB 的平分线上，且|OC|2，求OC的坐标解解 已知 A (0，1)，B (3，4) 设 C (0，5)，D (3，9)则四边形 OBDC 为菱形 AOB 的角平分线是菱形 OBDC 的对角
7、线 OD2103OCOD)5103,510( 1032ODOC 知识点三、平面向量数量积知识点三、平面向量数量积（1） 、两个非零向量夹角的概念、两个非零向量夹角的概念已知非零向量 a 与 b，作a，b，则AOB (0)叫 a 与 b 的夹角.OAOB说明：(1)当 0 时，a 与 b 同向； (2)当 时，a 与 b 反向；AMBCDP大成教育大成教育 一对一个性化辅导4 大德 大智 大成(3)当 时，a 与 b 垂直，记 ab；2(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的. （2） 、数量积的定义、数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角是 ，则数量abcos 叫 a
8、 与 b 的数量积，记作 ab，即有 ababcos(0). 说明：(1)零向量与任一向量的数量积为 0，即 0a0； (2)符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替. （3） 、数量积的几何意义、数量积的几何意义 两个向量的数量积等于其中一个向量的长度与另一个向量在其上的投影值的乘积. 说明：这个投影值可正可负也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数. （4） 、数量积的重要性质、数量积的重要性质 设 a 与 b 都是非零向量，e 是单位向量，0是 a 与 e 夹角， 是 a 与 b 夹角. eaaeacos0 abab0 当 a 与 b 同向时，abab 当 a
9、与 b 反向时，abab 特别地，aaa2或aa aa 2cosabababab（5） 、数量积的运算律、数量积的运算律 已知 a，b，c 和实数 ，则向量的数量积满足下列运算律： abba (交换律)(a)b (ab)a(b) (数乘结合律) (ab)cacbc (分配律)说明：说明：(1)一般地，(ab)ca(bc) (2)acbc，c0ab (3)有如下常用性质：a2a2， (ab)(cd)acadbcbd (ab)2a22abb2例例 1、已知|a|3，|b|4，|ab|5，求|2a3b|的值例例 2、 已知向量a(sin，1)，b(1，cos)，22大成教育大成教育 一对一个性化辅导
10、5 大德 大智 大成(1) 若 ab，求；(2) 求|ab|的最大值例例 3、 已知 O 是ABC 所在平面内一点，且满足(OBOC)(OBOC2OA)0，判断ABC 是哪类三角形例例 4 4、已知 a、b 都是非零向量，且 a3b 与 7a5b 垂直，a4b 与 7a2b 垂直，求 a 与 b 的夹角.例例 5 5、设 a，b 为两个相互垂直的单位向量，是否存在整数 k，使向量 mkab 与 nakb 的夹角为 60，若 存在，求 k 值；若不存在，说明理由.例例 5、平面向量13( 3, 1),( ,)22abrr，若存在不同时为0的实数k和t，使2(3)xatbrrr,ykatb rrr
11、且xyrr，试求函数关系式( )kf t.知识点四、线段的定比分点和平移知识点四、线段的定比分点和平移1 设 P1P2是直线 L 上的两点，点 P 是 L 上不同于 P1、P2的任意一点，则存在一个实数 使PP12PP， 叫做点P 分有向线段PP1所成的比。 （-1）2设 P1（x1、y1） ，P2（x2、y2） ，点 P（x0、y0）分21PP的比是 时，（1）定比分点坐标公式为：大成教育大成教育 一对一个性化辅导6 大德 大智 大成（1） 而 1121 021 0yyyxxx 01012020xxyy xxyy（2）中点坐标公式：（当时 P 即为线段 P1P2的中点。 ）1.即其坐标为（）
12、.121222xxxyyy2,22121yyxx3 平移公式：将点 P（x、y）按向量a（h、k）平移得到点 P（x，y） ，则+a 或PO OP .,kyyhxx曲线 yf（x）按向量 a（，）平移后所得的曲线的函数解析式为：yf（x)例例 1、已知且是的三等分点，试求的坐标.(1,1), (2,3), (8, 3)OAB,C DABuuu r,OC ODuuu r uuu r例例 2、把函数的图像按向量平移后得到的图像的函数解析式为，则2xy FarF221xy=_.ar例例 3、把函数的图像按向量平移后得到函数的图像，则平移前图像的函F(,2)3ar2sinyxFF数解析式为_.知识点五
13、、向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇知识点五、向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍 （1）重心中线的交点：重心将中线长度分成 2：1； （2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合OABCDE大成教育大成教育 一对一个性化辅导7 大德 大智 大成（1 1）是是的重心的重心. .0OCOBOAOABC 证法 1：设),(),(),(),(332211yxCyxByxAyxO0OCOBOA 0)()()(0)(
