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1、课题报告-金融数学基础学院：# 专业：# 姓名：# 学号：#数学方法的万能性与广泛性使它能够处理种类众多的问题，如空间的和运动的，机会的和概率的，统计的和社会科学的，艺术的和文学的，逻辑的和哲学的，音乐的和建筑的，政治的和战争的，食品的和医药的，遗传的和变异的，人类思维的和电脑的。J.Singh人类从数数开始，通过简单的计算法，认识简单的几何形式，逐步的形成理论与证明之间的逻辑关系的“纯粹”数学。并从纯粹数学逐渐发展到初等数学，变量数学，公理化数学，再到信息化数学。数学无处不在，菜市场里买菜时，我们用数学计算原理算出总价格；工程测量时，我们会用到数学的几何原理及数学关系去测量所相关的量；计算机
2、里，几乎所有的数据都要经过数学逻辑运算才得以运行。数学它或以直接或以间接的形式在为我们所用，使我们的生活更方便，更合理化。数学作为一种工具而其既然无处不在，那其不可豁免会被运用到金融中来。而数学分析对金融投资具有高效率的指导作用，从而形成了一些专门的学科金融工程（金融分析） 、计量经济学、保险精算学和金融统计等等。在这些学科里，都高度地运用了数学高效率，高水平分析和总结功能。下面金融数学为例，介绍其基本理念与基本方法。金融数学，又称数理金融学、数学金融学、分析金融学，是利用数学工具研究金融，进行数学建模、理论分析、数值计算等定量分析，以求找到金融学内在规律并用以指导实践。例如，银行贷款和还款。
3、为了获得最大利益而不损失顾客的利益，我们可以通过数学的分析作用，从中建立一个数学模型。例如下表：贷款额为，年利息为 i，还款期限为nan，每期末还款额为 1，则分期偿还表:期数每次还款额每次还款中的利息每次还款中的本金贷款余额0na111n niav nv1n nnava211 11n niav 1nv=1na1nv2nia.1.k11 11n k n kiav 1n kv 1 1n k n kn kava .1.n-112 21iav 2v2 21avan111iav v10av总计nnnana从表中可以看出，贷款额为，因而第一年末，应产生利息为，在还款额 1 中，nania包括了，另一部分
4、为本金。由知，nia1nia(1)/n navi，则有，即的本金，也即贷款余额，其他各行依(1)n niav1n niavn nav1na此类推。在总计一行，每次偿还款为 1，共 n 次，显然总和为 n，而其中包含偿还的贷na款本金，另一部分为贷款的利息之和。nna另外，表中的贷款余额，就是通过未来法计算的贷款余额。而各期偿na1na1a还款中的本金部分成等比数列：，根据这种关系，只要知道其中一期偿nv1nvv还款中的本金部分，就可以很方便地了解其他各期偿还款中的本金和利息。通过这种模型，顾客根据自身情况可以选择以下三种基本类型：等额本息还款法、等额本金还款法、定期结息还款法，从而算出每月或每
5、年所需交还的贷款。又如，当去评估债券和股票的价格决定时，我们也可以运用数学的指导实践作用，建立一个数学模型。以下是债券和股票的价格评定模型公式，债券价格评定公式：. 股票价格评定公式：（1） 零增长模型（Zero Growth Model）是最为简化的 DDMs，它假定每期期末支付的股利的增长率为零，其公式为（DDM） （DDMS）（2）不变增长条件下的股利贴现估价模型假定股利每期按一个不变的增长比率 g 增长，我们将得到不变增长模型（Constant Growth Model） 。 (3)多元增长条件下的股利贴现估价模型在多元增长模型（Multiple Growth Model）中，股利现金
6、流量就被分为两部分。将两部分现金流量现值加总，可以获得多元增长条件下的估值公式，即 （4）利用多元增长模型实际研究过程中，证券分析师有时使用二元或三元模型作为对多元增长模型的简化。在基于股利贴现的估价模型中，投资者持股期限的长短不影响股票价值。在 A，B，C 三种股利政策下，股东获得的现金流量总额是不变的，因此在理论状态下，利用股利贴现估价模型计算出来的股权价值也不会发生变化。从以上例子可以看出，运用数学逻辑运算与定向分析可以为我们对生活中的实际问题作了一个很好的指导作用和实践意义。生活中的金融问题还有很多例子，比如最优投资组合模型、期权定价模型、资产定价模型和套利定价模型等等。下面给出一些模
7、型的主要结论。最优投资组合模型，即通过建立数学模型来讨论与分析怎样的投资才能一以最低的投资获得最大的利益。任何投资都有一定的风险，而风险可以分为系统风险和非系统风险，在建立数学模型时，必须考虑到风险的存在。庆幸的是，我们可以利用投资组合来化解级分散以降低甚至消除非系统风险。在严格遵守有关规定前提下，可以根据具体情况，不断调整投资组合，提高投资组合的风险回报性能，从而提高投资业绩。期权定价模型，是指投资者可建立期权与其标的股票的组合来保证确定报酬。在均衡时，以确定报酬必须得到无风险利率 。期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买或卖一定数量的基础商品的选择权而。期权价格是期权合约
8、中唯一随市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题 。为此建立一个期权定价模型一获得效益。期权定价的方法主要有（1）BlackScholes 公式；（2）二项式定价方法 ;(3) 风险中性定价方法 ;(4)鞅定价方法。在不同情况下，会用到不同期权定价方法。套利定价模型，是资本资产定价模型（ CAPM）的替代理论虽然被称作套利定价模型，但实际与套利交易无关，是适用于所有资产的估值模型，其理论基础是一项资产的价格是由不同因素驱动，将这些因素乘上该因素对资产价格影响的贝塔系数，加总后，再加上无风险收益率，就可以得出该项资产的价值。虽然APT 理论上很完美，但
9、是由于它没有给出都是哪些因素驱动资产价格，这些因素可能数量众多，只能凭投资者经验自行判断选择，此外每项因素都要计算相应的贝塔值，而CAPM 模型只需计算一个贝塔值，所以在对资产价格估值的实际应用时，CAPM 比 APT 使用地更广泛。 套利定价模型表明，资本资产的收益率是各种因素综合作用的结果，诸如GDP 的增长、通货膨胀的水平等因素的影响，并不仅仅只受证券组合内部风险因素的影响。通过对以上的数学模型的基本理念和基本方法的介绍，更一步说明了数学的确在金融分析作了不可或缺的作用。而数学建模是其中的核心内容，只有根据实际情况在结合理论，从而建立一个恰当的数学模型，才会让数学分析有意义。在这学期初，基于对数学分析的爱好，我毅然选择了选修金融数学基础这一门似乎高深而亦可把玩的课。在老师耐心而认真的讲导和自己去查阅有关资料下，我能够初步了解数学分析的方法，接触有关金融数学模型。虽然没有充分掌握其理论基础，但起码我形成对不同问题有不同理性分析的意念，这些对我以后分析问题以及解决问题起到莫大的作用。最后，感谢老师这学期对我们全体同学的敦敦教诲！
