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1、第五讲第五讲 函数的定义域与值域函数的定义域与值域回归课本回归课本1.1.1.1.函数的定义域函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的函数的定义域是指使函数有意义的自变量自变量的取值范围的取值范围. . . .注意注意:(1):(1):(1):(1)确定函数定义域的原则确定函数定义域的原则: : : :当函数当函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)用表格给出时用表格给出时, , , ,函数的定义域是指表格中实函数的定义域是指表格中实数数x x x x的集合的集合; ; ; ;当函数当函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)用图象给出时用图象给出时, , , ,函数的
2、定义域是指图象在函数的定义域是指图象在x x x x轴上投影所覆盖的实数的集合轴上投影所覆盖的实数的集合; ; ; ;httpwww.kang-原始点疗法当函数当函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)用解析式给出时用解析式给出时, , , ,函数的定义域是指使解析函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合式有意义的实数的集合; ; ; ;当函数当函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)由实际问题给出时由实际问题给出时, , , ,函数的定义域由实际问函数的定义域由实际问题的意义确定题的意义确定. . . .(2)(2)(2)(2)定义域可分为自然定义域与限定定义域两类
3、定义域可分为自然定义域与限定定义域两类: : : :如果只给函数解析式如果只给函数解析式( ( ( (不注明定义域不注明定义域),),),),其定义域应为使解其定义域应为使解析式有意义的自变量的取值范围析式有意义的自变量的取值范围, , , ,称为自然定义域称为自然定义域; ; ; ;如果函数受应用条件或附加条件制约如果函数受应用条件或附加条件制约, , , ,其定义域称为限定其定义域称为限定定义域定义域. . . .(3)(3)(3)(3)复合函数定义域的求法复合函数定义域的求法: : : :若已知函数若已知函数f(x)f(x)f(x)f(x)的定义域为的定义域为a,b,a,b,a,b,a,
4、b,其复合函数其复合函数fg(x)fg(x)fg(x)fg(x)的的定义域应由不等式定义域应由不等式a a a ag(x)g(x)g(x)g(x)b b b b解出解出. . . .2.2.2.2.函数的值域函数的值域在函数在函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)中中, , , ,与自变量与自变量x x x x的值相对应的的值相对应的y y y y的值叫函数值的值叫函数值, , , ,函数值函数值的集合叫做函数的值域的集合叫做函数的值域. . . .注意注意: : : :确定函数的值域的原则确定函数的值域的原则当函数当函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)用表格给出
5、时用表格给出时, , , ,函数的值域是指表格中实数函数的值域是指表格中实数y y y y的集合的集合; ; ; ;当函数当函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)用图象给出时用图象给出时, , , ,函数的值域是指图象在函数的值域是指图象在y y y y轴轴上的投影所覆盖的实数上的投影所覆盖的实数y y y y的集合的集合; ; ; ;当函数当函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)用解析式给出时用解析式给出时, , , ,函数的值域由函数的定义函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定域及其对应关系唯一确定; ; ; ;当函数由实际问题给出时当函数由实际问题给出时
6、, , , ,函数的值域由问题的实际意义函数的值域由问题的实际意义确定确定. . . .考点陪练考点陪练0.51 (43)33.,1.,443.(1,).,1(1,41.(2010)logxABCD=+i湖北 函数的定义域为（）()0.5:log4x304x3004x31.A.,331,1 ,44x0x(a0x(a0x(a0且且a a a a1)1)1)1)的定义域为的定义域为x|x0.x|x0.x|x0.x|x0.由实际问题确定的函数由实际问题确定的函数, , , ,其定义域要受实际问题的约束其定义域要受实际问题的约束, , , ,要要具体问题具体分析具体问题具体分析. . . .分段函数的
7、定义域是各段中自变量取值范围的并集分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集. . . .|,.2x xRZ+xkkxkkxkkxkk且抽象函数抽象函数f(2x+1)f(2x+1)f(2x+1)f(2x+1)的定义域为的定义域为(0,1),(0,1),(0,1),(0,1),是指是指x x x x(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)而非而非0 =+=+ 解 若则对于每个正数的定义域和值域都是故满足条件若则对于正数的定义域为但的值域故即不符合条件( )( )( )2max0,a0,b,f xDf xf xa4.:a04.220,20,22.axbxbbbfaaab aabb aaaa=+=
8、 +=四 分离常数法【典例 】求定义域在区间上的函数的值域221,222,1;22,.,.y1x00x121yyabxaabxa abxabxabx aaabyababxab aa abxab ababab ababab ab ab ab ab+= + + + + +解因为由 可得 从而 由 可得 从而 所以 所以函数的值域为,.axb cxd axbycxd+=+ +=+y y y y方法与技巧 形如的分子分母均为一次式分式函数 一般要采用分离常数法 因为使函数中的自变量相对集中到分子或分母时 便于用熟悉的函数求值域22152.2yxx xx+=+五 判别式法【典例 】求函数的值域 解解 因
9、为因为x x x x2 2 2 2+x+10+x+10+x+10+x+10恒成立恒成立, , , ,所以函数的定义域为所以函数的定义域为R.R.R.R.由原式得由原式得(y-2)x(y-2)x(y-2)x(y-2)x2 2 2 2+(y+1)x+y-2=0,+(y+1)x+y-2=0,+(y+1)x+y-2=0,+(y+1)x+y-2=0,当当y-2=0,y-2=0,y-2=0,y-2=0,即即y=2y=2y=2y=2时时, , , ,方程为方程为3x=0,3x=0,3x=0,3x=0,所以所以x=0x=0x=0x=0R;R;R;R;当当y-2y-2y-2y-20,0,0,0,即即y y y
10、y2 2 2 2时时, , , ,因为因为x x x xR,R,R,R,所以方程所以方程(y-2)x(y-2)x(y-2)x(y-2)x2 2 2 2+(y+1)x+y-2=0+(y+1)x+y-2=0+(y+1)x+y-2=0+(y+1)x+y-2=0恒有实根恒有实根, , , ,=(y+1)=(y+1)=(y+1)=(y+1)2 2 2 2-4-4-4-4(y-2)(y-2)(y-2)(y-2)(y-2)(y-2)(y-2)(y-2)0,0,0,0,即即3y3y3y3y2 2 2 2-18y+15-18y+15-18y+15-18y+150,0,0,0,解得解得1 1 1 1y y y y5.5.5.5.所以函数的值域为所以函数的值域为1,5.1,5.1,5.1,5.22y,x,y.dxexf axbxc+ +=+方法与技巧 形如的分子 分母之一或二者均是二次式时 一般常将函数转化为一个关于 的方程 先讨论二次项系数 再考虑用判别式法求出 的范围
