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1、第 12 讲 实际问题与二次函数适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域全国课时时长（分钟）90 分钟知识点二次函数应用题教学目标1.掌握二次函数的性质2.能够应用二次函数的性质解决求最值, 利润问题,方案等实际问题教学重点确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题教学难点1.应用题的分析2.性质的应用知识讲解引例：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图（1） ，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 米，距地面均为 1 米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1 米和 2.5 米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是 1.
2、5 米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决？1m2.5m4m甲甲乙乙丙丙 丁丁1m2.5m4m甲甲乙乙1m1m2.5m2.5m4m4m甲甲乙乙丙丙 丁丁答案 如图，水平面所在的直线为轴，以甲学生身体所在的垂线为轴，建立直角坐标xy系。甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 米，Q距地面均为 1 米点 A 的坐标为（0,1） ，点 B 的坐标为（4,1）学生丙距甲拿绳的手水平距离 1 米处，丙的身高是 1.5 米点 C 的坐标为（1,1.5） 。设抛物线为，12bxaxy把 B（4,1）和 C（1,1.5）代入上式的，11416 ba5 . 1
3、1 ba解得：，所以抛物线为；61a32b132 612xxy又学生丁站在距甲拿绳的手水平距离 2.5 米处，Q当时，5 . 2x625. 1132 612xxy学生丁的身高为 1.625 米。总结：1、要解决这个实际问题，关键是如何建立直角坐标系；2、如何将实际问题中给的数据抽象成二次函数图象上的点的坐标；3、根据总结出来的点的特殊性，设二次函数关系式；4、用“待定系数法”，解方程组，求出二次函数关系式。二次函数的应用-常考题型1.求二次函数的解析式2.利用二次函数的顶点式求最值二次函数，当 x时，.)0(2acbxaxyab 2- abacy442最大（小）值3.根据二次函数图像和性质解决
4、销售利润问题4.根据二次函数图像和性质解决最佳方案问题考点/易错点 1二次函数的应用常用于求解析式、交点坐标等。考点/易错点 2二次函数常用来解决最优化问题考点/易错点 3（1）分析和表示不同背景下实际问题，如利润、面积、动态、数形结合等问题中变量之间的二次函数关系。（2）运用二次函数的知识解决实际问题中的最值问题。考点/易错点 4根据题意写出 x 的取值范围考点/易错点 5二次函数的最值求解运算错误，忘记考虑 x 的取值范围例题精析【例题 1】【题干】某果园有 100 棵橘子树，平均每一棵树结 600 个橘子根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结 5 个橘子设果园增种 x 棵橘子树，
5、果园橘子总个数为 y 个，则果园里增种 棵橘子树，橘子总个数最多【变式练习】【题干】如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B 两点，桥拱最高点 C 到 AB 的距离为 9m，AB=36m，D，E 为桥拱底部的两点，且DEAB，点 E 到直线 AB 的距离为 7m，则 DE 的长为_m. 【例题 2】【题干】某商场购进一批单价为 4 元的日用品若按每件 5 元的价格销售，每月能卖出 3万件；若按每件 6 元的价格销售，每月能卖出 2 万件，假定每月销售件数 y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系（1）试求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当销售价格定为
6、多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【变式练习】【题干】为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯已知这种节能灯的成本价为每件 10 元，出厂价为每件 12 元，每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=10x+500（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为 w（元） ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价
7、部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25 元如果李明想要每月获得的利润不低于 300 元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？【例题 3】【题干】某商场购进一种每件价格为 100 元的新商品,在商场试销发现:销售单价 x(元/件)与每天销售量 y（件）之间满足如图所示的关系：（1）求出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）写出每天的利润 W 与销售单价 x 之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？【例题 4】【题干】某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形其中，抽屉底面周长为 180cm，高为 20cm请通过计算说明
8、，当底面的宽 x 为何值时，抽屉的体积 y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计） 【例题 5】【题干】为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场.在 RtABC 内修建矩形水池 DEFG，使顶点 D、E 在斜边 AB 上，F、G 分别在直角边BC、AC 上；又分别以 AB、BC、AC 为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分） ，两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖.其中米，.设 EF=x 米，24 3AB =60BACDE=y 米.（1）求 y 与 x 之间的函数解析式；（2）当 x 为何值时，矩形 DEFG 的面积最大？最大面积是多少？（3）求
9、两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当 x 为何值时，矩形 DEFG 的面积等于两弯新月面积的？1 3【例题 6】【题干】 某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元，试营销阶段发现：当销售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件，销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；y(件) x(元/件) 30 50 130 150 O （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了 A、B 两种营销方案方案 A：该文具的销售单价高于进价且不超过 3
10、0 元；方案 B：每天销售量不少于 10 件，且每件文具的利润至少为 25 元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由【例题 7】【题干】某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完该公司的年产量为 6 千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润 y1（元）与国内销售量 x（千件）的关系为：y1= 1590 05130 26xxxx 若在国外销售，平均每件产品的利润 y2（元）与国外的销售数量 t（千件）的关系为 2100 025110 26tytt （1）用 x 的代数式表示 t 为：t= ；当 0x4 时，y2与 x 的函数关系为：y2= ；当 x 时，y
11、2=100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润 w（千元）与国内销售数量 x（千件）的函数关系式，并指出 x 的取值范围；（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？【例题 8】【题干】某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 30 元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是 40 元时，销售量是 600 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为 x 元（x40） ，请你分别用 x 的代数式来表示销售量 y 件和销售该品牌玩具获得利润 w 元，并把结果填写在表格中：销售单价（元） x销售量 y（件
12、）销售玩具获得利润 w（元）（2）在（1）问条件下，若商场获得了 10000 元销售利润，求该玩具销售单价 x 应定为多少元（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于 44 元，且商场要完成不少于 540 件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【例题 9】【题干】某公司在固定线路上运输，拟用运营指数 Q 量化考核司机的工作业绩Q = W + 100，而 W 的大小与运输次数 n 及平均速度 x（km/h）有关（不考虑其他因素） ，W 由两部分的和组成：一部分与 x 的平方成正比，另一部分与 x 的 n 倍成正比试行中得到了表中的数据（1）用含 x 和 n 的
13、式子表示 Q；（2）当 x = 70，Q = 450 时，求 n 的值；（3）若 n = 3，要使 Q 最大，确定 x 的值；（4）设 n = 2，x = 40，能否在 n 增加 m%（m0）同时 x 减少 m%的情况下，而 Q 的值仍为 420，若能，求出 m 的值；若不能，请说明理由参考公式：抛物线yax2+bx+c(a0)的顶点坐标是（，） b2a4acb24a课堂运用【基础】1.1.在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲经试验发现，若每件按 24 元的价格销售时，每天能卖出 36
14、 件；若每件按 29 元的价格销售时，每天能卖出次数 n21速度 x4060指数Q42010021 件假定每天销售件数 y（件）与销售价格 x（元/件）满足一个以 x 为自变量的一次函数（1）求 y 与 x 满足的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围） ；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润 P 最大？2.2.某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为 40 元经过市场调查，一周的销售量 y 件与销售单价 x（x50）元/件的关系如下表：销售单价 x（元/件） 55 60 70 75 一周的销售量 y（件）450 400 300 250 （
15、1）直接写出 y 与 x 的函数关系式： y=10x+1000 （2）设一周的销售利润为 S 元，请求出 S 与 x 的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过 10000 元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？3.3.科幻小说实验室的故事中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：温度x/420244.5植物每天高度增长量y/mm414949412519.75由
16、这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；（2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？（3）如果实验室温度保持不变，在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？请直接写出结果4.4. 在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB 边向点 B 以 1cms的速度移动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cms 的速度移动，如果 P、Q 两点同时出发，分别到
