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1、2 0 1 2年 5月 Vo 1 3 0 N o 0 9 中学物理 垂直墙壁方向平抛一物体 ， 则该物体在竖直墙壁上的影子的 运动情况如何? 例题 6 如 图 6 ， 水平放 置的 平行金属 板的板 长 Z= 4 c m， 板间匀强电场的场强大小E=1 0 N C ， 一束电子以初速 度 。=21 0 m s 垂直电场进入板间， 从板的中间到竖立的 荧光屏的距离L=2 0 e m， 求电子打在荧光屏上的光点A偏 转 的 距 离 y 分析与解答 可将电子的运动分为两个阶段， 一是电 场内的偏转 ， 设偏转距离为 y， 二是电场外的匀速直线运动， 根据运动的合成与分解求出其偏转距离 Y ， 则总偏
2、转距离为 Y= +Y 我们也可以利用“ 电子离开电场时好像是从金属 板间的 l 2处沿直线飞出似的”这个结论， 如图 6 ， 则由三角 形相似得 Y l 2 其中 Y= = ， 而且t= 0 ， 所以 Y=坐 等 =0 0 3 5 2( m) =3 5 2( c m ) ， m Y 0 即为所求 小结 此题求解中， 先将曲线运动等效为直线运动， 体 现化曲线为直线的物理思想， 再借助三角形相似， 大大降低 了问题的难度， 比常规方法简单， 高效 上述讨论了三角形相似法在处理物理问题中的应用， 从 中我们可以看到， 应用三角形相似知识解题能够直观、 简捷 地得出结论 其实在处理中学物理问题时，
3、常常用到很多与 三角形有关知识， 如三角函数、 正弦定理、 余弦定理 、 矢量三 角形、 三角形全等或三角形相似等等， 这些方法其本质都涉 及到各物理量的矢量关系和几何关系， 处理相关问题时要特 别注意画好矢量图， 分析各物理量之间的几何关系 为此， 要 熟悉各种图象的作图方法和物理意义， 掌握有关物理量的矢 量性， 理解物理过程的几何关系， 这对加深理解基本概念、 熟 悉基本规律的应用， 培养形象思维能力， 都具有重要意义， 运 用数学知识处理物理问题的能力也就能逐渐提高 数 学 知 识 与 高 中 物 理 极 值 问 题 的 整 合 周红梅 ( 泰州市第三高级 中学江苏 泰州2 2 5 3
4、 2 3 ) 物理极值问题， 就是求某物理量在某过程 中的极大值 或极小值 物理极值问题是中学物理教学的一个重要 内容， 在高中物理的力学、 热学、 电学等部分均出现， 涉及的知识面 广 ， 综合性强， 加之学生数理结合能力差 ， 物理极值问题已成 为中学生学习物理的难点 随着高考改革的深入及素质教育 的全面推开 ， 各学科之间的渗透不断加强， 作为对理解能力 和演绎推理能力及运算能力都有很高要求的物理学科， 如果 能与数学知识灵 活整合 ， 将会拓展解决物理极值问题的思 路， 提高运用数学知识解决物理问题的能力 在中学物理中， 描述某一过程或者某一状态的物理量 ， 在其发展变化中， 由于受到
5、物理规律和条件的制约， 其取值 往往只能在一定的范围内才符合物理问题的实际， 求这些量 的值的问题便可能涉及到要求物理量的极值 求解物理极值 问题， 通常涉及到的数学知识有： 点到直线的距离最短， 两数 的几何平均值小于或等于它们的算术平均值， 二次函数求极 值的方法， 求导数、 因式分解， 三角函数， 几何作图法， 有关圆 的知识等等 在求解物理极值过程中要想能与数学知识进行灵活的 整合， 充分发挥数学的作用， 往往要进行数学建模 数学建模 就是用数学语言描述实际现象的过程 在科学领域中， 数学 因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的 语言 因此， 人们常对实际事物建立种种数学模
6、型以期通过 对该模型的考察来描述 ， 解释， 预计或分析出与实际事物相 56 关 的规律 1 运用二次函数求极值 1 1 利用二次函数极值公式求极值 对于典型的一元二次函数 y a 2 r + b x + c 若 口0 ， 则 当 =一 b 时， 有极小值， 为 4 a c一 6 若 口0时， 当 =一 b时， 有极小值为 4 a c b y 一； ( 2 ) 若 n 0时 ， 当 =一 b 时 ，j ， 有极大值为 4ac b 一 。 对于例题 1还可用配方法求解 2 利用不等式 求极 值 2 1 如果n， b为正数， 那么有： 口+b 2 a b， 当且仅当口 = b时 ， 上式取“ =”
7、号 推论 ： 两个正数的积一定时， 两数相等时， 其和最小 两个正数的和一定时， 两数相等时， 其积最大 2 2 如果 口 ， 6 ， c为正数， 则有 a十b十c 3 a b c ， 当且仅 当 口= b= C时 上式取 “ =”号 推论 ： 三个正数的积一定时， 三数相等时， 其和最小 三个正数的和一定时， 三数相等时， 其积最大 例 2 一轻绳一端固定在 O点， 另 ， 、 一端拴 一 小球 ， 拉 起 小球使 轻绳 水平 ， 然后无初 速度 的释 放 ， 如 图 1所示 ， 小 球在运动至轻绳达到竖直位置的过程 中， 小球所受重力的瞬时功率在何处取 得 最大值 ? 解 当小球运动到绳与
8、竖直方向 图 1 成 0角的C时， 重力的功率为 P = m g o c o s a= mg v s i n 0 ( 1 ) 小球从水平位置到图中 C点位置时， 机械能守恒有 mg Lc o s O= 1 口 ( 2 ) 解( 1 ) 、 ( 2 ) 可得 P = m g 2 g Lc o s 0 s i n 2 0 令 Y= c o s 0 s i n 2 0 ， r 一 因 为 =c o s 0 s in 0 = 专( 2 s 2 s in 2 0 s in 2 0 ) ， 又 2 a 3 s 2 0+s i n 0+s i n 2 0=2 ， 根据基本不等式 口+6+c 3 a b c
9、， 定和求积知： 当且仅当 2 c o s 2 0=s i n 2 0 ， Y有最大值 结论： 当c o s 0= 时， 及功率P有最大值 3 利用三角 函数 求极值 3 1 利用三角函数的有界性求极值 如果所求物理量表达式中含有三角函数， 可利用三角函 数的有界性求极值 若所求 物理量表达式可 化为“ Y ： a s i n a o o s a ” 的形式， 可变为 =告口 s i n 2 口 ， 当口=4 5 0 。 时， Y 有极值 厶 例 3 如 图 2所示， 底 边恒定为 b ， 当斜 面与底边所成夹 角 0为多大时， 物体 沿此光滑斜面 由静 止从顶端 滑到底端 所 用时间才最短?
10、 此题的关键是找出物体从斜面顶端滑至底端所用时间 与夹角的关系式， 这是一道运动学和动力学的综合题， 应根 据运动学和动力学的有关知识列出物理 方程 解 设斜面倾角为 0 时， 斜面长为 s ， 物体受力如图 2所示 ， 由图知 = c O S U ( 1 ) 由匀变速运动规律得 5=告口 ( 2 ) 由牛顿第二定律提有 图2 mg s i n O= ( 3 ) 联立( 1 ) 、 ( 2 ) 、 ( 3 ) 式解得 t ： ： = 可见， 在9 0 。 0 0 。 内， 当2 0 =9 0 。 时， s i n 2 0 有最大值， t 有最小值 即 0 = 4 5 时 ，有 最 短 时 间
11、为 = 警 3 2 利用“ 化一”法求三角函数极值 对于复杂的三角函数， 例如， 要求极值时， 先需要把不同 名的三角函数 s i n 0和 c o s 0 ， 变成同名的三角函数， 这个工作 叫做“ 化一” 因为 =a s i n 0+b e o s O = 0 十 0 ) V n十 V 口十 5 7 2 0 1 2年 5月 V o 1 3 0 No 0 9 中学物理 =v 厂 _ ( c 0 s s 1。 n 0 +s i n 5 o 。 6 ) = 研s i n ( + 5 ) ， 其中 r a n t =旦 口 故 的极大值为 n 4 - 6 例题 4 物体放置在水平地面上 ， 物理
12、与地面之 间的动 摩擦因数为 ， 物体重为 G， 欲使物体沿水平地面做 匀速直 线运 动， 所用的最 小拉 力 F为 多大? 该题的已知量只有 和G， 说明最小拉力的表达式中最 多只含有 和G ， 但是 ， 物体沿水平地面做匀速直线运动时， 拉力 F可由夹角的不同值而有不同的取值 因此， 可根据题 意先找到 F与夹角有关的关系式再作分析 解 设拉力F与水平方向的夹 角为 ， 根据题意可列平衡方程式， 即 F e o s Of= 0 ( 1 ) N +Fs i n 0= G ( 2 ) f = ( 3 ) 由联 立( 1 ) 、 ( 2 ) 、 ( 3 ) 解得 F= 丽,u G J F 广 一
13、 I l ， ， 1 图 3 ： 一 1 + ( s i n 0 c o s 4 - c o s 0 s i n ) 一 1 + s i n ( 0 +j 5 ) 其中t a n ： ， 所以 F ： = =1 i G 1+ “ 4 利用向量 求极值 向量就是物理学中的矢量， 当物体受三力平衡时， 将三 矢量首尾相连后 ， 必定构成三角形 利用点到直线的垂直线 段最短可求极值 对于例题 4 ， 我们也可用矢量知识求极值 将摩擦力和地面对木块的弹力N合成一个力F ， 如图 4 ， F 与竖直方向的夹角为 t a n = = ( 为一定值) 这样 木块可认为受到三个力： 重力 G， 桌面对木块的作
14、用力 F 和 拉力 F的作用 尽管 F大小方向均未确定 ， F 方向一定， 但 大小未定， 但三力首尾相连后必构成三角形， 如图5所示 只 有当 F与F 垂直时， 即拉力与水平方向成 角时， 拉力 F最 小为 F = Gs i n 5 ， 而 s - n t a n z ， 1+ 1+ 故 F： Gs i n ： 1+ 1 5 用图象法求极值 通过分析物理过程遵循的物理规律， 找到变量之间的函 数关系， 做出其图象 ， 由图象可求得极值 例 5 从车站开出的汽车作匀加速运动。 它开出一段时 间后 ， 突然发现有乘客未上车， 于是立即制动做 匀减速运动， 结果汽车从开动到停下来共用2 0 s ，
15、 前进了 5 0 m 求这过程 中汽 车达 到的 最大速度 5 8 解 设最大速度为 ， 即加速阶 m s 一 段的末速度为 ： 画出其速度时间图 象如图6 所示， 图线与 t 轴围成的面积 等于位移 即： s=丢 幽 6 即 5 0：告 2 0 v ， 解得 =5 n 4 s 6 利用数学求导的方法求极值 如果在 =22 。 点， 当 一0时， 有极限， 我们把这个极 限叫做 f ( x ) 在该点( = 72 。 ) 的导数 它正是曲线在该点处 切线的斜率 t a n a 如果 厂( 。 ) =0 ， 则在 。 处函数有极值 例6 风对帆所施的力为F：告a s ( 一 ) ， 其中口 是 系数 ， S为帆的面积 ， 71 0为风速 ， 为船 的航 速 ， 试求风 的 功率 最大时船 的航 速?
