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1、12011-9-71函数连续的定义及性质第五讲一、函数连续性的定义二、函数连续性的基本性质三、初等函数的连续性 四、闭区间上连续函数的性质2011-9-72一、函数连续性的定义函数的连续性描述函数的渐变性态, 在通常意义下，对函数连续性有三种 描述：一、函数连续性的定义函数的连续性描述函数的渐变性态, 在通常意义下，对函数连续性有三种 描述：当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的；当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的；自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变；自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变；连续函数的图形可以一笔画成,不断开.连续函数的图形可以一笔画成,不断开.2011
2、-9-732xy = =xytan= =例如：例如：上连续在上连续在),(+ +上连续在上连续在)2,2( xysin= =2011-9-74处间断在点处间断在点0= =x = =0,2,0, 1)(xxxfy oxyO122011-9-75处间断在点处间断在点0= =xxyO oo=)()(,:, 0, 000 xfxfxxx恒有恒有2011-9-710;)()()(lim,()(0000 处左连续在则称且上有定义在设函数处左连续在则称且上有定义在设函数xxfxfxfxaxfxx= = 定义定义2：;)()()(lim,),)(0000 处右连续在则称且上有定义在设函数处右连续在则称且上有定
3、义在设函数xxfxfxfbxxfxx= = + +（函数在一点的单侧连续性）（函数在一点的单侧连续性）2011-9-711),(.),()(,),()()1(baCfbaxfbaxf记作内连续在开区间则称每一点处都连续的在开区间若函数记作内连续在开区间则称每一点处都连续的在开区间若函数,.,)(,),()()2(baCfbaxfbabaxf记作上连续在闭区间则称左连续在点右连续且在点连续内在开区间若函数记作上连续在闭区间则称左连续在点右连续且在点连续内在开区间若函数定义定义3：（ 函数在区间上的连续性）（ 函数在区间上的连续性）2011-9-712（二）间断点的分类根据间断点的不同情况，可以分
4、为三类：（二）间断点的分类根据间断点的不同情况，可以分为三类：1. 可去型间断点可去型间断点).(,)(lim0 0xfxf xx但是不等于存在 但是不等于存在 可去型间断不是本质性的间断可去型间断不是本质性的间断,可以重新定义可以重新定义, 使其连续使其连续.)(lim)(00xfxf xx= =令令32011-9-713没有定义在点没有定义在点0sin)(=xxxxf例如例如是可去型间断点故但是是可去型间断点故但是01sinlim 0= xxxx= = 0,10,sin )(1 xxxx xf若令若令.)(01的一个连续点就成为则的一个连续点就成为则xfx = =2011-9-7142.
5、第一类间断点第一类间断点但是不相等都存在和但是不相等都存在和,)(lim)(lim00xfxf xxxx+)(lim)(lim).(0()0(,)(00000 xfxfxfxfxxfxxxx+跃度等于处发生跳跃在点函数+跃度等于处发生跳跃在点函数=+（三）连续函数的保号性：（三）连续函数的保号性：42011-9-719连续也在连续也在0)2(xgf 则连续都在点若则连续都在点若,0xgf连续也在函数对任意常数连续也在函数对任意常数0,)1(xgf+ +连续也在则若连续也在则若00, 0)()3(xgfxg （四）连续函数的运算性质：（四）连续函数的运算性质：.)(),(,)(,)()4(000
6、00连续在则复合函数且连续在连续在若连续在则复合函数且连续在连续在若ttgftgxxxfttgx=2011-9-720（五） 关于反函数的连续性（五） 关于反函数的连续性.)(),()(),()(,)(1严格单调且连续上也或区间在闭则其反函数单调且连续上严格在闭区间若函数严格单调且连续上也或区间在闭则其反函数单调且连续上严格在闭区间若函数afbfbfafyfxbaxfy =2011-9-721三、初等函数的连续性结论： 初等函数在其定义区间上是连续的。三、初等函数的连续性结论： 初等函数在其定义区间上是连续的。1. 基本初等函数的连续性（1）由连续定义可验证基本初等函数：基本初等函数的连续性（
7、1）由连续定义可验证基本初等函数：的连续性常量函数的连续性常量函数xexCxln,sin,2011-9-72200limxxxxee= = 证明证明0)1(lim00=xxxxe0)1(lim 0= xxe1lim 0= xxe1lim1= ne n1lim 0= = + +xxe先证先证1lim 0= = xxe再证再证tx = = 令令例例2011-9-723（3）用连续函数四则运算性质证明基本 初等函数:）用连续函数四则运算性质证明基本 初等函数:的连续性的连续性xxxxcsc,sec,cot,tan（2）用复合函数及反函数的连续性证明 基本初等函数:）用复合函数及反函数的连续性证明 基
8、本初等函数:的连续性的连续性xxxxxexxarctan,arccos,arcsin),2sin(cos,ln= 2011-9-7242. 初等函数的连续性由基本初等函数的连续性,运用连续函数的四则运算、复合运算就推出所有初等函数在其定义区间上处处连续. 初等函数的连续性由基本初等函数的连续性,运用连续函数的四则运算、复合运算就推出所有初等函数在其定义区间上处处连续. .,21cos)(Znnxxxf= 定义域为离散点是初等函数。例：定义域为离散点是初等函数。例：52011-9-725的连续性的连续性。研究函数例 研究函数例nnnnnxxxxxf+=+=2 lim)(解 解 的表达式先求的表达
9、式先求)(xf =+=+= 时当时当时当讨论下列函数的连续性例时当时当时当讨论下列函数的连续性例0,0,21,0,11)(1xexxxxxfx.,11)(,0在定义区间上连续初等函数时当在定义区间上连续初等函数时当xxxfx+=+=解解2011-9-728.,)(,01在定义区间上连续也是初等函数时当在定义区间上连续也是初等函数时当xexfx = )(,使使 + + )(,nxfn时时有界性定理的证明有界性定理的证明有收敛子列有收敛子列nx,0baxxn本身收敛于不妨设本身收敛于不妨设)(,00 nxxxfn且连续在点因为且连续在点因为)()(lim0xfxfnn= = 矛盾矛盾！有界有界,)
10、(nxf有界在有界在,baf根据Weierstrass定理，根据Weierstrass定理，2011-9-735.)(, ,:111 取到最小值在即使得只须证取到最小值在即使得只须证xfmxfbax=| )(infbxaxfm=记=记mxfbax)(,有假设有假设最大（小）值定理的证明最大（小）值定理的证明., 1有界在函数根据定理有界在函数根据定理baf只证最小值用反证法只证最小值用反证法0)(,)(mxfbaCmxf且函数且函数2011-9-736)()(,0bxaAxgA 使得使得mxfxg=)(1)(考察函数考察函数上有界在上有界在,bagbaCgAmxf)(1即即)(1)(bxaAm
11、xf+矛盾矛盾！上的下确界在不是即上的下确界在不是即,bafmmxfbax= = )(,11使得使得72011-9-7373. 零点定理：3. 零点定理：. 0)(),(, 0)()(,=+2011-9-739:,11分成两个闭区间将分成两个闭区间将ba则定理已得证如果则定理已得证如果,0)2(11=+=+ baf0)2(11+ baf若若,2, 2,11111 1bbabaa+,222111babba为则选+为则选+,2,2211 1babaa为则选+为则选+2011-9-740不失一般性,假定每次区间中点的函数值都 不等于零.于是得一列闭区间: 不失一般性,假定每次区间中点的函数值都 不等
12、于零.于是得一列闭区间: ), 2, 1(,L= =nbann 满足如下条件:满足如下条件: ), 2, 1(,)1(11L= = +nbabannnn0)(lim)2(= = nnnab), 2, 1(0)(,0)()3(L=+ fbfbfnnn由由0)(,0)(=f1)2, 3(x内有一个根方程在内有一个根方程在07) 1(=f01)0(=f3)4, 3(x有一个根方程在有一个根方程在根据代数基本定理三次多项式最多有三个实根根据代数基本定理三次多项式最多有三个实根 是方程的全部实根是方程的全部实根321,xxx 2011-9-746.)(122 112 0 至少存在一个实根证明奇次多项式例
13、至少存在一个实根证明奇次多项式例+ +=+=nnnaxaxaxPL证证),()( + + CxP)()(12121 012 + +=+=nnn xa xaaxxPL00 a不妨设不妨设 = =+ + = = +)(lim,)(limxPxP xx 0)(,0)(,0 rPrPr使使0)(),(,= = cPrrc使根据零点定理使根据零点定理192011-9-747.0316 27 15:至少有两个实根证明方程例=+ 至少有两个实根证明方程例=+xxx316 27 15)(+=+=xxxxf设设证证内都连续和在开区间则内都连续和在开区间则)3,2()2, 1()(xf+=+=+=+= +)316
14、 27 15(lim)(lim 11xxxxf xx=+=+= )316 27 15(lim)(lim 22xxxxf xx2011-9-7480)(,0)(bfaf使闭区间存在以证明利用无穷大量的定义可使闭区间存在以证明利用无穷大量的定义可),2, 1(, ba.)2, 1(,0316 27 15:,内至少有一个实根从而在在方程即内至少有一个实根从而在在方程即baxxx=+=+0)(,11= = xfbax使根据零点定理使根据零点定理.)3, 2(0316 27 15:,内至少有一个实根在方程同法可证=+ 内至少有一个实根在方程同法可证=+xxx92011-9-749.),)(lim, ),能取到最小值在则且若函数例能取到最小值在则且若函数例bafxfbaCf bx+=+=
