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1、1如何挖掘数学题中的隐含条件浙江省奉化中学 楼许静 孙伟奇 315500有的题目中隐含着一些条件，这些题目常使学生感到困惑。究其原因，主要是学生不知如何抓住问题的实质，挖掘出隐含条件，为解题打开切入点和突破口。那么隐含条件应当从那几方面去挖掘呢？一、回归定义数学的定义是推导公式、定理的依据，也是解题常用的一把钥匙，它能为解题挖掘出最本质的条件，使解题简捷明快。例 1、解方程1010610622xxxx思路：用通常的办法，需要两次平方才能将原方程化为有理方程注意到原方程就是 ,101)3(1)3(22xx联想到解析几何中椭圆的定义，令有,12y这是以点为焦点，长轴之长,10)3()3(2222y
2、xyx)0 , 3(),0 , 3(21FF 为 10 的椭圆方程,即（隐含条件）. 1162522 yx从而当时,就有.12y1545x二、细查结构发掘隐含条件往往需要运用感知，敏锐地观察，大胆运用直觉思维，迅速作出 判断，从隐蔽的数学关系中找到问题的实质。而仔细观察，抓住结构特征，往往能 有效地挖掘隐含条件例 2、已知二次方程有相等的实数根，)(0)()(2cbbaxacxcb求证：cab22分析：常规方法是由判别式，经过因式分解得到，但跨00)2(2cab越这一步是比较繁难的若转向观察题设方程的特点入手，迅速发掘出该方程系数为 0 条件，则立刻可知该方程的相等实数根为 1，于是由韦达定理
3、得问题, 1 cbba简捷获证三、结合已知当单独、孤立地审视已知条件已经达到“山重水腹疑无路”时，将几个已知条件联系起来审视，就可以出现“柳暗花明又一村”的新境界，从而挖掘出隐含条件例 3、在锐角三角形中，成等差数列，若CBAtan,tan,tan，试求函数的表达式)cos()2(cosACBCf)(xf分析：一方面由第一个已知条件得出，另一方面由诱导)tan(tan21tanCAB公式得出以上二方面结合得出,1tantantantan)tan(tantanCACACAB),1tan)(tantan(tan)tan(tan22tantan 1tantantantanCACACACA CACA隐
4、含条件1tantan2CA.tan3tanCA CCCC AAAAACB222222tan9tan91)tan3(1)tan3(1tan1tan2cos)2cos()cos( Q这样第二个已知条件转化为用变量替换法求函数的表达式，CC CCf2222tan9tan9)tan1tan1(令.5445119119 )(11tantan1tan12 22 xxxxxxxfxxCCCx四、借助直观有些数学题所给的条件往往不能直接为解题服务，而能够直接为解题服务的一些有效因素却隐蔽在题目所蕴含的图形的几何性质中，此时，若能以数思形，借助3图形直观分析，就可以迅速获得隐含条件，使问题形象、简明地解决例 4
5、、点是已知圆 D：内的一个定点，弦 BC),(baA02222feydxyx与点 A 组成一个直角三角形求弦 BC 中点 P 的轨迹方程90BAC解：设弦 BC 中点，因为，所以；又因为),(yxP90BAC|PCPBPA则有,|222CDPCPD，化简得fedbyaxeydx222222)()()()(. 0)(21)()(2222fbaybdxaeyx这里，画出草图就可揭露出条件，把联系起来问|PCPA PCDRtABCRt与题就迎刃而解五、转换表述数学语言的抽象表述常会给我们理解题意带来困难为此，在解题中，要善于追溯问题的实际背景，注意转换数学语言，尽量使题目表述通俗化，使隐含条件明朗化
6、例 5、记函数的定义域为 D，若存在使成立，则称)(xf,0Dx 00)(xxf为坐标的点是函数图象上的“不动点” ，若函数的图象上),(00yx)(xfaxxxf13)(有且仅有两个相异的“不动点” 试求实数的取值范围a分析：本题是一类新概念题，但是其语言表述却是我们所不熟悉的，为了解决这个问题，我们可设两个不动点的坐标为，于是有“不)(,(),(212211xxyxPyxP动点”就被我们用这样的语言去表述： 01)3(01)3(131322 212 12 221 11xaxxaxxaxxxaxx从而也就挖掘出隐含条件是一元二次方程的两),(21axx21,xx01)3(2xax个不等于的相
7、异实根，于是很容易就a4得到解题的方法：，01)(3()(04)3(22aaaa解得：)., 5() 1 ,31()31,(a六、巧妙赋值通过对题目中的字母的恰当赋值，往往能获得对该问题具有启发意义的隐含条件例 6、下面的表甲是一个电子显示盘，每一次操作可以使某一行四个字母同时改变，或者使某一列四个字母同时改变改变的规则是按照英文字母的顺序，每个英文字母变成它的下一个字母（即 A 变成 B，B 变成 C，最后 Z 变成 A） 问能否经过若干次操作使表甲变为表乙？如果能，请写出变化过程，如果不能，请说明理由S O B R K B D ST Z F P H E X GH O C N R T B S
8、A D V X C F Y A表甲 表乙分析：本题直接入手，有一定难度我们将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即 A 用 1，B 用 2，Z 用 26 代替） 这样表甲和表乙变分别变成了表丙和表丁19 15 2 18 11 2 3 1920 26 6 16 8 5 24 78 15 3 4 18 20 2 191 4 22 24 3 6 25 1表丙 表丁这样，每一次操作中字母的置换就相当于下面的置换：512，23，2526，261这样我们就挖掘出隐含条件：每次操作不改变这 16 个数字的和的奇偶性但表丙这 16 个数字的和为 213，表丁的 16 个数字的和为 184，它们的奇偶
9、性不同故表丙不能变成表丁，即表甲不能变成表乙七、有效增补有些立体几何题给出的问题背景很简略，难以察觉题中的线面关系或数量关系但是，将所给的图形进行适当的增补，使之变成一个更特殊、更完整的几何体，那么题中所隐含的一些线面关系和数量关系就会显露出来，问题也就迎刃而解了例 7、如图，是直三棱柱，过点的平面与平面的ABCCBA11111,CBAABC交线记作 ， （1）判断直线和 的位置关系，并加l11CAl以证明；（2）若求,90, 3, 4, 11ABCBCABAA顶点到直线 的距离1Al简析略解：此题中平面与平面的交线 的位置不很明朗，难以看11BCAABCl到问题的本质而将所给的直三棱柱补成直平行六面体ABCCBA111则即可显露出隐含关系：交线 就是，于是易知直线和,1111ABCDDBCAlBD11CA平行（证明略） ，再根据三垂线定理及勾股定理易求得到直线 的距离是（解l1Al513答略） 由上可知，善于挖掘题目中的隐含条件，可以迅速揭开问题的实质，简缩思维过程，优化解题思路因此在教学中教师除了要求生具备扎实过硬的基础知识和基本技能外，还要帮助学生掌握严谨的思维方法，养成良好的审题习惯
