基础知识精讲

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1、对数对数 【基础知识精讲基础知识精讲】 1.基础知识图表2.对数的定义 定义：若 abN(a0,a1)，则数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 logaNb.其中 a 叫做对数的底数，N 叫 做真数. 3.对数式、指数式与根式指数式 abN，根式a 和对数式 logaNb(N0,a0,a1)是同一种数量关系的三种不同表达形式.请bN见下表.表达形式abN对应的运算abN底数指数幂乘方，由 a、b 求 NabN方根根指数被开方数开方，由 N、b 求 alogaNb底数对数真数对数，由 N、a 求 b由此可见： (1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算. (2)弄清对数式与指数式的互换是

2、掌握对数意义及运算的关键. 4.常用对数与自然对数 对数 logaN(a0,a1),当底数 (1)a10 时，叫做常用对数，记作 lgN； (2)ae 时，叫做自然对数，记作 lnN. 在常用对数中，我们省去了底数不写.例如：lg10log10101，lg100log101022，log0.1log10(10)-1-1 等等.5.对数恒等式：logaakk(a0,a1)aN(a0,a1)Nalog6.对数的运算性质： 如果 a0，a0，M0,N0，那么 (1)loga(MN)logaM+logaN(2)logalogaM-logaN NM(3)logaMnnlogaM(nR) 要注意公式的逆用

3、及公式证明的思路(见教材) 7.对数运算性质的理解与运用须注意的问题 (1)对于一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立. (2)要把握住运算性质的本质特征，防止应用时出现错误. (3)要学会用语言准确地叙述运算性质. (4)利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然， 这种运算的互化可以简化计算方法，加快计算速度.特别注意的是换底公式的证明与运用.【重点难点解析重点难点解析】 1.正确理解、熟悉 abN 与 blogaN 的内在关系，迅速互化是学习对数的关键. 指数式 abN 与对数式 logaNb 中 a、b、N

4、 三者间的关系实质如下(00.即 blogaN 中的真数应为正数 在指数中特别有 a01,a1a，则在对数中特别有：loga10,logaa1.这在运用指数函数与对数函数的性 质解决问题需要化同底时是很重要的. 3.准确熟练记忆对数运算的法则，要注意其形式及适用的条件，也要注意法则的逆用.例例 1 1 若 log2log (log2x)21log3log (log3y)log5log (log5z)0.31 51试比较 x、y、z 的大小? 分析分析 将已知条件分别看作关于 x、y、z 的方程，分别求出 x、y、z 再比较.解：解：log2log (log2x)0log(log2x)1log2

5、xx(215).2121212301同理可得 y(310) ,z(56) .333015530131021556，由幂函数 yx在(0，+)上递增知，yxz.301例例 2 2 已知 a、b、x 为正数，且 lg(bx)lg(ax)+10 求的范围.ba分析分析 将 lg(ax)变形转化为 lg，出现我们所需要的，再利用二次方程的相关理论，求的范 )(bxba ba ba围. 解：解：由 lg(ax)lg(bx)+10 变形得：lglg(bx)+10 )(bxba整理得 lg2(bx)+lglg(bx)+10ba由于 a、b、x 为正数，所以 bx0，则 lg(bx)为实数，实数方程有实根，则

6、 0即：-40，解之得的取值范围是：2 lg ba ba(0, )100，+).ba 1001例例 3 3 已知 lgx+lgy2lg(x-2y),求的值.yx2log分析分析 不要遗忘了在解题过程中，对数定义中， “对数的真数必须大于零”这一前提，在运算过程中， x0,y0,x-2y0，因而有 x2y0. 解：解： lgx+lgy2lg(x-2y) xy(x-2y)2，即 x2-5xy+4y20 即 (x-y)(x-4y)0，得 xy 或 x4y. x0,y0,x-2y0, x2y0xy 应舍去， x4y,即4yx log()44.yx2log22例例 4 4 (1)用 logax,loga

7、y 表示 loga； 3 44 yxa(2)设 lg2a,lg3b，求 lg;54(3)已知 lgx2lga+3lgb-51gc,求 x.解：解：(1)logalogaa+logax -logay 3 44 yxa41 31 121+logax-logay.41 31 121(2)lglg(233)lg(233)542121lg2+lg3a+b.21 23 21 23(3)由已知得 lgxlga2+lgb3-lgc5lg,532cba x.532cba评析评析 第(2)小题由 54233，进而将 lg用 lg2 与 lg3 表示，以达到化未知为已知的目的；第(3)小54题利用了下述结论：同底的

8、对数相等，则真数相等.【难解巧解点拨难解巧解点拨】例例 1 1 已知 logax4,logay5，求 A的值.213 21yxx分析分析 对数式化指数式，便得 x,y. 解：解： logax4,logay5,xa4,ya5, Axy(a4) (a5) a a1.125 31125 3135 35评析评析 本题的另一解法是：logaAloga(xy)logax-logay4-50loga1,故 A1.125 31125 31 125 31最后一步利用了结论：若同底的对数相等，则真数相等.例例 2 2 设 3x4y36，求+的值.x2 y1分析分析 由已知式中分别求出 x 和 y.解：解： 3x3

9、6,4y36, xlog336,ylog436, log363, log364， x1 y1 x2+2log363+log364log36(324)log36361.y1评析评析 指数式化为对数式后，两对数式的底不相同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异 消除.例例 3 3 设 a,b,c 为正数，且 axbycz，求证：若+，则 cab.x1 y1 z1分析分析 由已知式解出 x,y,再将它们代入+，化简便得证.x1 y1 z1证：证：由已知，xyz0，若 a1,则 bc1,此时 cab 成立. 若 a,b,c 均不为 1，则 axcz,bycz, xlogacz,ylogbcz

10、, xzlogac,yzlogbc, logca, logcb,x1 z1 y1 z1 + (logca+logcb)logc(ab),x1 y1 z1 z1又 +，x1 y1 z1 logc(ab)1, cab.评析评析 若 a,b,x,y,z 为正数，且 a,b 均不为 1,axby(ab)z,则+.特别地，若 x,y,z 为正数，且x1 y1 z13x4y6z，则+.x1 y21 z1【课本难题解答课本难题解答】 课本 84 页，习题 2.7 节第 3 题：(1)logalogax-2logay-logaz zyx2331(2)loga(x)logax+logalogax-logay+l

11、ogaz423yz 423yz 21 43(3)loga(xyz)logax+logay-logaz21 3221 32(4)logalogax+logay-loga(x+y)-loga(x-y)22yxxy (5)loga(y)loga-logax-y+logayyxyx )(yx(6)loga3logay-logax-loga(x-y)3)( yxxy3logay-3logax-3loga(x-y) 第 6 题：(1)lgxlg(ab),xab (2)logaxloga,xnmnm(3)lgxlg(n3m),xn3m (4)logaxloga,xcbcb【典型热点考题典型热点考题】 例例

12、1 1 设 a,b,c 都是正数，且 3a4b6c,那么( )A. +B. +c1 a1 b1 c2 a2 b1C. +D. +c1 a2 b2 c2 a1 b2分析分析 本题考查了指数概念、对数概念，重点考查了利用对数性质进行运算的能力.设 3a4b6ck(k0)，把指数式转化为对数式，解出 a,b,c 得解法 1；又对 3a4b6ck 取对数求出,，证得+2,得解法ac bc ac2 bc2；取特殊值，如令 c1，排除 A、C、D 得解法 3. 解法解法 1 1：设 3a4b6ak(a,b,c 均为正数，k0)，则 alog3k,blog4k,clog6k,于是 logk3, logk4,

13、 logk6.a1 b1 c1显然 2logk3+logk42logk6, +.a2 b1 c2解法解法 2 2：对 3a4b6c同时取以 10 为底的对数，得 lg3alg4blg6c.alg3blg4clg6. log63, log64.ac 6lg3lg bc又+log6(94)2, +.ac2 bc c2 a2 b1解法解法 3 3：不妨令 c1，则1, log63,blog46.c1 b1 log642log62.b1 +log63+2log621+log62,a1 b1 c1+2+log64,+1+3log62.a2 b2 c1 a1 b2 c2排除 A、C、D， 应选 B例例 2

14、 2 函数 ylog2的定义域为 .xx 312解：解：由0，得1). 即 x2-x-20(x1), 解得 x2 方程解是 x2. 注注 本题主要利用对数运算性质公式解题，以及运用转化思想将对数方程转化为一元二次方程来解.例例 4 4 若全集 IR，Ax0 ，Bxlg(x2-2)lgx ，则 ACIB 是( )1xA.2 B.-1 C.xx-1 D. 解法解法 1 1：集合 A 中的元素满足的条件是 x-1，又 ACIBA，排除 A、C，将 x-1 代入 lg(x2-2)lgx 知 不成立.故 x-1CIB. 应选 B.解法解法 2 2：集合 A 中元素满足的条件是 x-1，集合 B 中元素满足的条件是 即 xxxx20022212022xxxxx或或解得 x2，于是 CIBxx2 ，所以 ACIB-1 应选 B.【知识探究学习知识探究学习】某城区 2000 年底有居民住房总面积为 a(平方米)，现将居民住房划分为三类，其中危旧住房占，新型住31房占.为了加快住房建设，计划用 10 年的时间全部拆除危旧住房(每年拆除的数量相同)，自 2001 年起居民41住房只建设新型住房，使得从 2001 年开始，每年年底的新型住房面积都比上一年底增加 20%，用 a