概率论与数理统计案例

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1、概率论与数理统计案例概率论与数理统计案例1 1概率论部分：案例案例 1 1 邮局开设多少服务窗口合理邮局开设多少服务窗口合理案例案例 2 2 国家邮政局发行贺年（有奖）明信片的利润计算国家邮政局发行贺年（有奖）明信片的利润计算案例案例 3 3 彩民获奖的概率问题彩民获奖的概率问题案例案例 4 4 人寿保险问题人寿保险问题案例案例 5 5 免费抽奖问题免费抽奖问题案例案例 6 6 双色球彩票中奖概率的理论计算与验证双色球彩票中奖概率的理论计算与验证案例案例 7 7 公交大巴车门高度如何设计公交大巴车门高度如何设计案例案例 8 8 怎样由脚印长度估计罪犯身高怎样由脚印长度估计罪犯身高案例案例 9

2、9 生日问题生日问题案例案例 1010 排队等待问题排队等待问题案例案例 1111 传送带效率问题传送带效率问题案例案例 1212 商品订货商品订货案例案例 1313 交货时间为随机变量的存贮模型。交货时间为随机变量的存贮模型。案例案例 1414 轧钢问题续集轧钢问题续集案例案例 1515 销售量为随机的存储模型销售量为随机的存储模型( (报童卖报问题报童卖报问题) )案例案例 1616 到货时间为随机的存储模型到货时间为随机的存储模型( (报童卖报问题报童卖报问题) )案例案例 1717 随机性人口模型随机性人口模型案例案例 1818 捕鱼问题捕鱼问题案例案例 1919 足球门的危险区域足球

3、门的危险区域案例案例 2020 利用蒙特卡洛方法（随机模拟）计算积分利用蒙特卡洛方法（随机模拟）计算积分统计部分案例案例 2121 计算常用描述性统计量，绘制常用统计图计算常用描述性统计量，绘制常用统计图案例案例 2222 卡方分布问题：卡方分布问题：案例案例 2323 工程师的建议是否应采纳工程师的建议是否应采纳案例案例 2424 化妆品销售量的预测化妆品销售量的预测案例案例 2525 假设检验（配对样本的假设检验（配对样本的 t t 检验，本题目源于检验，本题目源于 20122012 年全国大学生数学建模竞赛年全国大学生数学建模竞赛 A A 题）题）案例案例 2626 气候预测气候预测概率

4、论与数理统计案例概率论与数理统计案例2 2案例案例 2727 蠓虫的分类模型蠓虫的分类模型案例案例 1 1 邮局开设多少服务窗口合理邮局开设多少服务窗口合理 某居民区有 n 个人，设有一个邮局，开 m 个服务窗口，每个窗口都在办理所有业务。m 太 小则经常排长队。m 太大又不经济。假定在每一指定时刻，这 n 个人中每一个是否去邮局 是独立的。每个人在邮局的概率都是 p。现要求“在营业中任一时刻每个窗口的排队人数 （包括正在被服务的那个人）不超过 s”这个事件的概率不小于（一般取）则至少需开设多少窗口？95. 090. 0 ,80. 0或利用伯努利分布解决这个问题设事件），（个人在邮局办事在指定

5、时刻恰有smkkAk2 , 1 , 0由题设条件知knkk nkppCAP)1 ()(由于为两两互斥事件。smAAAA,210故 smkknkk nsmkksmkkppCAPAPsP000)1 ()()()(U每个窗口人数都不超过找一个最小的自然数，使上面不等式成立。此就是问题的答案。mm案例案例 2 2 国家邮政局发行贺年（有奖）明信片的利润计算国家邮政局发行贺年（有奖）明信片的利润计算 有一张某年邮政贺年（有奖）明信片的奖号“E03 组 586897”可知：编号 000001 到 999999 是一组，同一英文字母打头的估计可达 99 组，而英文字母有 26 个，最多可有 99=2574

6、组。26 经摇奖后，每组中奖号码是： 一等奖（3000 元） 768691 929617 009949 二等奖（1000 元） 33793 78768 三等奖（300 元） 6122 2258 四等奖（50 元） 127 五等奖（4 元） 46 纪念奖（0.5 元邮票） 7 有奖明信片每张售价 0.5 元，普通明信片售价 0.25 元（算作有奖明信片的成本） 。下面计 算国家邮政局在这个项目上将获利多少。 设随机变量为每张明信片可能获得的奖金额，则其分布律为（n=999999）X X0.545030010003000P n100000n10000n1000n200n20n3于是每张明信片的期望

7、奖金为299. 0)(61iiipxXE邮政局从每张明信片上平均能赚：0.5-0.299-0.25=0.021(元)概率论与数理统计案例概率论与数理统计案例3 3在整个项目上将能获利：0.021（万元）54002574999999案例案例 3 3 彩民获奖的概率问题彩民获奖的概率问题 近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目 前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。 “传统型”采用“10 选 6+1”方案：先从 6 组 09 号球中摇出 6 个基本号码，每组摇出一 个，然后从 04 号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从 09 十个号码中

8、任选 6 个基本号码（可重复） ，从 04 中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码 相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表 一（X 表示未选中的号码） 。表一10 选 6+1（6+1/10）中 奖 等 级 基 本 号 码 特别号码说 明一等奖abcdef g选 7 中（6+1）二等奖abcdef 选 7 中（6）三等奖abcdeX Xbcdef 选 7 中（5）四等奖abcdXX XbcdeX XXcdef选 7 中（4）五等奖abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选 7 中（3）六等奖abXXXX XbcXXX X

9、XcdXX XXXdeX XXXXef 选 7 中（2）“乐透型”有多种不同的形式，比如“33 选 7”的方案：先从 0133 个号码球中一个一个 地摇出 7 个基本号，再从剩余的 26 个号码球中摇出一个特别号码。投注者从 0133 个号码 中任选 7 个组成一注（不可重复） ，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中 奖等级，不考虑号码顺序。又如“36 选 6+1”的方案，先从 0136 个号码球中一个一个地 摇出 6 个基本号，再从剩下的 30 个号码球中摇出一个特别号码。从 0136 个号码中任选 7 个组成一注（不可重复） ，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖

10、等级， 不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。表二33 选 7（7/33）36 选 6+1（6+1/36）中 奖 等 级基 本 号 码 特别号码说 明基 本 号 码 特别号码说 明一等奖 选 7 中（7） 选 7 中 （6+1）二等奖 选 7 中 （6+1） 选 7 中（6）三等奖选 7 中（6） 选 7 中 （5+1）四等奖 选 7 中 （5+1） 选 7 中（5）五等奖选 7 中（5） 选 7 中 （4+1）六等奖 选 7 中 （4+1） 选 7 中（4）概率论与数理统计案例概率论与数理统计案例4 4七等奖选 7 中（4） 选 7 中 （3+1）注：为选中的基本号码； 为选中的特别号

11、码； 为未选中的号码。参考答案：彩票方案可将其分为四类,:10 选 6+1（6+1/10）型、: 选 型、:1K2Knm)/(nm 3K选型和:选无特别号型，分别给出各种类型方案的彩民n1m)/1(nm 4Knm)/(nm获各奖项的概率公式：-彩民中第 等奖的概率，；ipiix71 i：10 选 6+1（6+1/10）型1K，7 611021051p7 621081054p5 61 9 3101.8102Cp, 4 61 91 91 101 9 4102.61102CCCCp3 61 101 91 91 101 101 9 5103.421022CCCCCCp2 61 91 91 91 101

12、 101 91 91 101 101 101 9 6104.199510)23(32CCCCCCCCCCCp：选型2Knm)/(nm，m nCp1 1m nm m CCp12 m nmnm m CCCp1 )1(13 m nmnm m CCCp1 )1(24 ，。m nmnm m CCCp2 )1(25 m nmnm m CCCp2 )1(36 m nmnm m CCCp3 )1(37 ：选型3Kn1m)/1(nm ，111m nCp11 )1( 2m nmn CCp11 )1(13 m nmnm m CCCp12 )1(14 m nmnm m CCCp，。12 )1(25 m nmnm m

13、CCCp13 )1(26 m nmnm m CCCp13 )1(37 m nmnm m CCCp：选无特别号型4Knm)/(nm，m nCp1 1m nmnm m CCCp112 m nmnm m CCCp223 m nmnm m CCCp334 概率论与数理统计案例概率论与数理统计案例5 5。 m nmnm m CCCp445 各种方案的各个奖项获奖概率及获奖总概率计算如下表：iipP方案 1p2p3p4p5p6p7piipP6+1/1 0210-7810-71.810-52.6110-43.4210-34.1995 10-2-0.0456957/296.40705 10-74.48494

14、10-69.4184 10-52.8255 10-42.8255 10-34.7092 10-30.0298250.0377426+1/2 96.40705 10-71.4096 10-58.4573 10-58.8880 10-42.2200 10-31.4800 10-20.0197340.0377427/304.91207 10-73.43845 10-67.5646 10-52.2694 10-42.3828 10-33.9714 10-30.0264760.0331377/313.80290 10-72.66203 10-66.1227 10-51.8368 10-42.0205 10-33.3675 10-30.0235720.0292087/322.97101 10-72.07971 10-64.09913 10-51.4974 10-41.7221 0-32.8700 10-30.0210470.0258327/332.34080 10-71.63856 10-64.0964 10-51.2289 10-41.4747 10-32.4578 10-30.0188430.0229417/341.85887 10-71.3