《求一般线性矩阵方程对称解的修正共轭梯度法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求一般线性矩阵方程对称解的修正共轭梯度法（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 0 1 1 年 9月 高 等学校计算数 学学 报 第 3 3卷第 3期 求一般线性矩阵方程对称解的 修正共轭梯度法 张凯院 袁飞 ( 西北工业大学应用数学系， 西安 7 1 0 0 7 2 ) THE M oDI FI ED CoN J U G I E GR ADI ENT M ETH 0D FoR THE S Y M M ETRI C S 0LUT1 0N oF THE GE NERAL L I NEAR M ATRI X EQUATI ON Zh a n g Ka i y ua n Yu a n F e i ( D e p a r t me n t o f A p p l i e d
2、Ma t h e ma t ic s ， N o r t h w e s t e r n P o l y t e c h n i c a l U n i v e r s i t y , X i a n 7 1 0 0 7 2 ) Abs t r a c t On t h e b a s i s o f C O n j u g a t e g r a d i e n t me t h o d f o r s o l v i n g l i n e a r a l g e b r a i c e qu a t i o n s ，u s i n g s pe c i a l mo di fic a
3、t i o n a nd a p pr o xi ma t i o n，a n i t e r a t i v e me t ho d i s p r e s e n t e d t o fi nd t he s ymme t r i c s o l u t i o n of t h e g e n e r a l l i n e a r ma t r i x e q u at i o n a n d i t s c o n ve r g e n c e i s p r o v e dBy t h i s i t e r a t i v e me t h o d，t h e s o l va
4、b i l i t y o f t he e q ua t i o n o v e r s y m me t r i c ma t r i x c a n be de t e r mi n e d a u t oma t i c a l l y W he n t h e e q ua t i o n i S c o ns i s t e n t o v e r s y m me t r i c ma t r i xi t s s y mm e t r i c s o l u t i o n c a n be ob t a i n e d wi t h i n fini t e i t e r
5、a t i v e s t e ps i n t h e a bs e nc e o f r ou nd o ff e r r o r s a nd i t s s y mme t r i c s ol ut i o n wi t h l e a s t no r l n c a n b e o bt a i n e d b y c h o o s i ng a s p e c i a l i ni t i a l s ymme t r i c ma t r i x K ey wor ds ma t r i x e qu a t i o n， s ymme t r i c m a t r i
6、x，l e a s t no r m s y m me t r i c s o l u t i o n， i t e r a t i v e me t h od AM S ( 2 0 0 0 )s u b j e c t c l a s s i fi c a t i o n s 1 5 A2 4 ， 6 5 F 1 0 中图法分类号O 2 4 1 6 1 引 言 矩阵方程特殊解的计算问题在 电学 、 结构动力学、 振动理论、自动控制理论等领域都 有重要应用 文 【 1 2 建立了求矩阵方程 姗+C X D=F 唯一解的参数迭代方法和分组 收稿 日期：2 0 0 8 0 6 0 3 2 1 6
7、张凯院等：求一般线性矩阵方程对称解的修正共轭梯度法 第 3期 迭代方法， 文 3 - 6 】 建立了求矩阵方程A X B= 某些特殊解的迭代方法 本文建立求一般 线性矩阵方程对称解的修正共轭梯度法 ( MC G 算法 ) 用 R X 扎 表示 m X n实矩阵集合 ， S Rn X 表示 7 7, 阶实对称矩阵集合， A0B表示矩 阵 与 B的 Kr o n e c k e r 积， V - -( A) 表示将矩阵 按行拉直构成的列向量定义 m X n实矩 阵 与 的内积为 ， B 】 ：t r ( A B ) ， 由 此导出矩阵的F r o b e n i u s 范数I A II =、 ，
8、 丽 问题 I 给定 A l R m ， B l R n p ( f =1 ， 2 ， ， v ) ， FRm p ， 求 X S R ， 使得 A1 XB1 + + B N= ( 1 ) 若矩阵方程 ( 1 ) 有对称解， 称问题 I 相容； 否则， 称问题 I 不相容 本文讨论矩阵方 程 ( 1 ) 有对称解时，求其一个对称解或者极小范数对称解的 MC G算法 2 求解问题 I的 MCG 算法 基于求线性代数方程组唯一解 的共轭梯度法的思想方法 ，建立求解问题 I的 MCG 算法如下 第 1步任意选取初始矩阵 Xl E S R似 ， 置 k： ：1 ， 计算 第 2步计算 第 3步计算 修
9、正之一 修正之二 Xk + l =Xk + I I Rk l l 2 P k + l +吼卜 ， P k + l - “ t +Q L ) + ， 丁1 Q + Q 1 2 = T B R A I 1 Q B X A F l l R 8 + 七 R A 一 一 + Q B + k A F = + R 2 0 1 1 年 9月 高 等 学 校 计 算 数 学 学 报 2 1 7 若 R + 1 =O，或者 R + 1O而 P k + l =O， 停止；否则 ， 置 k： =k+1 ，转第 2步 易见， MC G算法中的矩阵 P kS R 似 ， XkS R似 ( =1 ， 2 ， ) 计算矩阵
10、+ 1 时 ， 修正之一中 的系数需要两次 内积运算 ， 而修正之二中 的系数只需一次内积运 算 ( 计算 时已经求出 【 l ) 下面针对修正之二讨论 MC G算法的基本性质 ， 并证 明计算过程在有限步之后停止 弓 I 理 1 I 设 1 ， A2 Rm “ ， 贝 0 t r ( A T A 2 ) =t r ( A T A1 ) =t r ( A1 A ) =t r ( A 2 A T ) 性质 1 对 MC G算法 中的矩阵 ， 和 Qt ， 有 7 ( R 1 R j ) =t r ( R T R j ) 证直接计算可得 t r ( ) ， =1 ， 2 ， t r ( 一 t r
11、 ( F一 N Al X i + B z ) T n j =t r ( F一 A l ( Xi + P i ) B R j 1 I t r ( R 丁 + l R J )= t r 【 ( F 一 T = t r ( F 一 + 1 ) f =1 l = _ l I 一 一 N 一 c 聃 T BAi Xi B 1 ) I 1 = t r 【 ( F 一 】 - ( B f ) ： l =1 l zl _ l = t r ( R T R J ) 一 t r ( B T p T A T R j ) f =1 N t r ( P T A T R y B T ) t ( ) 。 I P I I 、
12、性质 2 设 2 ， 对 MC G算法 中的矩阵 Rt 和 ， 有 t r ( RT n j ) =0 ， t r ( ： ) =0 ， i J ； ， J=1 2 一， 2 2 2 2 R一 只 一 一 一 、 J、， ， 胁 厨 r 0 0 R R 、 缸 缸 = = 2 1 8 张 凯 院 等 ： 求 一 般 线 性 矩 阵 方 程 对 称 解 堡 里 塑 塑 堕鲨 釜 塑 t r ( 一( 一 t r ( l l l 一 t r ( ) I j 一 t r ( 。 t r ( 只) 【 ( 下Q ： +Q T+ t r ( 下Q ： +Q T P 1 ) + t r ( ( Q 2 P
13、 1 ) + t r ( P 1 ) = t r ( 炯_t r ( 蚴】 + t r ( _0 假定 ：s( s 2 ) 时式 ( 3 ) 成立， 则当 =s +1时， 由性质 1可得 t r ( T R一( 删一 t r ( s l1 一 t r ( ) _ Il 一 t r 【 一 一 t r ( 咖一 _ l1 一 t r ( 。 t r ( 碍 P s )一【 ( + 】 一【 + t r ( ) 一 t r ( 讲 t r ( ) ： 【t r ( R R + I ) - t r ( R 刚 ) 】 + t r ( 嘲 ：一 t r ( 酬+ 面t R s + l ll 2 t r
14、 ( 。 对于 ：1 ， 有 t r ( R 1 R 1 )= t r ( R 一 II R II 2 t r ( T Q ) 一 IIR II2t r ( p TQ1 - I- QT)IP ll 2一 I t r ( 0 I I1 I 2 0 1 1 年 9月 高 等 学 校 计 算 数 学 学 报 21 9 t r ( 蹋 )_ t r ( ) IIPI” I 2： t r ( 一 t r ( ) _ lIP If2 tr【 ( 一 器 一 tr( P J) _ 器 tr( 对于 ：1 ， 2 ， ， 8 1 ， 有 ( 注意 2 J +1s ) r ( 碍 P A f( + P At r
15、 ( 聃 t r ( ) -t T+ P j ) _ t r ( + 1 ) = t r ( R T - ) _ t T s + 1 ) 】 _ 0 根据矩阵迹的性质可得 t r ( R f R s + 1 ) =t r ( R T + 1 R j ) =0 ， t r ( + 1 ) =t r ( P Tl P j ) =0 =1 ， 2 ， ， s ) 因此，当 k=8 +1时，式 ( 3 ) 成立由归纳法原理知， 性质 2成立 性质 3 设 是问题 I 的任意一个解， 则 t r f( 一扎 ) 】 ：lJ I 。 ， k =1 2 一 ( 4 ) 证采用数学归纳法 对于 k=1 ， 有 t r ( XX1 ) P 】 = t r f ( 一X1 )
